2021新高考數學（江蘇專用）一輪復習學案：第二章第9節(jié)函數模型及其應用-學案下載-教習網

第9節(jié)　函數模型及其應用
考試要求　1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的重要數學語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律；2.結合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現(xiàn)實含義；3.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產實際或者經濟領域中的數學模型，體會人們是如何借助函數刻畫實際問題的，感悟數學模型中參數的現(xiàn)實意義.

知識梳理
1.幾種常見的函數模型
函數模型
函數解析式
一次函數模型
f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0)
二次函數模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數相關的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數相關的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數相關的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
2.指數、對數、冪函數模型性質比較
　　函數
性質　　　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調遞增
單調遞增
單調遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化
而各有不同
[常用結論與微點提醒]
1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小.
2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.
3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性.
診斷自測

1.判斷下列結論的正誤.(在括號內打“√”或“×”)
(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利.(　　)
(2)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大.(　　)
(3)不存在x0，使ax00)的增長速度.(　　)
解析　(1)9折出售的售價為100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件賠1元，(1)錯.
(2)中，當x＝2時，2x＝x2＝4.不正確.
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)錯.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(教材必修1P104練習T1改編)在某個物理實驗中，測得變量x和變量y的幾組數據，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
則對x，y最適合的擬合函數是(　　)
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
解析　根據x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意.
答案　D
3.(新教材必修第一冊P149例4改編)當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經過的“半衰期”個數至少是(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
解析　設該死亡生物體內原有的碳14的含量為1，則經過n個“半衰期”后的含量為，由g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
解析　在同一坐標系內，根據函數圖象變化趨勢，當x∈(4，＋∞)時，增長速度大小排列為g(x)>f(x)>h(x).
答案　B
5.(多填題)(2018·浙江卷)我國古代數學著作《張邱建算經》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁、雞母、雞雛個數分別為x，y，z，則當z＝81時，x＝________，y＝________.
解析　把z＝81代入方程組，化簡得
解得x＝8，y＝11.
答案　8　11
6.(多填題)(2019·北京卷)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%.
①當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________.
解析　①顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價應為60＋80＝140(元)，超過了120元可以優(yōu)惠，所以當x＝10時，顧客需要支付140－10＝130(元).②由題意知，當x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時顧客支付的金額為(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值為15.
答案?、?30?、?5

考點一　利用函數的圖象刻畫實際問題
【例1】 (2017·全國Ⅲ卷)某城市為了解游客人數的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數據，繪制了下面的折線圖.

根據該折線圖，下列結論錯誤的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)
解析　由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤.
答案　A
規(guī)律方法　1.當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案.
2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關系，考查了數學直觀想象核心素養(yǎng).
【訓練1】高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是(　　)

解析　由題意知，水深h越大，水的體積v就越大.
當h＝0時，v＝0，故可排除A，C；
當h∈[0，H]時，不妨將水“流出”設想為“流入”.
每當h增加一個單位增量Δh時，根據魚缸形狀可知，函數v的變化，開始其增量越來越大，經過中截面后增量越來越小，故v＝f(h)的圖象是先凹后凸的，故選B.
答案　B
考點二　已知函數模型求解實際問題
【例2】為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝(0≤x≤10，k為常數)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最??？并求最小值.
解　(1)當x＝0時，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
則y＝2t＋－10≥2－10＝70(當且僅當2t＝，即t＝20時等號成立)，
此時x＝5，因此f(x)的最小值為70.
∴隔熱層修建5 cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元.
規(guī)律方法　1.求解已知函數模型解決實際問題的關注點.
(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.
2.利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.
【訓練2】 (2019·全國Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通信聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：
＋＝(R＋r).
設α＝.由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　)
A.R B.R C.R D.R
解析　由α＝，得r＝αR，
代入＋＝(R＋r)，
整理得＝.
又≈3α3，即3α3≈，所以α≈，
故r＝αR≈R.
答案　D
考點三　構建函數模型的實際問題　多維探究
角度1　構建二次函數、分段函數模型
【例3－1】 (2020·濟南一中月考)響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經過市場調研，生產某小型電子產品需投入年固定成本2萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本W(x)萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)＝x2＋2x.在年產量不小于8萬件時，W(x)＝7x＋－37.每件產品售價6元.通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完.
(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)
(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？
解　(1)因為每件商品售價為6元，則x萬件商品銷售收入為6x萬元.依題意得
當0