2021版高考文科數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析10.3　圓的方程 學(xué)案

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(　　)A.   B.   C.   D.3.以(a,1)為圓心,且與兩條平行直線2x-y+4=0與2x-y-6=0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A.(x-1)2+(y-1)2=5   B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5　   D.x2+(y-1)2=54.圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(　　)A.(x-)2+(y-1)2=4　　 B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4    D.(x-1)2+(y-)2=45.已知圓C經(jīng)過(guò)P(-2,4),Q(3,-1)兩點(diǎn),且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6,則圓C的方程為________.????????????? 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) 【解析】1.選D.由題意可得圓的半徑為r=,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=2.2.選B.圓心在直線BC的垂直平分線,即x=1上,設(shè)圓心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圓心到原點(diǎn)的距離為d==.3.選A.因?yàn)閮善叫兄本€2x-y+4=0與2x-y-6=0的距離為d==2.故所求圓的半徑為r=,所以圓心(a,1)到直線2x-y+4=0的距離為=,即a=1或a=-4.又因?yàn)閳A心(a,1)到直線2x-y-6=0的距離也為r=,所以a=1.因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=5.4.選D.設(shè)圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則有解得a=1,b=,從而所求圓的方程為(x-1)2+(y-)2=4.5.設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.　③設(shè)x1,x2是方程③的兩根,由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④聯(lián)立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0　求圓的方程的兩種方法(1)幾何法,通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí),常用到的圓的三個(gè)性質(zhì):①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線;(2)代數(shù)法,即設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解: ①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值.②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.【秒殺絕招】　第4題的解答可以畫出直線與圓的圖形,發(fā)現(xiàn)直線的傾斜角為30°,所以圓心M(2,0)的對(duì)稱圓心M′,和原點(diǎn)O構(gòu)成等邊三角形,所以xM ′=2cos 60°=1,yM ′=2sin 60°=.考點(diǎn)二　與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 【典例】1.(2020·貴陽(yáng)模擬)已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過(guò)點(diǎn)A(2,3)作圓C的任意弦,則這些弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為________. 2.已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1看到中點(diǎn)想到中點(diǎn)坐標(biāo)公式2看到直角想到垂直關(guān)系,從而聯(lián)想到斜率之積為-1或者向量的數(shù)量積為0【解析】1.方法一:設(shè)P(x,y),圓心C(1,1).因?yàn)镻點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)A的弦的中點(diǎn),所以⊥.又因?yàn)?/span>=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.所以P點(diǎn)的軌跡方程為+(y-2)2=.方法二:由已知得,PA⊥PC,所以由圓的性質(zhì)知點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上,圓心C(1,1),而AC中點(diǎn)為,|AC|==,所以半徑為.所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+(y-2)2=.答案:+(y-2)2=2.(1)方法一:設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0).方法二:設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=|AB|=2.由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y≠0).　求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的方法:(1)直接法,直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;(2)定義法,根據(jù)圓、直線等定義列方程;(3)幾何法,利用圓的幾何性質(zhì)列方程;(4)代入法,找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.設(shè)定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡.【解析】如圖所示,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,故=,=.從而又N(x+3,y-4)在圓上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求軌跡為圓:(x+3)2+(y-4)2=4,但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況).考點(diǎn)三　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 命題精解讀考什么:(1)圓的幾何性質(zhì);(2)基本不等式;(3)函數(shù)的單調(diào)性.怎么考:以選擇題或填空題的形式考查新趨勢(shì):(1)借助幾何性質(zhì)求解.(2)建立函數(shù)關(guān)系求解.學(xué)霸好方法方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件:A=C≠0,B=0,且D2+E2-4AF>0.1.解決與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)的最值問(wèn)題:轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的最值問(wèn)題.2.過(guò)x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程:x0x+y0y=r2. 利用幾何法求最值【典例】1.(2020·南寧模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知(x1-2)2+=5,x2-2y2+4=0,則(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為 (　　)A.　 B.　  C.　  D.【解析】選B.由已知得點(diǎn)(x1,y1)在圓(x-2)2+y2=5上,點(diǎn)(x2,y2)在直線x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圓(x-2)2+y2=5上的點(diǎn)和直線x-2y+4=0上點(diǎn)的距離的平方,而距離的最小值為-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為.2.(2020·聊城模擬)已知M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),????????????? 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求m+2n的最大值.(2)求的最大值和最小值.【解析】(1)因?yàn)?/span>x2+y2-4x-14y+45=0的圓心C(2,7),半徑r=2,設(shè)m+2n=t,將m+2n=t看成直線方程,因?yàn)樵撝本€與圓有公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離d=≤2,解上式得:16-2≤t≤16+2,所以,所求的最大值為16+2.(2)記點(diǎn)Q(-2,3).因?yàn)?/span>表示直線MQ的斜率,設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,則=k.由直線MQ與圓C有公共點(diǎn),所以≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值為2+,最小值為2-.用代數(shù)法求最值【典例】1.若點(diǎn)P為圓x2+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn),則|PA|+|PB|的最大值為(　　)A.2　  B.2　  C.4　  D.4【解析】選B.由已知得,線段AB為圓的直徑.所以|PA|2+|PB|2=4,由基本不等式得≤=2,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)取等號(hào),所以|PA|+|PB|≤2.2.已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱.????????????? 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求圓C的方程.(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求·的最小值.【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b),由已知得M(-2,-2),則解得則圓C的方程為x2+y2=r2,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2,故圓C的方程為x2+y2=2.(2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2,·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos θ,y=sin θ,所以·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2=2sin-2,又=-1,所以·的最小值為-4.1.(2020·廈門模擬)已知兩點(diǎn)A(0,-3),B(4,0),若點(diǎn)P是圓C:x2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn),則△ABP的面積的最小值為????????????? (　　)A.6　  B.  C.8　  D.【解析】選B.x2+y2-2y=0可化為x2+(y-1)2=1,則圓C為以(0,1)為圓心,1為半徑的圓.如圖,過(guò)圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P,連接BP,AP,這時(shí)△ABP的面積最小,直線AB的方程為+=1,即3x-4y-12=0,圓心C到直線AB的距離d=,又|AB|==5,所以△ABP的面積的最小值為×5×=.2.已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2+(y-1)2=1上運(yùn)動(dòng),則的最大值與最小值分別為________. 【解析】設(shè)=k,則k表示點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)A(2,1)連線的斜率.當(dāng)直線PA與圓相切時(shí),k取得最大值與最小值.設(shè)過(guò)(2,1)的直線方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由=1,解得k=±.答案:,-1.已知點(diǎn)P(t,t),t∈R,點(diǎn)M是圓x2+(y-1)2=上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是圓(x-2)2+y2=上的動(dòng)點(diǎn),則|PN|-|PM|的最大值是????????????? (　　)A.-1　  B.2　  C.3　  D.【解析】選B.易知圓x2+(y-1)2=的圓心為A(0,1),圓(x-2)2+y2=的圓心為B(2,0),P(t,t)在直線y=x上,A(0,1)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1,0),則|PN|-|PM|≤-=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.(此時(shí)|PN|最大,|PM|最小)2.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓:x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),則·的最大值為________. 【解析】由題意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn),故其坐標(biāo)滿足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,當(dāng)y=4時(shí),·的值最大,最大值為6×4-12=12.答案:123.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=-圖象上的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a,a-3)(a∈R),則|PQ|的最小值為________. 【解析】函數(shù)y=-的圖象表示圓(x-1)2+y2=4在x軸及下方的部分,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則得y=-3,即x-2y-6=0,作出圖象如圖所示,由于圓心(1,0)到直線x-2y-6=0的距離d==>2,所以直線x-2y-6=0與圓(x-1)2+y2=4相離,因此|PQ|的最小值是-2.答案:-2 關(guān)閉Word文檔返回原板塊