1．直線與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)

∵l∥a，a?α，
l?α，∴l(xiāng)∥α
性質定理
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)

∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b

2．平面與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行)

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性質定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

(1)應用線面平行判定定理的注意點：在推證線面平行時，一定要強調直線a不在平面內，直線b在平面內，且a∥b，否則會出現(xiàn)錯誤．
(2)應用線面平行性質定理的注意點：一條直線平行于一個平面，它可以與平面內的無數(shù)條直線平行，但這條直線與平面內的任意一條直線可能平行，也可能異面．
(3)線面平行的判定定理和性質定理使用的區(qū)別：如果結論中有a∥α，則要用判定定理，在α內找與a平行的直線；如果條件中有a∥α，則要用性質定理，找(或作)過a且與α相交的平面．
應用定理證明有關平行問題時，一定要滿足定理的前提條件．
(4)面面平行判定定理的一個推論：如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行．符號表示：a?α，b?α，a∩b＝O，a′?β，b′?β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′?α∥β.
[熟記常用結論]
1．兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．
2．夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．
3．經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
4．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．
5．同一條直線與兩個平行平面所成角相等．
6．如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．
[小題查驗基礎]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面．(　　)
(2)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內的任一條直線．(　　)
(3)已知平面α∥平面β，直線a?α，則a與β內無數(shù)條直線平行．(　　)
(4)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、選填題
1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(　　)
A．一條直線不相交　　　　 B．兩條直線不相交
C．無數(shù)條直線不相交 D．任意一條直線都不相交
解析：選D　因為直線a∥平面α，直線a與平面α無公共點，所以直線a和平面α內的任意一條直線都不相交．
2．若兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關系是(　　)
A．平行 B.相交
C．異面 D．以上均有可能
解析：選D　與一個平面平行的兩條直線可以平行，相交，也可以異面．
3．已知直線a與直線b平行，直線a與平面α平行，則直線b與平面α的關系為(　　)
A．平行 B.相交
C．直線b在平面α內 D．平行或直線b在平面α內
解析：選D　依題意，直線a必與平面α內的某直線平行，又a∥b，因此直線b與平面α的位置關系是平行或直線b在平面α內．
4.如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則EF＝________.
解析：根據(jù)題意，因為EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中點，所以F是CD的中點．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.
答案：
5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結論正確的是______(填序號)．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
解析：如圖，因為AB綊C1D1，
所以四邊形AD1C1B為平行四邊形．
故AD1∥BC1，從而①正確；
易證BD∥B1D1，AB1∥DC1，
又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，
故平面AB1D1∥平面BDC1，從而②正確；
由圖易知AD1與DC1異面，故③錯誤；
因為AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，
所以AD1∥平面BDC1，故④正確．
答案：①②④

考點一 直線與平面平行的判定與性質 [師生共研過關]
[典例精析]
如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1的中點．求證：
(1)AD1∥平面BDC1；
(2)BD∥平面AB1D1.
[證明]　(1)∵D1，D分別為A1C1，AC的中點，四邊形ACC1A1為平行四邊形，∴C1D1綊DA，
∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥C1D.
又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1，
∴AD1∥平面BDC1.
(2)連接DD1，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝DD1，∴BB1∥DD1，
又∵D1，D分別為A1C1，AC的中點，∴BB1＝DD1，
故四邊形BDD1B1為平行四邊形，
∴BD∥B1D1，
又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
∴BD∥平面AB1D1.
[解題技法]
線面平行問題的解題關鍵
(1)證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，從而證明直線與平面平行．
(2)應用線面平行性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．
[過關訓練]
如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，
E，F(xiàn)，H分別是線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．求證：
(1)AP∥平面BEF；
(2)GH∥平面PAD.
證明：
(1)連接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，E是AD的中點，
∴BC綊AE，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴O為AC的中點．
又∵F是PC的中點，∴FO∥AP.
∵FO?平面BEF，AP?平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，
∵F，H分別是PC，CD的中點，
∴FH∥PD.
∵PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又∵O是AC的中點，H是CD的中點，∴OH∥AD.
又∵AD?平面PAD，OH?平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.
考點二 面面平行的判定與性質 [師生共研過關]
[典例精析]
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：
(1)B，C，H，G四點共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[證明]　(1)∵在△A1B1C1中，G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴GH與BC確定一個平面α，
∴G，H，B，C∈α，
∴B，C，H，G四點共面．
(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，
∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
易證A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，
∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，且A1E?平面EFA1，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[解題技法]
證明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題常用)；
(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題常用)；
(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化進行證明．
[過關訓練]
如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求證：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC.
證明：(1)取BD的中點O，連接OC，OE.
∵CB＝CD，∴CO⊥BD.
又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C，
∴BD⊥平面OEC.
∵OE?平面OEC，∴BD⊥OE.
又∵O為BD中點，
∴OE為BD的垂直平分線，
∴BE＝DE.
(2)取AB的中點N，連接DN，MN.
∵M為AE的中點，∴MN∥BE.
∵△ABD為等邊三角形，N為AB的中點，
∴DN⊥AB.
∵∠BCD＝120°，CD＝CB，
∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即CB⊥AB，
∴DN∥CB.
∵DN∩MN＝N，BE∩CB＝B，
∴平面MND∥平面BEC.
又∵DM?平面MND，∴DM∥平面BEC.
考點三 平行關系的綜合應用 [師生共研過關]
[典例精析]
如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α，點C∈α，點B∈β，點D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求證：EF∥平面β；
(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．
[解]　(1)證明：①當AB，CD在同一平面內時，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF?β，BD?β，∴EF∥平面β.
②當AB與CD異面時，如圖所示，
設平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四邊形ACDH是平行四邊形．
在AH上取一點G，使AG∶GH＝CF∶FD，
連接EG，F(xiàn)G，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF?平面EFG，∴EF∥平面β.
綜合①②可知，EF∥平面β.
(2)如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF.
∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF為AC與BD所成的角或其補角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
[解題技法]
利用線面平行或面面平行的性質，可以實現(xiàn)與線線平行的轉化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應線段成比例或相似三角形來解決．
[過關訓練]
如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．
(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．
解：(1)證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理可證，CD∥平面EFGH.
(2)設EF＝x(0＜x＜4)，∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴＝，則＝＝＝1－，
∴FG＝6－x.
∴四邊形EFGH的周長l＝2＝12－x.
又∵0＜x＜4，∴8＜l＜12，
即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8,12)．

一、題點全面練
1．已知α，β表示兩個不同的平面，直線m是α內一條直線，則“α∥β”是“m∥β”的(　　)
A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A　由α∥β，m?α，可得m∥β；反過來，由m∥β，m?α，不能推出α∥β.綜上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件．
2．(2019·湘中名校聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
解析：選D　A中，兩直線可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交；C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線面垂直的性質定理可知結論正確，故選D.
3.如圖，L，M，N分別為正方體對應棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關系是(　　)
A．垂直
B．相交不垂直
C．平行
D．重合
解析：選C　如圖，分別取另三條棱的中點A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因為PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
4．已知α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線．給出下列命題：①若l上兩點到α的距離相等，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β；③若α∥β，l?β，且l∥α，則l∥β.其中正確的命題是(　　)
A．①② B.①②③
C．①③ D．②③
解析：選D　對于①，若直線l在平面α內，l上有兩點到α的距離為0，相等，此時l不與α平行，所以①錯誤；對于②，因為l∥β，所以存在直線m?β使得l∥m，因為l⊥α，所以m⊥α，又m?β，所以β⊥α，所以②正確；對于③，l∥α，故存在m?α使得l∥m，因為α∥β，所以m∥β，因為l∥m，l?β，所以l∥β，③正確．故選D.
5．設l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，給出下列三個命題：
①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；
②若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；
③若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，則l∥m.
其中正確命題的個數(shù)是(　　)
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：選C?、僬_；②中三條直線也可能相交于一點，故錯誤；③正確，所以正確的命題有2個．
6．已知下列命題：
①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內；
②如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面相交；
③若直線l與平面α平行，則l與平面α內的直線平行或異面；
④若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b.
上述命題正確的是________(填序號)．
解析：①若直線與平面有兩個公共點，由公理1可得直線在平面內，故①對；②如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線可能與該平面平行或相交或在平面內，故②錯；③若直線l與平面α平行，則l與平面α內的直線無公共點，即平行或異面，故③對；④若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b或a，b異面，故④錯．
答案：①③
7.如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH 的形狀為________．
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
答案：平行四邊形
8.如圖所示，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________.
解析：如圖，連接PD1，PB1.∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥PQ.
又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，
設PQ∩AB＝M，
∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，
∴＝＝2，即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
∴＝＝，
∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a.
答案：a
9.(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設M，N分別為PD，AD的中點．
(1)求證：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱錐P-ABM的體積．
解：(1)證明：∵M，N分別為PD，AD的中點，
∴MN∥PA，
又MN?平面PAB，PA?平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝××1××2＝.
10.(2018·湘東五校聯(lián)考)如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，△A1CB是等邊三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.
(1)求證：AB1∥平面A1C1C；
(2)求多面體ABC-A1B1C1的體積．
解：(1)證明：取BC的中點D，
連接AD，B1D，C1D，
∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，
∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，
CD∥B1C1，CD＝B1C1，
∴四邊形BDC1B1，CDB1C1是平行四邊形，
∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，
又B1D?平面A1C1C，CC1?平面A1C1C，
∴B1D∥平面A1C1C.
在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，
∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，
∴四邊形ADC1A1是平行四邊形，∴AD∥A1C1.
又AD?平面A1C1C，A1C1?平面A1C1C，
∴AD∥平面A1C1C，
∵B1D∩AD＝D，∴平面ADB1∥平面A1C1C，
又AB1?平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C.
(2)在正方形ABB1A1中A1B＝，
∵△A1CB是等邊三角形，∴A1C＝BC＝，
∴AC2＋AA＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2，
∴AA1⊥AC，AC⊥AB.
又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，
易得CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1.
易知多面體ABC-A1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱錐C-ADC1A1組成的，
直三棱柱ABD-A1B1C1的體積為××1＝，
四棱錐C-ADC1A1的體積為××1×＝，
∴多面體ABC-A1B1C1的體積為＋＝.
二、專項培優(yōu)練
(一)易錯專練——不丟怨枉分
1.在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB和棱AA1的中點，點M，N分別為線段D1E，C1F上的點，則與平面ABCD平行的直線MN有(　　)
A．無數(shù)條 B.2條
C．1條 D．0條
解析：選A　因為直線D1E，C1F與平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，與線段D1E的交點為M，與線段C1F的交點為N，由面面平行的性質定理知MN∥平面ABCD，故有無數(shù)條直線MN∥平面ABCD，故選A.
2．設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.
可以填入的條件有________(填序號)．
解析：由面面平行的性質定理可知，①正確；當m∥γ，n∥β時，n和m可能平行或異面，②錯誤；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以m∥n，③正確．
答案：①或③
3.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件_____________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)
解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥D1D，HN∥BD，
∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，
∴平面FNH∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
則MN?平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.
答案：點M在線段FH上(或點M與點H重合)
4.如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻轉過程中，正確的命題是______(填序號)．
①MB是定值；
②點M在圓上運動；
③一定存在某個位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某個位置，使MB∥平面A1DE.
解析：取DC的中點N，連接MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，∵MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB?平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，∴MB是定值，①正確；∵B是定點，∴M在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確；當矩形ABCD滿足AC⊥DE時存在，其他情況不存在，③不正確．∴①②④正確．
答案：①②④
(二)素養(yǎng)專練——學會更學通
5．[直觀想象、邏輯推理]如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點，求證：

(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
證明：(1)如圖，連接AE，設DF與GN的交點為O，
則AE必過DF與GN的交點O.
連接MO，則MO為△ABE的中位線，
所以BE∥MO.
又BE?平面DMF，MO?平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.
又DE?平面MNG，GN?平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M為AB的中點，
所以MN為△ABD的中位線，
所以BD∥MN.
又BD?平面MNG，MN?平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
6．[直觀想象、邏輯推理]
如圖，四棱錐P -ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點．
(1)求證：CE∥平面PAD.
(2)在線段AB上是否存在一點F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結論，若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：取PA的中點H，連接EH，DH，
因為E為PB的中點，
所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四邊形DCEH為平行四邊形，
所以CE∥DH，
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)存在點F為AB的中點，使平面PAD∥平面CEF，
證明如下：
取AB的中點F，連接CF，EF，
則AF＝AB，
因為CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，
因此CF∥AD.
又AD?平面PAD，CF?平面PAD，
所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中點F滿足要求．



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