2021版高考文科數(shù)學人教A版一輪復習核心考點·精準研析8.5.2　數(shù)列與函數(shù)、不等式的結合 學案

溫馨提示：    此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。核心考點·精準研析考點一　數(shù)列與函數(shù)的綜合 1.設{an}是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-x-2 021的兩個零點是a2,a3,則a1a4等于(　　)A.2 021  B.1  C.-1  D.-2 0212.在各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}中,首項a1=2,且點(,)在直線x-9y=0上,則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于????????????? (　　)A.3n-1   B.C.  D.3.設y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 世紀金榜導學號(　　)A.n(2n+3) B.n(n+4)C.2n(2n+3) D.2n(n+4)4.已知函數(shù)f(x)=log2x,若數(shù)列{an}的各項使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________. ????????????? 世紀金榜導學號 【解析】1.選D.由題意a2,a3是x2-x-2 021=0的兩根.由根與系數(shù)的關系得a2a3=-2 021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.2.選A.由點(,)在直線x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又數(shù)列{an}各項均為正數(shù),且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,即=3,所以數(shù)列{an}是首項a1=2,公比q=3的等比數(shù)列,其前n項和Sn==3n-1.3.選A.由題意可設f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3).4.設等差數(shù)列的公差為d,則由題意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…,從而a1=24,a2=26,a3=28,….易知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比q==4,所以Sn==(4n-1).答案:(4n-1)1.將題3改為設f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù),且對任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是????????????? (　　)A.  B.C.  D.【解析】選C.在f(x)·f(y)=f(x+y)中令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)f(1),又a1=,an=f(n)(n∈N*),則an+1=an,所以數(shù)列{an}是首項和公比都是的等比數(shù)列,其前n項和Sn==1-∈,2.數(shù)列{an}的通項an=ncos2-sin2,其前n項和為Sn,則S40為(　　)A.10 B.15 C.20 D.25【解析】選C.由題意得,an=ncos2-sin2=ncos,則a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,則S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)=-2+4-…+40=20.數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形.注意數(shù)列與函數(shù)的不同,數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),在解決問題時要注意這一特殊性.【秒殺絕招】　1.特例法解T2:由題意(, )在直線x-9y=0上,所以—9=0,因為a1=2,易得a2=6,所以S2=8.驗證四個選項可排除BCD.2.待定系數(shù)法解T3:先設出一次函數(shù),由已知條件,確定出系數(shù),再求解.考點二　數(shù)列與不等式的綜合 【典例】數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an(n∈N*),Sn為其前n項和.數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且滿足b1=a1,b4=S3.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式.(2)設cn=,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,證明:≤Tn<.【解題導思】序號聯(lián)想解題 (1)由{an}是等比數(shù)列,求得{an}的通項公式,進而求其前n項和Sn , 再由等差數(shù)列{bn}與等比數(shù)列{an}的關系求出bn.(2)先化簡求出cn =,利用裂項相消法求得數(shù)列{cn}的前n項和Tn,由數(shù)列{Tn}是一個遞增數(shù)列證出結論【解析】(1)由題意知,{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,所以an=a1·2n-1=2n-1.所以Sn=2n-1.設等差數(shù)列{bn}的公差為d,則b1=a1=1,b4=1+3d=7,所以d=2,bn=1+(n-1)×2=2n-1.(2)因為log2a2n+2=log222n+1=2n+1,所以cn===,所以Tn=.因為n∈N*,所以Tn=<,=.當n≥2時,Tn-Tn-1=-=>0,所以數(shù)列{Tn}是一個遞增數(shù)列,所以Tn≥T1=.綜上所述,≤Tn<.　數(shù)列與不等式的綜合問題(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)以數(shù)列為載體,考查不等式恒成立的問題,此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.(3)考查與數(shù)列有關的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進行證明,有時也可通過構造函數(shù)進行證明.設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并且對于所有的正整數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)令bn=(n∈N*),求證:b1+b2+b3+…+bn<1+n.【解析】(1)由已知=(n∈N*),整理得Sn=(an+2)2,所以Sn+1=(an+1+2)2.所以an+1=Sn+1-Sn=[(an+1+2)2-(an+2)2]=(+4an+1--4an),整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0,由題意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4,而a1=2,即數(shù)列{an}是a1=2,d=4的等差數(shù)列,所以an=a1+(n-1)d=4n-2.(2)令cn=bn-1,則cn===-.故b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn=++…+=1-<1.故b1+b2+…+bn<1+n.考點三　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應用 命題精解讀考什么:(1)考查求最值、比較大小、求取值范圍等問題.(2)考查數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)及 函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.怎么考:以數(shù)列為載體,考查利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象或不等式的性質(zhì)進行放縮、比較大小、求范圍或最值、證明結論等.新趨勢:與函數(shù)、不等式綜合問題的考查學霸好方法1.求最值(或取值范圍)問題的解題思路先構造數(shù)列對應的函數(shù)y=f(x),x∈(0,+∞).再由以下方法求最值:(1)利用函數(shù)的單調(diào)性(2)利用均值不等式(3)利用導數(shù)注意是在正整數(shù)內(nèi)討論的.2.交匯問題與函數(shù)、不等式交匯時,依據(jù)函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.求最值問題【典例】1.在等差數(shù)列{an}中,若a1<0,Sn為其前n項和且S7=S17,則Sn最小時的n的值為????????????? (　　)A.12或13 B.11或12C.11   D.122.在正項等比數(shù)列{an}中,為a6與a14的等比中項,則a3+3a17的最小值為????????????? 世紀金榜導學號(　　)A.2  B.89 C.6 D.3【解析】1.選D.由S7=S17,依據(jù)二次函數(shù)對稱性知當n=12時,Sn最小.2.選C.因為{an}是正項等比數(shù)列,且為a6與a14的等比中項,所以a6a14=3=a3a17,則a3+3a17=a3+3·≥2=6,當且僅當a3=3時,等號成立,所以a3+3a17的最小值為6.求等差數(shù)列前n項和的最值常用的方法有哪些?提示:(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出最值;(2)利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;(3)將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.比較大小【典例】數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a6=b7,則有????????????? (　　)A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9與b4+b10的大小不確定【解析】選B.因為a3+a9≥2=2=2a6=2b7=b4+b10,當且僅當a3=a9時取等號.本題利用均值不等式比較兩個式子的大小,恰到好處.利用均值不等式≥時一定要滿足其成立的三個條件分別是什么?提示:(1)a,b均為正數(shù).(2)a,b的和或積必須有一個為定值.(3)a=b時等號成立.求取值范圍問題【典例】設數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1,記數(shù)列的前n項和為Tn,若對任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________. 【解析】因為an=2n-1,所以==,所以Tn==<,又4Tn<a2-a,所以2≤a2-a,解得a≤-1或a≥2,即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1]∪[2,+∞).答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)1.已知正項等比數(shù)列{an}滿足2a5+a4=a3,若存在兩項am,an,使得8=a1,則+的最小值為________. 【解析】因為正項等比數(shù)列{an}滿足2a5+a4=a3,所以2a1q4+a1q3=a1q2,整理,得2q2+q-1=0,又q>0,解得,q=,因為存在兩項am,an使得8=a1,所以64qm+n-2=,整理,得m+n=8,所以+=(m+n)=≥=2,當且僅當=時取等號,此時m,n∈N*,又m+n=8,所以只有當m=6,n=2時,+取得最小值是2.答案:22.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn+3)(n∈N*)在函數(shù)y=3×2x的圖象上,等比數(shù)列{bn}滿足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n項和為Tn,則下列結論正確的是(　　)A.Sn=2Tn  B.Tn=2bn+1C.Tn>an  D.Tn<bn+1【解析】選D.因為點(n,Sn+3)在函數(shù)y=3×2x的圖象上,所以Sn+3=3×2n,即Sn=3×2n-3.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3×2n-3-(3×2n-1-3)=3×2n-1,又當n=1時,a1=S1=3,所以an=3×2n-1.設bn=b1qn-1,則b1qn-1+b1qn=3×2n-1,可得b1=1,q=2,所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1.由等比數(shù)列前n項和公式可得Tn=2n-1.結合選項可知,只有D正確.3.已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則????????????? (　　)A.a1<a3,a2<a4  B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4  D.a1>a3,a2>a4【解析】選B.因為ln x≤x-1(x>0),所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,所以a4=a1·q3≤-1.由a1>1,得q<0.若q≤-1,則ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4=a1(1+q)·(1+q2)≤0.又a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1,所以ln(a1+a2+a3)>0,矛盾.因此-1<q<0.所以a1-a3=a1(1-q2)>0,a2-a4=a1q(1-q2)<0,所以a1>a3,a2<a4.1.若定義在R上的函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且滿足f=f(x),f(-2)=-3,數(shù)列{an}滿足a1=-1,且=2×+1(其中Sn為{an}的前n項和),則f(a5)+f(a6)=(　　)A.-3 B.-2 C.3 D.2【解析】選C.由f=f(x)可知函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=.又函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),所以有f=f(x)=-f,所以f=-f(x),即f(x-3)=f(x),所以函數(shù)y=f(x)的周期為3.由=2×+1得Sn=2an+n.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an+n-(2an-1+n-1)=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,所以a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63,則f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0).由函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)可得f(0)=0,由f(-2)=-3可得f(-2)=f(1)=-3,所以f(a5)+f(a6)=3.2.已知等差數(shù)列{an}滿足an-1+an+an+1=3n(n≥2),函數(shù)f(x)=2x,bn=log4f(an),則數(shù)列{bn}的前n項和為________. 【解析】因為等差數(shù)列{an}滿足an-1+an+an+1=3n(n≥2),所以3an=3n,即an=n.又因為函數(shù)f(x)=2x,所以f(an)=2n,所以b1+b2+…+bn=log4[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]=log4(2×22×…×2n)=log421+2+…+n=×(1+2+…+n)=.答案:  關閉Word文檔返回原板塊