2020高考數學（理）新創(chuàng)新大一輪復習通用版講義：第二章第四節(jié)指數與指數函數-學案下載-教習網

[考綱要求]
1．了解指數函數模型的實際背景．
2．理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算．
3．理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，，的指數函數的圖象．
4．體會指數函數是一類重要的函數模型．　　　
突破點一　指數冪的運算

1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a?
2．有理數指數冪
冪的有關概念
正分數指數冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
負分數指數冪：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分數指數冪等于_0_，0的負分數指數冪無意義
有理數指數冪的性質
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)

一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)＝－a.(　　)
(2)(－a)＝(－a)＝.(　　)
(3)()n＝a.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空題
1．計算：π0＋2－2×＝________.
答案：
2．設a>0，將表示成分數指數冪的形式，其結果是________．
解析：＝＝＝＝a2·a＝a＝a.
答案：a
3．若＝，則實數a的取值范圍為________．
解析：＝|2a－1|，＝1－2a.
因為|2a－1|＝1－2a.
故2a－1≤0，所以a≤.
答案：

指數冪的運算規(guī)律
(1)有括號的先算括號里的，無括號的先進行指數運算．
(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．
(3)底數是負數，先確定符號，底數是小數，先化成分數，底數是帶分數的，先化成假分數．
(4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．
[典例]　(1)(a>0)的值是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．a
C．a D．a
(2)0＋2－2·－(0.01)0.5＝________.
[解析]　(1)＝＝a＝a.故選D.
(2)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
[答案]　(1)D　(2)
[方法技巧]
化簡指數冪常用的技巧
(1)－p＝p(ab≠0)；
(2)a＝m，a＝(a)n(式子有意義)；
(3)1的代換，如1＝a－1a,1＝aa等；

(4) 乘法公式的常見變形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a?ab＋b)＝a±b.　　
[針對訓練]
1．化簡(a>0，b>0)的結果是(　　)
A．a B．ab
C．a2b D.
解析：選D　原式＝＝a·b＝.
2．(2019·江西百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知14a＝7b＝4c＝2，則－＋＝________.
解析：由題設可得2＝14,2＝7,2＝4，
則2＝＝2，
∴2＝2×4＝23，
∴－＋＝3.
答案：3
3．若x>0，則(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝________.
解析：因為x>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x·x＋4x·x＝4x－3－4x＋4x＝4x－33－4x＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
突破點二　指數函數的圖象及應用

1．指數函數的圖象
函數
y＝ax(a>0，且a≠1)
00，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，.
3．指數函數的圖象與底數大小的比較

如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b.
由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數越大．

一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)y＝2x－1是指數函數．(　　)
(2)y＝ax＋1的圖象恒過定點(－1,1)．(　　)
(3)要得到y(tǒng)＝3x＋2的圖象只需將y＝3x的圖象向左平移2個單位即可．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空題
1．函數y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點________．
解析：因為指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0,1)，所以在函數y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此時y＝1＋3＝4，即函數y＝ax－3＋3的圖象過定點(3,4)．
答案：(3,4)
2．函數y＝2x＋1的圖象是________(填序號)．

解析：由y＝2x的圖象向左平移1個單位可得y＝2x＋1的圖象．答案：①
3．已知函數y＝x的圖象與指數函數y＝ax的圖象關于y軸對稱，則實數a的值是________．
解析：由兩函數的圖象關于y軸對稱，可知與a互為倒數，即＝1，解得a＝4.
答案：4

考法一　與指數函數有關的圖象辨析　
[例1]　(2019·河北武邑中學調研)函數y＝e－|x－1|的大致圖象是(　　)

[解析]　因為－|x－1|≤0，所以0x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，
所以要使f(x)＋f(x－1)>1成立，
結合函數f(x)的圖象知只需x－1>－1，
解得x>0.故所求x的取值范圍是(0，＋∞)．
[答案]　(0，＋∞)

有關指數函數圖象問題的解題思路
(1)已知函數解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．
(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．
(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往是利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解．

1.函數f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　)

解析：選A　由f(x)＝1－e|x|是偶函數，其圖象關于y軸對稱，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域為(－∞，0]，排除C.
2.函數y＝ax－b(a>0且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限，則ab的取值范圍為(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．無法確定
解析：選C　因為函數y＝ax－b的圖象經過第二、三、四象限，所以函數y＝ax－b單調遞減且其圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0,1)，故選C.
3.若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．
解析：曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖可知：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]
突破點三　指數函數的性質及應用

指數函數的性質
函數
y＝ax(a>0，且a≠1)
00時，01.(　　)
(2)若指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值為2，則a為.(　　)
(3)若am>an(a>0，且a≠1)，則m>n.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、填空題
1．函數y＝1－x的單調遞增區(qū)間為________．
答案：(－∞，＋∞)
2．若－1