最新考綱
考情考向分析
會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.
以理解和應用二項式定理為主，?？疾槎椪归_式，通項公式以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，賦值法求系數(shù)的和也是考查的熱點.本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇題、填空題的形式進行考查，難度中檔.



1.二項式定理
二項式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二項展開式的通項公式
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項
二項式系數(shù)
二項展開式中各項的系數(shù)C，C，…，C

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.
C＝C(0≤m≤n).
(2)二項式系數(shù)先增后減中間項最大.
當n為偶數(shù)時，第＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為，當n為奇數(shù)時，第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.
(3)各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
概念方法微思考
1.(a＋b)n與(b＋a)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示　(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應的項不相同而且兩個展開式的通項不同.
2.二項展開式中二項式系數(shù)最大時該項的系數(shù)就最大嗎？
提示　不一定最大，當二項式中a，b的系數(shù)為1時，此時二項式系數(shù)等于項的系數(shù)，否則不一定.


題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展開式的第k項.(　×　)
(2)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān).(　√　)
(3)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.(　×　)
(4)(a＋b)n某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式系數(shù)不同.(　√　)
題組二　教材改編
2.(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于(　　)
A.80 B.40 C.20 D.10
答案　B
解析　Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，當k＝2時，x2的系數(shù)為C·22＝40.
3.若n展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為(　　)
A.10 B.20 C.30 D.120
答案　B
解析　二項式系數(shù)之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，當6－2k＝0，即當k＝3時為常數(shù)項，T4＝C＝20.
4.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
答案　B
解析　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8.
題組三　易錯自糾
5.(x－y)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是(　　)
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
答案　D
解析　(x－y)n二項展開式第m項的通項公式為
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系數(shù)為C(－1)m－1.

6.在n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為________.
答案　1
解析　因為所有二項式系數(shù)的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.
在5中，令x＝1可得展開式中各項系數(shù)的和為(2－1)5＝1.

多項展開式的特定項
命題點1　二項展開式問題
例1　(1)(2019·天津)8的展開式中的常數(shù)項為________.
答案　28
解析　二項展開式的通項Tk＋1＝C(2x)8－kk＝k·28－kCx8－4k，令8－4k＝0可得k＝2，故常數(shù)項為2×26×C＝28.
(2)(2019·浙江)在二項式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項是________，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________.
答案　16　5
解析　該二項展開式的第k＋1項為Tk＋1＝C()9－kxk，當k＝0時，第1項為常數(shù)項，所以常數(shù)項為()9＝16；當k＝1,3,5,7,9時，展開式的項的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為5.
命題點2　兩個多項式積的展開式問題
例2　(1)(2019·全國Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為(　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
答案　A
解析　展開式中含x3的項可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為C＋2C＝4＋8＝12.
(2)(2017·全國Ⅰ)(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為(　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
答案　C
解析　因為(1＋x)6的通項為Cxk，所以(1＋x)6的展開式中含x2的項為1·Cx2和·Cx4.
因為C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為30.
故選C.
命題點3　三項展開式問題
例3　(1)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
答案　C
解析　方法一　利用二項展開式的通項公式求解.
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C.
方法二　利用排列組合知識求解.
(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個因式取y，剩余的三個因式中兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30.故選C.
(2)(2020·合肥檢測)5展開式中的常數(shù)項為(　　)
A.1 B.11 C.－19 D.51
答案　B
解析　5＝5
展開式的通項為Tk＋1＝C5－k
當k＝5時，常數(shù)項為C＝1，
當k＝3時，常數(shù)項為－CC＝－20，
當k＝1時，常數(shù)項為CC＝30.
綜上所述，常數(shù)項為1－20＋30＝11.
思維升華　(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可.
(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏.
(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決.

跟蹤訓練1　(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為(　　)
A.－3 B.－2 C.1 D.4
答案　B
解析　(x－1)4的通項為Tk＋1＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2，故選B.
(2)(x＋a)10的展開式中，x7項的系數(shù)為15，則a＝______.(用數(shù)字填寫答案)
答案　
解析　通項為Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，
∴k＝3，∴x7項的系數(shù)為Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
(3)(1＋2x－3x2)5展開式中x5的系數(shù)為________.
答案　92
解析　方法一　(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C(1＋2x)5＋C(1＋2x)4(－3x2)＋C(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C(－3x2)5，
所以x5的系數(shù)為CC25＋CC×23×(－3)＋CC×2×(－3)2＝92.
方法二　(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系數(shù)為CC35＋C(－1)C34＋C(－1)2C33＋C(－1)3C32＋C(－1)4C31＋C(－1)5C30＝92.
二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題
命題點1　二項式系數(shù)和與系數(shù)和
例4　(1)(2019·鄭州一中測試)若二項式n的展開式的二項式系數(shù)之和為8，則該展開式每一項的系數(shù)之和為(　　)
A.－1 B.1 C.27 D.－27
答案　A
解析　依題意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，該二項展開式每一項的系數(shù)之和為(1－2)3＝－1.
(2)(2019·宣城調(diào)研)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，則a0＋a1＋a2＋…＋a6的值為(　　)
A.1 B.2
C.129 D.2 188
答案　C
解析　令x＝0得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
則a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.
命題點2　二項式系數(shù)的最值問題
例5　(2019·馬鞍山模擬)二項式n的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為(　　)
A.3 B.5 C.6 D.7
答案　D
解析　根據(jù)n的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，得n＝20，∴n的展開式的通項為Tk＋1＝C·(x)20－k·k＝()20－k·C·，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需k是3的倍數(shù)，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項.
思維升華　(1)形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常采用賦值法，只需令x＝1即可.
(2)當n為偶數(shù)時，展開式中第＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.
跟蹤訓練2　(1)(2019·山西八校聯(lián)考)已知(1＋x)n的展開式中第5項和第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　)
A.29 B.210
C.211 D.212
答案　A
解析　由題意知C＝C，由組合數(shù)性質(zhì)得n＝10，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n－1＝29.
(2)(2019·合肥質(zhì)檢)已知m是常數(shù)，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，則m＝________.
答案　3
解析　當x＝0時，(－1)5＝－1＝a0.當x＝1時，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，則m－1＝2，m＝3.
(3)已知m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m等于(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由題意可知，a＝C，b＝C，
∵13a＝7b，∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.


1.(2020·湖北龍泉中學、鐘祥一中、京山一中，沙洋中學聯(lián)考)在6的展開式中，常數(shù)項為(　　)
A.－240 B.－60 C.60 D.240
答案　D
解析　6的二項展開式的通項為Tk＋1＝C·(x2)6－kk＝C(－2)kx12－3k，
令12－3k＝0得k＝4，
即常數(shù)項為T5＝C(－2)4＝240.
2.(2020·秦皇島模擬)5的展開式中x3項的系數(shù)為(　　)
A.80 B.－80 C.－40 D.48
答案　B
解析　5的展開式的通項公式為Tk＋1＝C(2x)5－k·k＝(－1)k·25－k·C·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展開式中x3項的系數(shù)為(－1)·25－1·C＝－80，故選B.
3.(2019·十堰調(diào)研)若n的展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　C
解析　n展開式的通項為C(x6)n－k ＝C，k＝0,1,2，…n，
則依題設(shè)，由6n－k＝0，
得n＝k，∴n的最小值等于5.
4.(2020·廣州海珠區(qū)模擬)(x＋y)(2x－y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為(　　)
A.－80 B.－40 C.40 D.80
答案　D
解析　(2x－y)6的展開式的通項公式為Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，當k＝2時，T3＝240x4y2，當k＝3時，T4＝－160x3y3，故x4y3的系數(shù)為240－160＝80，故選D.
5.(2019·江淮十?？记白詈笠痪?已知(x＋1)(2x＋a)5的展開式中各項系數(shù)和為2，則其展開式中含x3項的系數(shù)是(　　)
A.－40 B.－20 C.20 D.40
答案　D
解析　令x＝1，可得(x＋1)(2x＋a)5的展開式中各項系數(shù)和為2(2＋a)5＝2.
∴a＝－1.
二項式(2x－1)5的展開式的通項為
Tk＋1＝C(2x)5－k·(－1)k
＝25－k·(－1)k·C·x5－k，
所以(x＋1)(2x－1)5的展開式中含x3項的系數(shù)為22(－1)3C＋23(－1)2C＝40.
6.(2020·安徽安慶期末)在二項式n的展開式中恰好第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含有x2項的系數(shù)是(　　)
A.35 B.－35 C.－56 D.56
答案　C
解析　由于第五項的二項式系數(shù)最大，所以n＝8.所以二項式8展開式的通項公式為Tk＋1＝Cx8－k(－x－1)k＝(－1)kCx8－2k，令8－2k＝2，得k＝3，故展開式中含有x2項的系數(shù)是(－1)3C＝－56.
7.(1＋3x)n的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則x4的二項式系數(shù)為(　　)
A.21 B.35 C.45 D.28
答案　B
解析　∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二項式系數(shù)為C＝35，故選B.
8.(2019·鄭州質(zhì)檢)在n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為32∶1，則x2的系數(shù)為(　　)
A.50 B.70 C.90 D.120
答案　C
解析　令x＝1，則n＝4n，所以n的展開式中，各項系數(shù)和為4n，又二項式系數(shù)和為2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.
二項展開式的通項Tk＋1＝Cx5－kk＝C3k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系數(shù)為C32＝90.
9.(2020·焦作期中)(x－)6的展開式中，含x5項的系數(shù)為________.
答案　15
解析　展開式的通項公式為Tk＋1＝C·(－1)k·，
令6－＝5，得k＝2，
故含x5的系數(shù)為C＝15.
10.(2019·晉城模擬)(2－3x)2(1－x)7的展開式中，x3的系數(shù)為________.
答案?。?55
解析　依題意，x3的系數(shù)為4C×(－1)3－12C(－1)2＋9C(－1)＝－455.
11.已知(2x＋1)5(a≠0)，若其展開式中各項的系數(shù)和為81，則a＝________，展開式中常數(shù)項為________.
答案?。?0
解析　在(2x＋1)5中，
令x＝1，得(a＋1)·35＝81，解得a＝－，
所以(2x＋1)5的展開式中的常數(shù)項為
·C·2x＝10.
12.(2019·懷化模擬)若在n的二項展開式中，第3項和第4項的二項式系數(shù)相等且最大，則·n的展開式中的常數(shù)項為________.
答案?。?20
解析　由n的二項展開式中二項式系數(shù)的最大項是第3項和第4項，
則展開式共6項，即n＝6－1＝5，又n展開式的通項為Tk＋1＝C(2x)5－kk＝25－kCx5－2k，
則·n的展開式中的常數(shù)項為22C－2·23C＝－120.

13.已知(xcos θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)與4的展開式中x3的系數(shù)相等，且θ∈(0，π)，則θ等于(　　)
A. B.或
C. D.或
答案　B
解析　由二項式定理知(xcos θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)為Ccos2θ，4的展開式中x3的系數(shù)為C×，所以Ccos2θ＝C×，解得cos2θ＝，解得cos θ＝±，又θ∈(0，π)，所以θ＝或，故選B.
14.5的展開式中常數(shù)項是________.
答案?。? 683
解析　5表示五個相乘，則展開式中的常數(shù)項由三種情況產(chǎn)生，第一種是從五個中分別抽取2x,2x，，，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·22·(－3)＝－360，第二種情況是從五個中都抽取－3，則此時的常數(shù)項為(－3)5＝－243，第三種情況是從五個中分別抽取2x，，－3，－3，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·21·(－3)3＝－1 080，則展開式中常數(shù)項為－360－243－1 080＝－1 683.

15.(2019·衡水中學調(diào)研卷)設(shè)a，b，m為整數(shù)(m>0)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm).若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod10)，則b的值可以是(　　)
A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021
答案　D
解析　a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余數(shù)為1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021.
16.若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，求：
(1)展開式中所有x的有理項；
(2)展開式中系數(shù)最大的項.
解　易求得展開式前三項的系數(shù)為1,2C，4C.
由題意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9.
(1)設(shè)展開式中的有理項為Tk＋1，
由Tk＋1＝C()9－kk＝2kC，
又∵0≤k≤9，∴k＝2,6.
故有理項為T3＝22C·＝144x3，
T7＝26·C·＝5 376.
(2)設(shè)展開式中Tk＋1項的系數(shù)最大，則

∴≤k≤，
又∵k∈N，∴k＝6，
故展開式中系數(shù)最大的項為T7＝5 376.

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