最新考綱
考情考向分析
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.
2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示，并能將復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示.
4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.
主要考查復(fù)數(shù)的基本概念(復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等)，復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，突出考查運(yùn)算能力與數(shù)形結(jié)合思想.一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度為低檔.



1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).
(2)分類：

滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))
復(fù)數(shù)的分類
a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0

(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系.
3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即＝＋，＝－.

概念方法微思考
1.復(fù)數(shù)a＋bi的實(shí)部為a，虛部為b嗎？
提示　不一定.只有當(dāng)a，b∈R時(shí)，a才是實(shí)部，b才是虛部.
2.如何理解復(fù)數(shù)的加法、減法的幾何意義？
提示　復(fù)數(shù)的加法、減法的幾何意義就是向量加法、減法的平行四邊形法則.

題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　×　)
(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(　×　)
(3)復(fù)平面中原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).(　√　)
(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.(　√　)
題組二　教材改編
2.若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.－1或1
答案　A
解析　∵z為純虛數(shù)，∴∴x＝－1.

3.在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A.1－2i B.－1＋2i C.3＋4i D.－3－4i
答案　D
解析?。剑剑?－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4.若復(fù)數(shù)z滿足z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　由題意可得z＝＝＝，
所以＝－＋i，故選D.
題組三　易錯(cuò)自糾
5.設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋為純虛數(shù)”的(　　)
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
答案　C
解析　∵復(fù)數(shù)a＋＝a－bi為純虛數(shù)，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋為純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選C.
6.(2019·葫蘆島模擬)若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2－2i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　由題意，∵z＝＝＝－2－2i，
∴＝－2＋2i，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選B.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1.(2019·河南省百校聯(lián)考)已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝的虛部為(　　)
A.i B.2 C.－1 D.－i
答案　C
解析　因?yàn)椋剑剑?－i，所以z的虛部為－1.
2.(2019·漢中模擬)已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，則a＋bi的共軛復(fù)數(shù)為(　　)
A.－2－i B.－2＋i
C.2－i D.2＋i
答案　A
解析　由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得
∴a＋bi＝－2＋i，其共軛復(fù)數(shù)為－2－i，故選A.
3.(2019·東莞模擬)已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)(a＋i)(1－2i)為純虛數(shù)，則a等于(　　)
A.－ B.2 C. D.－2
答案　D
解析　(a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i，
∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，∴a＋2＝0且1－2a≠0，
得a＝－2且a≠，即a＝－2.故選D.
4.(2019·河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝＋2iz，則|z|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由題意得
z＝＝＝＝，
故|z|＝＝，故選A.
思維升華 復(fù)數(shù)的基本概念有實(shí)部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、模等，在解題過程中要注意辨析概念的不同，靈活使用條件得出符合要求的解.
復(fù)數(shù)的運(yùn)算
命題點(diǎn)1　復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
例1　(1)(2018·全國Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)
A.－3－i B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
答案　D
解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i(2＋3i)等于(　　)
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
答案　D
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故選D.
命題點(diǎn)2　復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
例2　(1)(2018·全國Ⅱ)等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　＝＝＝＝－＋i.
故選D.
(2)(2019·全國Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z等于(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
答案　D
解析　z＝＝＝＝1＋i.
命題點(diǎn)3　復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算
例3　(1)(2019·達(dá)州模擬)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為，則等于(　　)
A. B.3＋4i C.5 D.7
答案　C
解析　z＝＝＝3＋4i，
故＝3－4i?||＝5，故選C.
(2)(2018·成都模擬)對于兩個(gè)復(fù)數(shù)α＝1－i，β＝1＋i，有下列四個(gè)結(jié)論：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；
④α2＋β2＝0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　對于兩個(gè)復(fù)數(shù)α＝1－i，β＝1＋i，
①αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故①不正確；
②＝＝＝＝－i，故②正確；
③＝＝1，故③正確；
④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正確.故選C.
思維升華 (1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.
(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若z＝＋ai，z·＝4，則a為(　　)
A.1或－1 B.1
C.－1 D.不存在的實(shí)數(shù)
答案　A
解析　由題意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4?a＝±1，故選A.
(2)(2019·晉城模擬)若＝m＋ni，其中m，n∈R，則m－n等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　B
解析　依題意，得＝
＝＝－－i，
所以m＝－，n＝－，
所以m－n＝.故選B.
復(fù)數(shù)的幾何意義
例4　(1)(2019·聊城模擬)若復(fù)數(shù)z滿足z(2＋3i)＝i，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　由題意得z＝＝＝，
所以＝－i，所以在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.
(2)(2019·上海市金山中學(xué)月考)已知集合A＝{z|(a＋bi)＋(a－bi)z＋2＝0，a，b∈R，z∈C}，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝?，則a，b之間的關(guān)系是(　　)
A.a＋b>1 B.a＋b1，即a2＋b2

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