2020版《微點(diǎn)教程》高考人教A版理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔：第十章第八節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第八節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差
2019考綱考題考情

1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差
若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。
(2)D(X)＝(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。
2．均值與方差的性質(zhì)
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b。
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))。
3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差
X
X服從兩點(diǎn)分布
X～B(n，p)
E(X)
p(p為成功概率)
np
D(X)
p(1－p)
np(1－p)

1．均值E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)。
2．已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解。若所給隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布等，則可直接利用它們的均值、方差公式求解。
　　　　　　　　　　　　　　　　

一、走進(jìn)教材
1．(選修2－3P68A組T1改編)已知X的分布列為
X
－1
0
1
P

設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　)
A. B．4 C．－1 D．1
解析　E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝。故選A。
答案　A
2．(選修2－3P68A組T5改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1

Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________。
解析　E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1。E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因?yàn)镋(Y)2.072，
所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車的情況與年齡有關(guān)。
(2)①依題意，可知所選取的10名30歲以上的網(wǎng)友中，經(jīng)常使用共享單車的有10×＝6人，偶爾使用或不使用共享單車的有10×＝4人。
則選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用共享單車的概率P＝＋＝。
②由列聯(lián)表可知選到經(jīng)常使用共享單車的網(wǎng)友的頻率為＝，
將頻率視為概率，即從A市所有參與調(diào)查的網(wǎng)友中任意選取1人，恰好選到經(jīng)常使用共享單車的網(wǎng)友的概率為。
由題意得X～B，
所以E(X)＝10×＝，
D(X)＝10××＝。

二項(xiàng)分布的期望與方差
1．如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量。
2．有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)。
【變式訓(xùn)練】　電子商務(wù)在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物成為很多人的選擇。某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動(dòng)，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味)。小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁一看，只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見具體口味，由購買者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇(各種口味的高級口香糖均超過三瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點(diǎn)擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動(dòng)補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖)。
(1)小王花10元錢買三瓶，請問小王收到貨的組合方式共有多少種？
(2)小王花10元錢買三瓶，由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶，請列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數(shù)ξ的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差。
解　(1)若三瓶口味均不一樣，有C＝56(種)；
若其中兩瓶口味一樣，有CC＝56(種)；
若三瓶口味一樣，有8種。
故小王收到貨的組合方式共有56＋56＋8＝120(種)。
(2)ξ所有可能的取值為0,1,2,3。
因?yàn)楦鞣N口味的高級口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，有8種不同口味，所以小王隨機(jī)點(diǎn)擊一次是草莓味口香糖的概率為，
即隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B。
P(ξ＝0)＝C×0×3＝，
P(ξ＝1)＝C×1×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×1＝，
P(ξ＝3)＝C×3×0＝。
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P

數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝np＝3×＝，
方差D(ξ)＝np(1－p)＝3××＝。
考點(diǎn)三均值與方差在實(shí)際決策中的應(yīng)用
【例3】　(2019·廣東六校聯(lián)考)某市大力推廣純電動(dòng)汽車，對購買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程R(單位：千米)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財(cái)政補(bǔ)貼，其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

出廠續(xù)駛里程R/千米
補(bǔ)貼/(萬元/輛)
150≤R

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