(一)　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題
[命題解讀]　1.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考的重點與熱點．
2．常涉及的問題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等．
3．涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，中、高檔難度均有．


利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的單調(diào)性、極值是局部概念，函數(shù)的最值是整體概念，研究函數(shù)的性質(zhì)必須在定義域內(nèi)進行，因此，務(wù)必遵循定義域優(yōu)先的原則，本熱點主要有三種考查方式：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)的范圍．
【例1】　(2018·天津高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差為d的等差數(shù)列．
(1)若t2＝0，d＝1，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)若d＝3，求f(x)的極值．
[解]　(1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，又因為曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切線方程為x＋y＝0.
(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2.
故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－，或x＝t2＋.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，t2－)
t2－
(t2－，t2＋)
t2＋
(t2＋，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↘
極大值
↗
極小值
↘
所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6；函數(shù)f(x)的極小值為f(t2＋)＝()3－9×＝－6.
[規(guī)律方法]　1.研究函數(shù)的性質(zhì)，必須在定義域內(nèi)進行，因此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則．
2．討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，最終歸結(jié)到判斷f′(x)的符號問題上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最終可轉(zhuǎn)化為一個一元一次不等式或一元二次不等式問題．
3．若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解．
(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝aln x＋x2－ax(a∈R)．
(1)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[1，e]的最小值h(a)．
[解]　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2x－a＝，
因為x＝3是f(x)的極值點，
所以f′(3)＝＝0，解得a＝9.
所以f′(x)＝＝，
所以當(dāng)0＜x＜或x＞3時，f′(x)＞0；
當(dāng)＜x＜3時，f′(x)＜0.
所以f(x)的遞增區(qū)間為和(3，＋∞)，遞減區(qū)間為.
(2)由題知，g(x)＝f(x)－2x＝aln x＋x2－ax－2x.
g′(x)＝－2＝.
①當(dāng)≤1，即a≤2時，g(x)在[1，e]上為增函數(shù)，
h(a)＝g(1)＝－a－1；
②當(dāng)1＜＜e，即2＜a＜2e時，g(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
h(a)＝g＝aln－a2－a；
③當(dāng)≥e，即a≥2e時，g(x)在[1，e]上為減函數(shù)，
h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
綜上，h(a)＝


利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題

研究函數(shù)零點的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值的正負(fù)，為此，我們可以通過討論函數(shù)的單調(diào)性來解決，求解時應(yīng)注重等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，其主要考查方式有：(1)確定函數(shù)的零點、圖像交點的個數(shù)；(2)由函數(shù)的零點、圖像交點的情況求參數(shù)的取值范圍．

【例2】　(本小題滿分12分)(2018·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)只有一個零點．
[信息提取]　看到(1)求單調(diào)區(qū)間，想到導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系；
看到(2)f(x)只有一個零點，想到f(x)的單調(diào)性及函數(shù)有零點的條件．
[規(guī)范解答]　(1)當(dāng)a＝3時，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0解得x＝3－2或x＝3＋2. 2分
當(dāng)x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)時，f′(x)>0；
當(dāng)x∈(3－2，3＋2)時，f′(x)0，所以f(x)＝0等價于－3a＝0. 7分
設(shè)g(x)＝－3a，則g′(x)＝≥0，僅當(dāng)x＝0時g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)遞增．
故g(x)至多有一個零點，從而f(x)至多有一個零點. 9分
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6a－2－0，故f(x)有一個零點. 11分
綜上，f(x)只有一個零點. 12分
[易錯與防范]　易錯誤區(qū)：(1)把單調(diào)增區(qū)間用“∪”連接．
(2)作第(2)問時，直接求f′(x)，導(dǎo)致無法求解．
(3)無法找到區(qū)間(m，n)，使得f(m)f(n)＜0.
防范措施：(1)單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接．
(2)求函數(shù)零點時，常利用f(x)＝0，轉(zhuǎn)化函數(shù)的表現(xiàn)形式．
(3)在尋找m，n使得f(m)f(n)＜0時，可通過多次嘗試獲得．
[通性通法]　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點的兩種常用方法
(1)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；或用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，再用單調(diào)性和極值定位函數(shù)圖像求解零點問題．
(2)將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．
(2019·武漢模擬)已知f(x)＝ln x－x3＋2ex2－ax，a∈R，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若f(x)在x＝e處的切線的斜率為e2，求a；
(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．
[解]　(1)f′(x)＝－3x2＋4ex－a，
f′(e)＝＋e2－a＝e2，∴a＝.
(2)由ln x－x3＋2ex2－ax＝0，得－x2＋2ex＝a.
記F(x)＝－x2＋2ex，
則F′(x)＝－2(x－e)．
當(dāng)x∈(e，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈(0，e)時，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，
∴F(x)max＝F(e)＝＋e2，
而x→0時，F(xiàn)(x)→－∞，
x→＋∞時，F(xiàn)(x)→－∞.故a＜＋e2.


利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中高檔題，突出轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想的考查．常見的命題角度有：(1)證明不等式；(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題；(3)不等式恒成立、能成立問題．
【例3】　設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)0，f(x)在(1，＋∞)上遞增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部