第六節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布
[考綱傳真]　1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．

1．離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差
一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
(2)方差：稱D(X)＝ [xi－E(X)]2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．
2．均值與方差的性質(zhì)
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．
3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差

均值
方差
變量X服從兩點(diǎn)分布
E(X)＝p
D(X)＝p(1－p)
X～B(n，p)
E(X)＝np
D(X)＝np(1－p)
4.正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；
③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；
④曲線與x軸之間的面積為1；
⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.

1．均值與方差的關(guān)系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．
2．超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的． ( )
(2)若X～N(μ，σ2)，則μ，σ2分別表示正態(tài)分布的均值和方差． ( )
(3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量． ( )
(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小. ( )
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．(教材改編)已知X的分布列為
X
－1
0
1
P


a
設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為( )
A. B．4 C．－1 D．1
A　[由概率分布列的性質(zhì)可知：＋＋a＝1，
∴a＝.
∴E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
∴E(Y)＝3＋2E(X)＝3－＝.]
3．已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，則隨機(jī)變量η的均值E(η)及方差D(η)分別是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
B　[設(shè)隨機(jī)變量X的均值及方差分別為E(X)，D(X)，因?yàn)閄～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4，故選B.]
4．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜4)＝________.
0．6　[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.

又正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對(duì)稱．
則P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]
5．隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3，C為常數(shù)，則P(0.5＜X＜2.5)＝________.
　[由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，解得C＝.所以P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.]


求離散型隨機(jī)變量的均值、方差
【例1】　(1)(2017·全國(guó)卷Ⅱ改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝( )
A．1.96 B．1.98 　C．2 　D．2.02
(2)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
①求甲獲勝的概率；
②求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望．
(1)A　[依題意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]
(2)[解]　設(shè)Ak，Bk分別表示“甲、乙在第k次投籃投中”，
則P(Ak)＝，P(Bk)＝，其中k＝1,2,3.
①記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式知
P(C)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝P(A1)＋P()P()P(A2)＋P()P()P()P()P(A3)＝＋××＋××＝＋＋＝.
②ξ的所有可能取值為1,2,3，且
P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(B1)＝＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A2)＋P(B2)＝××＋×＝，
P(ξ＝3)＝P()＝×＝.
綜上知，ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P



所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
[規(guī)律方法]　求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟
(1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值.
(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率.
(3)寫(xiě)出X的分布列.
(4)由均值的定義求E(X).
(5)由方差的定義求D(X).
設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．
(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；
(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.
[解]　(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6，
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列為
ξ
2
3
4
5
6
P





(2)由題意知η的分布列為
η
1
2
3
P



所以E(η)＝＋＋＝，
D(η)＝2·＋2·＋2·＝，化簡(jiǎn)得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.

均值與方差在決策中的應(yīng)用
【例2】　根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位X(單位：米)的頻率分布直方圖如圖：

將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨(dú)立．
(1)求在未來(lái)三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)；
(2)該河流對(duì)沿河A企業(yè)影響如下：當(dāng)X∈[23,27)時(shí)，不會(huì)造成影響；當(dāng)X∈[27,31)時(shí)，損失10 000元；當(dāng)X∈[31,35]時(shí)，損失60 000元．為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案：
方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程費(fèi)用3 800元；
方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程費(fèi)用2 000元；
方案三：不采取措施．
試比較上述三種方案，哪種方案好，并請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解]　(1)由題意得P(27≤X＜31)＝0.25＝.
設(shè)在未來(lái)3年里，河流最高水位x∈[27,31)發(fā)生的年數(shù)為Y，則Y～N.
設(shè)事件“在未來(lái)三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)”為事件A，
則P(A)＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＝C＋C2×＝.
所以在未來(lái)三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率為.
(2)方案二好，理由如下：
由題意得P(23≤X＜27)＝0.74，
P(31≤X≤35)＝0.01，
用X1，X2，X3分別表示方案一、方案二、方案三的損失，
由題意得X1＝3 800，X2的分布列為
X2
2 000
62 000
P
0.99
0.01
所以E(X2)＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600.
X3的分布列為
X3
0
10 000
60 000
P
0.74
0.25
0.01
所以E(X3)＝0×0.74＋60 000×0.01＋10 000×0.25＝3 100.
因?yàn)槿N方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二好．
[規(guī)律方法]　利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略
(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分歧，可對(duì)問(wèn)題作出判斷.
(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.
某供貨商計(jì)劃將某種大型節(jié)日商品分別配送到甲、乙兩地銷售，據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩地該商品需求量(單位：件)的頻率分布表如下：
甲地需求量頻率分布表
需求量/件
4
5
6
頻率
0.5
0.3
0.2
乙地需求量頻率分布表
需求量/件
3
4
5
頻率
0.6
0.3
0.1
以兩地需求量的頻率估計(jì)需求量的概率．
(1)若此供貨商計(jì)劃將10件該商品全部配送至甲、乙兩地，為保證兩地不缺貨(配送量≥需求量)的概率均大于0.7，問(wèn)該商品的配送方案有哪幾種？
(2)已知甲、乙兩地該商品的銷售相互獨(dú)立，該商品售出，供貨商獲利2萬(wàn)元/件；未售出的，供貨商虧損1萬(wàn)元/件．在(1)的前提下，若僅考慮此供貨商所獲凈利潤(rùn)，試確定最佳配送方案．
[解]　(1)由表格可知，甲地不缺貨的概率大于0.7時(shí)，至少需配貨5件；乙地不缺貨的概率大于0.7時(shí)，至少需配貨4件．
故共有兩種方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件．
(2)方案一：甲地配5件，乙地配5件時(shí)，記甲地的利潤(rùn)為X1萬(wàn)元，乙地的利潤(rùn)為Y1萬(wàn)元，則X1，Y1的分布列分別為
X1
7
10
P
0.5
0.5

Y1
4
7
10
P
0.6
0.3
0.1
所以選擇方案一時(shí)，此供貨商凈利潤(rùn)的期望為E(X1)＋E(Y1)＝(7×0.5＋10×0.5)＋(4×0.6＋7×0.3＋10×0.1)＝8.5＋5.5＝14(萬(wàn)元)．
方案二：甲地配6件，乙地配4件時(shí)，記甲地的利潤(rùn)為X2萬(wàn)元，乙地的利潤(rùn)為Y2萬(wàn)元，則X2，Y2的分布列分別為
X2
6
9
12
P
0.5
0.3
0.2

Y2
5
8
P
0.6
0.4
所以選擇方案二時(shí)，此供貨商凈利潤(rùn)的期望為E(X2)＋E(Y2)＝(6×0.5＋9×0.3＋12×0.2)＋(5×0.6＋8×0.4)＝8.1＋6.2＝14.3(萬(wàn)元)．
綜上，僅考慮此供貨商所獲凈利潤(rùn)，選擇方案二更佳．

正態(tài)分布
【例3】　(2017·全國(guó)卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；
(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．
①試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；
②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
經(jīng)計(jì)算得＝＝9.97，s＝＝)≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

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