2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第8課__函數(shù)的性質(zhì)（2）

____第8課__函數(shù)的性質(zhì)(2)____1. 理解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)奇偶性的方法．2. 掌握奇、偶函數(shù)的對(duì)稱性，體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．3. 能解決與單調(diào)性、奇偶性等有關(guān)的一些綜合題.1. 閱讀：必修1第41～45頁．2. 解悟：①判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟是什么？②具備奇偶性的函數(shù)，其定義域必須具有怎樣的特點(diǎn)？這一特點(diǎn)是函數(shù)奇偶性定義的要求嗎？③請(qǐng)嘗試寫出具備奇偶性的函數(shù)的其他性質(zhì)；④什么是周期函數(shù)？你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示嗎？你知道的周期函數(shù)有哪些？3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成第43頁練習(xí)第1、2、4、6、7題.　基礎(chǔ)診斷　1. 若函數(shù)f(x)＝在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝__±1__．解析：由題意得f(－x)＝－f(x)，則＝－，即＝，所以k＝±1.2. 若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)＝__0__；若g(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)g(x＋1)圖象的對(duì)稱軸為直線__x＝－1__．解析：因?yàn)?/span>f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(6)＝f(2)．因?yàn)?/span>f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝f(6)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.因?yàn)?/span>g(x)是偶函數(shù)，所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸，即直線x＝0對(duì)稱，g(x＋1)是將函數(shù)g(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的，所以函數(shù)g(x＋1)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－1.3. 已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，若f(－1)<f(lgx)，則x的取值范圍是__∪(10，＋∞)__．解析：由題意可得，f(1)＝f(－1)，所以f(1)<f(lgx)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以|lgx|>1，即lgx>1或lgx<－1，解得x>10或0<x<，故實(shí)數(shù)x的取值范圍是∪(10，＋∞)．4. 已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝__－x2－2x__．解析：設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋2x，即f(x)＝－x2－2x，故當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2－2x.5.  設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)＝____．解析：由題意得f(－1)＝－f(1)＝－，f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)，所以＝－＋f(2)，即f(2)＝1，所以f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝，f(5)＝f(3)＋f(2)＝＋1＝. 　范例導(dǎo)航　考向?  判斷函數(shù)的奇偶性例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1) f(x)＝；(2) f(x)＝lg(x＋); (3) f(x)＝.解析：(1) 由題意得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，f(x)＝＝＋2＋2x，則f(－x)＝＋2＋2－x＝2x＋2＋，即f(x)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．(2) 由題意得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R.因?yàn)?/span>f(x)＝lg(x＋)，所以f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋)＋lg(x＋)＝lg[(－x＋)·(x＋)]＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3) 由題意得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(－2，0)∪(0，2)，所以x＋3>0，所以f(x)＝，f(－x)＝，f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．判斷函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R，x∈R的奇偶性．解析：當(dāng)a＝0時(shí)，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，f(a)≠－f(－a)，f(a)≠f(－a)，此時(shí)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).考向?  單調(diào)性、奇偶性的綜合例2　已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1) 求實(shí)數(shù)m的值；(2) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1) 設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以－f(－x)＝f(x)，于是當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2) 由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，則所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3]．已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[－2，2]，且在區(qū)間[－2，0]上單調(diào)遞減．若f(1－m)＋f(1－m2)<0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：由f(x)的定義域?yàn)?/span>[－2，2]，知解得－1≤m≤.因?yàn)?/span>f(x)是奇函數(shù)，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m)<f(m2－1)．因?yàn)?/span>f(x)在[－2，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[－2，2]上是減函數(shù)，所以1－m>m2－1，解得－2<m<1.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，1).考向?  函數(shù)的周期性、對(duì)稱性例3　設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在區(qū)間[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1) 試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；(2) 試求方程f(x)＝0在區(qū)間[－2 018，2 018]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．解析：(1) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，當(dāng)x＝2時(shí)，f(0)＝f(4)≠0，所以函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)．因?yàn)?/span>f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，所以f(－x)＝f(4＋x)，f(－x)＝f(14＋x)，即f(4＋x)＝f(14＋x)，即f(x)＝f(x＋10)，所以函數(shù)f(x)是以10為周期的周期函數(shù)，所以f(－3)＝f(－3＋10)＝f(7)≠0，即f(－3)≠f(3)，所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)．綜上，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2) 因?yàn)樵陂]區(qū)間[0，7]上只有f(1)＝f(3)＝0，所以f(x)＝0在[4，7]上無解，則f(7－x)＝0在[0，3]上無解．因?yàn)?/span>f(7－x)＝f(7＋x)，所以f(7＋x)在[0，3]上無解，即f(x)在[7，10]上無解，所以函數(shù)f(x)＝0在一個(gè)周期[0，10]上只有2個(gè)根．又因?yàn)樵陂]區(qū)間[－2 010，2 010]上含有402個(gè)周期，此時(shí)有2×402＝804(個(gè))根．在區(qū)間(2 010，2 018]上，f(2 011)＝f(1)＝0，f(2 013)＝f(3)＝0，此時(shí)有2個(gè)根．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為10，所以函數(shù)f(x)在[－2 018，－2 010)上的值域和在[2，10)上的值域相同，所以有1個(gè)根．綜上，共有804＋2＋1＝807(個(gè))根．　自測(cè)反饋　1. 已知偶函數(shù)f(x)的圖象與x軸有五個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的所有實(shí)數(shù)根之和等于__0__．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以其圖象與x軸有五個(gè)交點(diǎn)也與y軸對(duì)稱，其中一個(gè)為0，另外四個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱互為相反數(shù)，所以方程f(x)＝0的所有實(shí)數(shù)根之和等于0.2. 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝lgx，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：由已知條件可得，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝其圖象如圖所示，故f(x)>0的解集為(－1，0)∪(1，＋∞)．3. 已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，則f(2 018)＝__2__．解析：由題意得，f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．因?yàn)?/span>g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)，即－g(x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)為周期函數(shù)，周期為4，所以f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝2，即f(2 018)＝2.4. 設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，f(x)＝(其中a，b∈R)，若f＝f，則a＋3b的值為__－10__．解析：由題意得f＝f＝1－，f＝＝.因?yàn)?/span>f＝f，所以1－a＝①.又因?yàn)?/span>f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝②.聯(lián)立①②得，解得所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10. 1.  奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．2. 若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)自變量x的值都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常數(shù)且a≠0)，則f(x)是一個(gè)周期為2a的周期函數(shù). 3. 你還有哪些體悟，寫下來：