2021新高考數(shù)學（江蘇專用）一輪復習學案：第四章第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式-學案下載-教習網(wǎng)

第2節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式
考試要求　1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用定義推導出誘導公式.

知識梳理
1.同角三角函數(shù)的基本關系式
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關系：＝tan__α.
2.三角函數(shù)的誘導公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
sin__α
－sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
cos__α
－cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
－tan__α
－tan__α
tan__α

口訣
函數(shù)名不變，符號看象限
函數(shù)名改變，符號看象限
[常用結(jié)論與微點提醒]
1.同角三角函數(shù)關系式的常用變形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
診斷自測

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角.(　　)
(3)若α∈R，則tan α＝恒成立.(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　)
解析　(1)對任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中對于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中當α的終邊落在y軸上，商數(shù)關系不成立.
(4)當k為奇數(shù)時，sin α＝，
當k為偶數(shù)時，sin α＝－.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.(新教材必修第一冊P186T15改編)已知tan α＝2，則＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　原式＝＝＝.
答案　A
3.(教材必修4P21例4改編)已知α為銳角，且sin α＝，則cos(π＋α)＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　因為α為銳角，所以cos α＝＝，
故cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案　A

4.(2017·全國Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，
∴sin 2α＝1－＝－.
答案　A
5.(2019·濟南質(zhì)檢)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　∵sin α＝－，α為第四象限角，
∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－.
答案　D
6.(2019·豫北六校精英對抗賽)若f(x)＝cos＋1，且f(8)＝2，則f(2 018)＝________.
解析　∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cos α＋1＝2，
∴cos α＝1，∴f(2 018)＝cos ＋1
＝cos(1 009π＋α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cos α＋1
＝－1＋1＝0.
答案　0

考點一　同角三角函數(shù)基本關系及其應用多維探究
角度1　切弦互化
【例1－1】 (1)已知β為第二象限角，tan β＝－，則cos β＝(　　)
A.－ B.－ C.－ D.－
(2)若tan(α－3π)＝－5，則＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　(1)因為β為第二象限角，所以tan β＝＝＝－，解得cos β＝－.
(2)由tan(α－3π)＝－5，得tan α＝－5，
所以＝
＝＝＝.
答案　(1)B　(2)A
規(guī)律方法　利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.
角度2　“1”的變換
【例1－2】 (1)若tan(α－π)＝，則＝(　　)
A.－ B.－2 C. D.2
(2)已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝，
＝＝＝＝2.
(2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，又tan θ＝2，故原式＝＝.
答案　(1)D　(2)D
規(guī)律方法　注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
角度3　sin α±cos α與sin αcos α的轉(zhuǎn)化
【例1－3】 (2020·連云港檢測)已知θ為第二象限角，sin θ，cos θ是關于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sin θ－cos θ＝(　　)
A. B.
C. D.－
解析　因為sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因為θ為第二象限角，所以sin θ>0，cos θ0，因為(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝＝＝＝.故選B.
答案　B
規(guī)律方法　應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【訓練1】 (1)(角度1)已知α是第四象限角，sin α＝－，則tan α等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
(2)(角度2)若3sin α＋cos α＝0，則的值為(　　)
A. B. C. D.－2
(3)(角度3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為________.
解析　(1)因為α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝＝，
故tan α＝＝－.
(2)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－，
＝＝
＝＝.
(3)∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
答案　(1)C　(2)A　(3)－
考點二　誘導公式的應用
【例2】 (1)在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊經(jīng)過點P(3，4)，則sin＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)已知f(α)＝，則f的值為________.
解析　(1)由題意知sin α＝，cos α＝，
∴sin＝sin＝－cos α＝－.
(2)因為f(α)＝
＝＝cos α，
所以f＝cos＝cos ＝.
答案　(1)B　(2)
規(guī)律方法　(1)誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【訓練2】 (多選題)若角A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，則下列等式中一定成立的是(　　)
A.cos(A＋B)＝cos C B.sin(A＋B)＝－sin C
C.cos＝sin D.sin＝cos
解析　因為A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin ，sin＝sin＝cos .
答案　CD
考點三　同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用
【例3】 (1)(2020·濰坊調(diào)研)已知3sin＝
－5cos，則tan＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α＝(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝
＝－.
(2)由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化簡得sin2α＝，則sin α＝(α為銳角).
答案　(1)A　(2)C
規(guī)律方法　1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.
2.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.
【訓練3】 (1)已知角θ的終邊在第三象限，tan 2θ＝－2，則sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
(2)已知sin α＝，則tan(π＋α)＋＝________.
解析　(1)由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，
即tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝或tan θ＝－.
又角θ的終邊在第三象限，故tan θ＝，
故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ
＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ
＝
＝
＝＝.
(2)∵sin α>0，∴α為第一或第二象限角，
tan(α＋π)＋＝tan α＋
＝＋＝.
①當α是第一象限角時，cos α＝＝，
原式＝＝；
②當α是第二象限角時，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
綜合①②知，原式＝或－.
答案　(1)D　(2)或－

A級　基礎鞏固
一、選擇題
1.(2019·揚州聯(lián)考)若α∈，sin α＝，則tan α＝(　　)
A.－ B.－ C.－ D.
解析　因為α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－.
答案　C
2.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|