第5節(jié)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用
考試要求　1.結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響；2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.

知 識(shí) 梳 理
1.用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度.

診 斷 自 測(cè)

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)將函數(shù)y＝3sin 2x的圖象左移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長(zhǎng)度一致.(　　)
(3)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.(　　)
(4)由圖象求解析式時(shí)，振幅A的大小是由一個(gè)周期內(nèi)圖象中最高點(diǎn)的值與最低點(diǎn)的值確定的.(　　)
解析　(1)將函數(shù)y＝3sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸縮”的平移單位長(zhǎng)度為|φ|，而“先伸縮，后平移”的平移單位長(zhǎng)度為.故當(dāng)ω≠1時(shí)平移的長(zhǎng)度不相等.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(新教材必修第一冊(cè)P240T1改編)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin 2x圖象上所有的點(diǎn)(　　)
A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
解析　因?yàn)閥＝sin＝sin 2，所以要得到其圖象，需把y＝sin 2x圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.
答案　C
3.(教材必修4P41例1改編)如圖所示，某地夏天從8～14時(shí)的用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b.則這段曲線的函數(shù)解析式為_(kāi)_______________.

解析　觀察圖象可知從8～14時(shí)的圖象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個(gè)周期的圖象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
將x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式為y＝10sin＋40，x∈[8，14].
答案　y＝10sin＋40，x∈[8，14]

4.(2019·蘇北四市聯(lián)考)將曲線C1：y＝2cos上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2，則C2的方程為(　　)
A.y＝2sin 4x B.y＝2sin
C.y＝2sin x D.y＝2sin
解析　將曲線C1：y＝2cos上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y＝2sin 2x的圖象，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得曲線C2：y＝2sin 4x，故選A.
答案　A
5.(2020·臨沂模擬改編)y＝cos(x＋1)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離是________.
解析　相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2，橫坐標(biāo)之差恰為半個(gè)周期π，故它們之間的距離為.
答案　
6.(2020·南京一模)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ取得最小值.
規(guī)律方法　作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點(diǎn)法作圖，用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；
(2)圖象的變換法，由函數(shù)y＝sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
【訓(xùn)練1】 (1)(2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　)
A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
(2)(2020·石家莊調(diào)研)若把函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象與函數(shù)y＝cos ωx的圖象重合，則ω的一個(gè)可能取值是(　　)
A.2 B. C. D.
解析　(1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲線C1上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝sin的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝sin＝sin的圖象，即曲線C2，因此D項(xiàng)正確.
(2)y＝sin和函數(shù)y＝cos ωx的圖象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，則ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一個(gè)可能值.
答案　(1)D　(2)A
考點(diǎn)二　由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一題多解)(2019·長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽(yáng)八中聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，已知A，B，則f(x)圖象的對(duì)稱中心為(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
(2)(2020·徐州模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ0，∴ω＝.∴f(x)＝Asin.
又∵f(1)＝A，∴Asin＝A，即sin＝1.
又0≤φ0.由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最大值M為30，最小值m為10，周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.
又知T＝，ω>0，
∴ω＝＝，∴y＝10sin＋20.
又知該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(6，10)，
∴10＝10sin＋20，即sin＝－1，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解析　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因?yàn)閒(x)在上單調(diào)遞減，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋0，當(dāng)x∈時(shí)，－ω≤ωx≤ω.
因函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω0)個(gè)單位后得到的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則φ的最小值為(　　)
A. B. C. D.
解析　將函數(shù)f(x)＝sin的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y＝sin，因?yàn)槠鋱D象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值為－＝.
答案　B
4.(多選題)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖，則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(　　)

A. B.
C. D.
解析　由題圖得為f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，＝－，∴T＝π，從而f(x)圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，為，故選AC.
答案　AC
5.(2020·張家界模擬)將函數(shù)f(x)＝sin 2x－cos 2x的圖象向左平移t(t>0)個(gè)單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)＝g，則實(shí)數(shù)t的最小值為(　　)
A. B. C. D.
解析　由題意得，f(x)＝2sin，
則g(x)＝2sin，
從而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以2t－＝－2t＋π＋2kπ，即t＝＋(k∈Z)，實(shí)數(shù)tmin＝π.
答案　B
二、填空題
6.將函數(shù)y＝sin x的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是________________.

答案　y＝sin
7.(2020·南通質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0

英語(yǔ)朗讀寶
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