2020版新設(shè)計(jì)一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（理）江蘇專版講義：第四章第八節(jié)解三角形的綜合應(yīng)用

?第八節(jié)解三角形的綜合應(yīng)用


1．仰角和俯角
在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角．(如圖(a))

2．方位角
從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．如B點(diǎn)的方位角為α.(如圖(b))
3．方向角
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度．
[小題體驗(yàn)]
1．如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為______ m.
答案：50
2．海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝________ n mile.
答案：5

易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向線與目標(biāo)方向線按順時(shí)針之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．
[小題糾偏]
1．在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°，C點(diǎn)的俯角是70°，則∠BAC＝________.
答案：130°
2．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的________方向上．
解析：如圖所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
所以∠CBA＝45°，
而β＝30°，
所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.
答案：北偏西15°

　
[典例引領(lǐng)]
　(2019·昆山模擬)如圖，為了測量河對岸的塔高AB，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量點(diǎn)C和D，現(xiàn)測得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，則塔高AB＝________m.
解析：設(shè)塔高AB＝h，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝h，
在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，
由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos 60°，
即3h2＝400＋h2－20h，
解得h＝10.
答案：10
[由題悟法]
求解高度問題應(yīng)注意的3個(gè)問題
(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．
(2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
[即時(shí)應(yīng)用]
為了測量某新建的信號發(fā)射塔AB的高度，先取與發(fā)射塔底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C，D，測得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在點(diǎn)C的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1 m，則發(fā)射塔高AB＝________m.
解析：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，
則EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.
在△BCD中，由正弦定理得，
BC＝＝＝20.
所以EF＝20，
在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF
＝20×＝20，
所以AB＝AF＋BF＝(20＋1)m.
答案：20＋1
　
[鎖定考向]
研究測量距離問題，解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．
常見的命題角度有：
(1)兩點(diǎn)都不可到達(dá)；
(2)兩點(diǎn)不相通的距離；
(3)兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)．　　　 　
[題點(diǎn)全練]
角度一：兩點(diǎn)都不可到達(dá)
1．(2019·蘇州調(diào)研)要測量河對岸兩個(gè)建筑物A，B之間的距離，選取相距 km的C，D兩點(diǎn)，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則A，B之間的距離為________km.

解析：在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝.
在△BCD中，∠BDC＝∠ADB＋∠ADC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°，
∴由正弦定理，＝，
解得BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3＋－2×××＝5，∴AB＝.
答案：
角度二：兩點(diǎn)不相通的距離
2．如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．即AB＝.
若測得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，則A，B兩點(diǎn)的距離為________m.
解析：在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
所以AB＝200 (m)．
即A，B兩點(diǎn)間的距離為200 m.
答案：200
角度三：兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)
3．如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測出A，C的距離m，再借助儀器，測出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.
若測出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________m.
解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
所以AB＝＝＝20(m)．
即A，B兩點(diǎn)間的距離為20 m.
答案：20
[通法在握]
求距離問題的2個(gè)注意事項(xiàng)
(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．
(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．
[演練沖關(guān)]
1．(2019·如東中學(xué)測試)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50 m，則該扇形的半徑為________m.
解析：連結(jié)OC(圖略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.
答案：50
2．(2018·常州調(diào)研)一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________ km.
解析：如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，
所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.
在△AMB中，由正弦定理，
得＝，
解得BM＝30.
答案：30
　
[典例引領(lǐng)]
在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．

解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，
則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
根據(jù)正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為.
[由題悟法]
解決測量角度問題的3個(gè)注意事項(xiàng)
(1)測量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．
(2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
(3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．
[即時(shí)應(yīng)用]
如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值．

解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，解得BC＝20.
由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC ＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的________方向上．
解析：由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以 ∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.
答案：南偏西80°
2．(2019·揚(yáng)州調(diào)研)如圖，勘探隊(duì)員朝一座山行進(jìn)，在前后A，B兩處觀察山頂C的仰角分別是30°和45°，兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B之間的距離是100 m，則此山CD的高度為________m.

解析：設(shè)山高CD為x，
在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD＝x.
而AB＝AD－BD＝(－1)x＝100.
解得x＝＝50(＋1)．
答案：50(＋1)
3.(2019·南通模擬)2018年12月，為捍衛(wèi)國家主權(quán)，我國海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏，其中一艘巡邏艦從海島A出發(fā)，沿南偏東70°的方向航行40海里后到達(dá)海島B，然后再從海島B出發(fā)，沿北偏東35°的方向航行40 海里后到達(dá)海島C.如果巡邏艦直接從海島A出發(fā)到海島C，則航行的路程為________海里．
解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．
在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40.
根據(jù)余弦定理，
得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝402＋(40)2－2×40×40×
＝400(8＋4)＝400(＋)2，
∴AC＝20(＋)．
故所求航行的路程為20(＋)海里．
答案：20(＋)
4．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40°，A，B兩船的距離為3 km，則B到C的距離為________ km.
解析：由條件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
設(shè)BC＝x km
則由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，
因?yàn)閤＞0，所以x＝－1.
答案：－1
5.某同學(xué)騎電動(dòng)車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處測得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)B處，測得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則點(diǎn)B與電視塔的距離是________km.

解析：如題圖，由題意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，所以BS＝＝3(km)．
答案：3
6．(2018·天一中學(xué)檢測)線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始________h后，兩車的距離最小．
解析：如圖所示，設(shè)過x h后兩車距離為y，
則BD＝200－80x，BE＝50x，
所以y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos 60°整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)，所以當(dāng)x＝時(shí)y2最?。?br /> 答案：
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是________海里．
解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
答案：10
2．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為________km/h.

解析：設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin θ＝＝，從而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.
答案：6

3．(2018·啟東二模)如圖所示，為了測量A，B兩處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼的距離為________海里．
解析：由題意可知CD＝40，∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，∴∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，
∴∠CAD＝45°.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
∴AD＝20，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BD＝CD＝40.
在△ABD中，由余弦定理，
得AB＝ ＝20.
故A，B兩處島嶼的距離為20海里．
答案：20
4．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m.
解析：設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：50
5．(2018·鎮(zhèn)江模擬)在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為________．
解析：由題意得sin2A＜sin2B＋sin2C，
再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.
則cos A＝＞0，
因?yàn)?＜A＜π，所以0＜A＜.
又a為最大邊，所以A＞.
因此角A的取值范圍是.
答案：
6. (2019·通州中學(xué)高三測試)甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船自B島出發(fā)，以12 km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛15 min時(shí)，兩船間的距離是________km.
解析：畫出示意圖如圖所示，設(shè)行駛15 min時(shí)，甲船到達(dá)M點(diǎn)，乙船到達(dá)N點(diǎn)，由題意知AM＝8×＝2(km)，BN＝12×＝3(km)，MB＝AB－AM＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos 120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝(km)．
答案：
7．(2018·南京模擬)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國歌時(shí)長為50 s，升旗手應(yīng)以________m/s的速度勻速升旗．

解析：依題意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
所以AC＝·sin∠CEA＝20 m.
所以在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m.
因?yàn)閲钑r(shí)長為50 s，所以升旗速度為＝0.6 m/s.
答案：0.6
8．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，沿山坡向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡的坡角為θ，則cos θ＝________.
解析：在△ABC中，由正弦定理可知BC＝＝＝50(－)(m)．
在△BCD中，由正弦定理可知sin∠BDC＝＝＝－1.
由題圖知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.
答案：－1
9．(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC＝200 m，斜邊AB＝400 m．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)D，E，F(xiàn).
(1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時(shí)即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；
(2) 設(shè)∠CEF＝θ，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且∠DEF＝，請將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．
解：(1)依題意得BD＝300，BE＝100.
在△ABC中，cos B＝＝，所以B＝.
在△BDE中，由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B＝3002＋1002－2×300×100×＝70 000，
所以DE＝100.
答：甲、乙兩人之間的距離為100 m.
(2)由題意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ.
在Rt△CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycos θ.
在△BDE中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以y＝＝，0＜θ＜，
所以當(dāng)θ＝時(shí)，y有最小值50.
答：甲、乙之間的最小距離為50 m.
10．(2019·淮安模擬)如圖，某軍艦艇位于島A的正西方C處，且與島A相距12海里．經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以10海里/小時(shí)的速度從島A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄，同時(shí)，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°－α的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時(shí)在B處追上．
(1)求該軍艦艇的速度；
(2)求sin α的值．
解：(1)依題意知，∠CAB＝120°，AB＝10×2＝20，AC＝12，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB
＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，
解得BC＝28，
所以該軍艦艇的速度為＝14海里/小時(shí)．
(2)在△ABC中，由正弦定理，
得＝，
即sin α＝＝＝.
三上臺階，自主選做志在沖刺名校
1．如圖，航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_______m．(?。?.4，＝1.7)

解析：如圖，作CD垂直于AB的延長線于點(diǎn)D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC中，＝，
所以BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
因?yàn)镃D⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.
故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650

2．(2019·南京調(diào)研)某市有一中心公園，平面圖如圖所示，公園的兩條觀光路為l1，l2，公園管理中心位于點(diǎn)O正南方2 km l1上的A處，現(xiàn)計(jì)劃在l2即點(diǎn)O北偏東45°方向，觀光路l2路旁B處修建一公園服務(wù)中心．
(1)若為方便管理，使AB兩點(diǎn)之間的直線距離不大于2 km，求OB長度的取值范圍；
(2)為了方便市民活動(dòng)，擬在l1，l2上分別選點(diǎn)M，N，修建一條小路MN.因環(huán)境需要，以O(shè)為圓心， km為半徑的扇形區(qū)域有珍貴的植物不能被破壞，即不適宜修建，請確定M，N的位置，使M，N之間的距離最短．
解：(1)在△ABO中，OA＝2，OB＝x，∠AOB＝135°，
根據(jù)余弦定理得，AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 135°，
∴22＋x2－2×x×2×≤(2)2，
即x2＋2x－16≤0，解得－4≤x≤2，
∵x≥0，∴0≤x≤2，
故OB長度的取值范圍為[0,2 ]．
(2)依題意得，直線MN必與圓O相切．設(shè)切點(diǎn)為C，連結(jié)OC，則OC⊥MN.
設(shè)OM＝a，ON＝b，MN＝c，
在△OMN中，∵M(jìn)N·OC＝·OM·ON·sin 135°，
∴·c＝·ab，即c＝ab，
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos 135°＝a2＋b2＋ab≥(2＋)ab＝(2＋)c，解得c≥2＋，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，c取得最小值2＋.
∴M，N與點(diǎn)O的距離均為 km時(shí)，M，N之間的距離最短，最短距離為(2＋)km.

命題點(diǎn)一　簡單的三角恒等變換
1．(2018·全國卷Ⅱ)已知tan＝，則tan α＝________.
解析：tan＝tan＝＝，
解得tan α＝.
答案：
2．(2015·江蘇高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，則tan β的值為________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝3.
答案：3
3．(2017·江蘇高考)若tan＝，則tan α＝________.
解析：tan α＝tan
＝＝＝.
答案：
4．(2018·全國卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
5．(2018·全國卷Ⅲ改編)若sin α＝，則cos 2α＝________.
解析：∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
答案：
6．(2016·江蘇高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的長；
(2)求cos的值．
解：(1)因?yàn)閏os B＝，0＜B＜π，
所以sin B＝ ＝ ＝.
由正弦定理知＝，
所以AB＝＝＝5.
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos
＝－cos Bcos＋sin Bsin.
又cos B＝，sin B＝，
故cos A＝－×＋×＝－.
因?yàn)?＜A＜π，所以sin A＝＝.
因此，cos＝cos Acos＋sin Asin
＝－×＋×＝.
7．(2018·江蘇高考)已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因?yàn)閠an α＝＝，
所以sin α＝cos α.
因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因?yàn)棣?，?為銳角，所以α＋β∈(0，π)．
又因?yàn)閏os(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝－2.
因?yàn)閠an α＝，
所以 tan 2α＝＝－.
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
命題點(diǎn)二　解三角形
1．(2018·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．

解析：如圖，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
∴ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.
∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即c＝2a時(shí)取等號．
故4a＋c的最小值為9.
答案：9
2．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，則sin B＝__________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案：　3
3．(2018·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．
解析：∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得
sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C＞0，∴sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝＞0，
∴cos A＝，bc＝＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
4．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC邊上的高．
解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏os B＝－，
所以sin B＝ ＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由題設(shè)知＜∠B＜π，所以0＜∠A＜.
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因?yàn)閟in C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝，
所以AC邊上的高為asin C＝7×＝.
5．(2015·江蘇高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°
(1)求BC的長；
(2)求sin 2C的值．
解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，
所以sin C＝·sin A＝＝.
因?yàn)锳B＜BC，所以C為銳角，
則cos C＝＝ ＝.
因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.
6．(2018·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大?。?br /> (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解：(1)在△ABC中，
由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.
又因?yàn)閎sin A＝acos，
所以asin B＝acos，
即sin B＝cos B＋sin B，
所以tan B＝.
因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝ .
因?yàn)閍＜c，所以cos A＝ .
所以sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.

7．(2013·江蘇高考)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的長；
(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏os A＝，cos C＝，所以
sin A＝，sin C＝.
從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的長為1 040 m.
(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C.
設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)．
命題點(diǎn)三　三角綜合問題
1．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sin x＋sin 2x，則f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴當(dāng)cos x＜時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)cos x＞時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴當(dāng)sin x＝－時(shí)，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
答案：－
2．(2016·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acos B.
(1)證明：A＝2B；
(2)若△ABC的面積S＝，求角A的大小．
解：(1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是 sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝ sin 2B＝sin Bcos B.
因?yàn)?sin B≠0，所以 sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
當(dāng)B＋C＝時(shí)，A＝；
當(dāng)C－B＝時(shí)，A＝.
綜上，A＝或A＝.
3．(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大?。?br /> (2)求cos A＋cos C的最大值．
解：(1)由余弦定理及題設(shè)得，
cos B＝＝＝.
又因?yàn)?＜∠B＜π，所以∠B＝.
(2)由(1)知∠A＋∠C＝.
則cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝cos.
因?yàn)?＜∠A＜，
所以當(dāng)∠A＝時(shí)，cos A＋cos C取得最大值1.