隱零點(diǎn)問題
在求解函數(shù)問題時(shí)，很多時(shí)候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程將無法繼續(xù)進(jìn)行．但可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(diǎn)(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值異號時(shí)就可證明存在唯一的零點(diǎn))，這時(shí)可設(shè)出其零點(diǎn)是x0.因?yàn)閤0不易求出(當(dāng)然，有時(shí)是可以求出但無需求出)，所以把零點(diǎn)x0叫做隱零點(diǎn)；若x0容易求出，就叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行．實(shí)際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法．
[典例]　設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
[解題觀摩]　(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln a)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln a，＋∞)．(解答過程略)
(2)由題設(shè)可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0，
即k0)恒成立．
令g(x)＝＋x(x>0)，得g′(x)＝＋1＝(x>0)．
由(1)的結(jié)論可知，函數(shù)h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函數(shù)．
又因?yàn)閔(1)0，所以函數(shù)h(x)的唯一零點(diǎn)α∈(1,2)(該零點(diǎn)就是h(x)的隱零點(diǎn))．
當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)0，
所以g(x)min＝g(α)＝＋α.
又eα＝α＋2且α∈(1,2)，
則g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)，
所以k的最大值為2.
[題后悟通]
本題的關(guān)鍵就是利用h(x)＝ex－x－2及h(1)0確定h(x)的隱零點(diǎn)，從而作出判斷．　　
[針對訓(xùn)練]
1．已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：曲線y＝存在斜率為6的切線，且切點(diǎn)的縱坐標(biāo)y00上有解．
構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)＝1－ln x－6x2(x>0)，g′(x)＝－－12x2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn))；
(2)若在函數(shù)f(x)的定義域上存在x1，x2(x1≠x2)滿足f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn))；
(3)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2)，令x0＝，求證：f′(x0)>0；
(4)若在函數(shù)f(x)的定義域上存在x1，x2(x1≠x2)滿足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求證：f′(x0)>0.
[典例]　已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(x>0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2)．證明：x1x2>e2.
[解題觀摩]　法一：(抓極值點(diǎn)構(gòu)造函數(shù))
由題意，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知ln x1，ln x2是方程x＝aex的兩根．
設(shè)t1＝ln x1，t2＝ln x2，g(x)＝xe－x，則g(t1)＝g(t2)，
從而x1x2>e2?ln x1＋ln x2>2?t1＋t2>2.
下證：t1＋t2>2.
g′(x)＝(1－x)e－x，易得g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)g(x)在x＝1處取得極大值g(1)＝.
當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)→－∞；當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0且g(x)>0.
由g(t1)＝g(t2)，t1≠t2，不妨設(shè)t1e2?ln x1＋ln x2>2?t1＋t2>2.
下證：t1＋t2>2.
由g(t1)＝g(t2)，得t1e－t1＝t2e－t2，化簡得et2－t1＝，①
不妨設(shè)t2>t1，由法一知，02，
又es－1>0，故要證＋s>2，
即證2s＋(s－2)(es－1)>0，②
令G(s)＝2s＋(s－2)(es－1)(s>0)，
則G′(s)＝(s－1)es＋1，G″(s)＝ses>0，
故G′(s)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以G′(s)>G′(0)＝0，
從而G(s)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以G(s)>G(0)＝0，
所以②式成立，故t1＋t2>2，即x1x2>e2.
[點(diǎn)評]　該方法的關(guān)鍵是巧妙引入變量s，然后利用等量關(guān)系，把t1，t2消掉，從而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化所證問題．其解題要點(diǎn)為：
(1)取差構(gòu)元：記s＝t2－t1，則t2＝t1＋s，利用該式消掉t2.
(2)巧解消參：利用g(t1)＝g(t2)，構(gòu)造方程，解之，利用s表示t1.
(3)構(gòu)造函數(shù)：依據(jù)消參之后所得不等式的形式，構(gòu)造關(guān)于s的函數(shù)G(s)．
(4)轉(zhuǎn)化求解：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G(s)的單調(diào)性和最小值，從而證得結(jié)論．
法三：
不妨設(shè)x1>x2，
因?yàn)閘n x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以＝a，
欲證x1x2>e2，即證ln x1＋ln x2>2.
因?yàn)閘n x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，所以即證a>，
所以原問題等價(jià)于證明>，
即ln>，
令c＝(c>1)，則不等式變?yōu)閘n c>，
令h(c)＝ln c－，c>1，
所以h′(c)＝－＝>0，
所以h(c)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0，
即ln c－>0(c>1)，
因此原不等式x1x2>e2得證．
[點(diǎn)評]　該方法的基本思路是直接消掉參數(shù)a，再結(jié)合所證問題，巧妙引入變量c＝，從而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)．其解題要點(diǎn)為：
(1)聯(lián)立消參：利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a.
(2)抓商構(gòu)元：令c＝，消掉變量x1，x2，構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h(c)．
(3)用導(dǎo)求解：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(c)的最小值，從而可證得結(jié)論．
[針對訓(xùn)練]
2．若關(guān)于x的方程xln x＝m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解x1，x2，求證：x1·x2x2，要證x1x20，且x≠1時(shí)，f(x)>＋，求k的取值范圍．
[解題觀摩]　(1)f′(x)＝－.
由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－，且過點(diǎn)(1,1)，
故即解得
(2)法一：由(1)知f(x)＝＋，
所以f(x)－＝.
設(shè)h(x)＝2ln x＋(x>0)，
則h′(x)＝.
①設(shè)k≤0，由h′(x)＝知，
當(dāng)x≠1時(shí)，h′(x)0，可得h(x)>0；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)0.
從而當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f(x)－>0，
即f(x)>＋.
②設(shè)01，所以當(dāng)x∈時(shí)，(k－1)(x2＋1)＋2x>0，
故h′(x)>0，而h(1)＝0，故當(dāng)x∈時(shí)，h(x)>0，可得h(x)0，而h(1)＝0，故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)>0，可得h(x)0，x≠1時(shí)，k0，x≠1)，
則g′(x)＝2·，
再令h(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x>0，x≠1)，
則h′(x)＝2xln x＋－x，又h″(x)＝2ln x＋1－，
易知h″(x)＝2ln x＋1－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且h″(1)＝0，
故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h″(x)0，
∴h′(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)，故h′(x)>h′(1)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．又h(1)＝0，
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)0，
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)0，
∴g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．
由洛必達(dá)法則知，
g(x)＝2 ＋1＝2 ＋1＝2×＋1＝0，∴k≤0，
故k的取值范圍為(－∞，0]．
[題后悟通]
解決本題第(2)問時(shí)，如果直接討論函數(shù)的性質(zhì)，相當(dāng)繁瑣，很難求解．采用參數(shù)與變量分離較易理解，但是分離出來的函數(shù)式的最值無法求解，而利用洛必達(dá)法則卻較好地處理了它的最值，這是一種值得借鑒的方法．　　
[針對訓(xùn)練]
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝1－e－x，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤，求a的取值范圍．
解：設(shè)t(x)＝(x－1)ex＋1(x>0)，得t′(x)＝xex>0(x>0)，所以t(x)是增函數(shù)，t(x)>t(0)＝0(x>0)．
又設(shè)h(x)＝(x－2)ex＋x＋2>0(x>0)，得h′(x)＝t(x)>0(x>0)，所以h(x)是增函數(shù)，h(x)>h(0)＝0(x>0)．
由f(x)≤，得a≤，
再設(shè)g(x)＝(x>0)，得g(x)>(x>0)．
連續(xù)兩次使用洛必達(dá)法則1，得
g(x)＝＝＝，
所以g(x)的下確界是.
題設(shè)即“當(dāng)x>0時(shí)，1－e－x≤恒成立”，所求a的取值范圍是.

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部