2020版高考數(shù)學(xué)（理）新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)通用版講義：第四章第四節(jié)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

?第四節(jié)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)
振幅
周期
頻率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖
用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－

－

y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
五點(diǎn)法作圖的步驟
用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，精髄是通過(guò)變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象，其中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為.
3．由函數(shù)y＝sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種方法

兩種變換的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：兩種變換方法都是針對(duì)x而言的，即x本身加減多少，而不是ωx加減多少．
區(qū)別：先平移變換(左右平移)再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換(左右平移)，平移的量是個(gè)單位．
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長(zhǎng)度一致．(　　)
(2)把函數(shù)y＝sin x的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sinx.(　　)
(3)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T(mén)，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為.(　　)
(4)由圖象求函數(shù)解析式時(shí)，振幅A的大小是由一個(gè)周期內(nèi)圖象中最高點(diǎn)的值與最低點(diǎn)的值確定的．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、選填題
1．函數(shù)y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為(　　)
A．2，，　　　　　　　 B．2，，
C．2，， D．2，，－
解析：選A　由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù)y＝2sin的振幅為2，頻率為，初相為.
2．為了得到函數(shù)y＝2sin的圖象，可以將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象(　　)
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度　 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
解析：選A　函數(shù)y＝2sin＝2sin，可由函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
3．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，主要確定的五個(gè)點(diǎn)是______、______、______、______、______.
答案：　　　　
4.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖象如圖所示，則ω＝________.

答案：3
5．將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_(kāi)_______．
解析：函數(shù)y＝2sin的最小正周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個(gè)周期即個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為y＝2sin＝2sin.
答案：y＝2sin


[典例精析]
某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





f(x)＝Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0

(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式；
(2)將函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象．若函數(shù)y＝g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求θ的最小值；
(3)作出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象．
[解]　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





f(x)＝Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
則g(x)＝5sin.
因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin x圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，
解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，
所以令＋－θ＝，k∈Z，
解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ取得最小值.
(3)由數(shù)據(jù)作出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的圖象如圖所示，

[解題技法]
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象變換的的注意點(diǎn)
常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對(duì)于三角函數(shù)圖象的平移變換問(wèn)題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過(guò)程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位和方向．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　)
A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2
解析：選D　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲線C1上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝sin的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝sin＝sin的圖象，即曲線C2.故選D.
2．若ω＞0，函數(shù)y＝cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)y＝sin ωx的圖象重合，則ω的最小值為_(kāi)_______．
解析：將函數(shù)y＝cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝cos的圖象．因?yàn)樗煤瘮?shù)圖象與函數(shù)y＝sin ωx的圖象重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝－1時(shí)，ω取得最小值.
答案：

[典例精析]
[例1]　已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　)

A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
[解析]　由題圖可知，函數(shù)圖象上兩個(gè)相鄰的最值點(diǎn)分別為最高點(diǎn)，最低點(diǎn)，
所以函數(shù)的最大值為2，即A＝2.
由圖象可得直線x＝－，x＝為相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸，
所以函數(shù)的最小正周期T＝2×＝4π，
故＝4π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
把點(diǎn)代入可得2sin＝2，
即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又0＜φ＜π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin.
[答案]　B

[例2]　如果存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù)φ使得函數(shù)f(x)＝sin2(ωx＋φ)的圖象如圖所示(圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0))，那么ω的值為_(kāi)_______．
[解析]　因?yàn)閒(x)＝sin2(ωx＋φ)＝－cos[2(ωx＋φ)]，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝，由題圖知＜1，且＞1，即＜T＜2，所以＜ω＜，又因?yàn)棣貫檎麛?shù)，所以ω的值為2.
[答案]　2
[解題技法]
確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步驟
(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，B＝.
(2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝.
(3)求φ，常用方法有
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入．
②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f的值為(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－
C．－ D．－1
解析：選D　由圖象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，則ω＝＝2.又f＝sin＝－，|φ|＜，得φ＝，則f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故選D.
2．(2018·咸陽(yáng)三模)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為(　　)

A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：選D　由圖象可得，A＝2，
T＝2×[6－(－2)]＝16，
所以ω＝＝＝.
所以f(x)＝2sin.
由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得f(2)＝－2，
即f(2)＝2sin＝－2，
即sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)．
因?yàn)閨φ|＜π，所以φ＝－.
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin.

[典例精析]
據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，9月份價(jià)格最低為5千元，則7月份的出廠價(jià)格為_(kāi)_______元．

[解析]　作出函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖所示，三角函數(shù)模型為：
y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由題意知：A＝2 000，B＝7 000，
T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
將(3，9 000)看成函數(shù)圖象的第二個(gè)特殊點(diǎn)，
則有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.
故7月份的出廠價(jià)格為6 000元．
[答案]　6 000
[解題技法]
三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中的2種類(lèi)型及其解題策略
(1)已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；
(2)把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是建模．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿(mǎn)足函數(shù)y＝3sin＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為_(kāi)_______．

解析：設(shè)水深的最大值為M，由題意結(jié)合函數(shù)圖象可得解得M＝8，即水深的最大值為8.
答案：8
2．某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28 ℃，12月份的月平均氣溫最低為18 ℃，則10月份的月平均氣溫為_(kāi)_______℃.
解析：由題意得即所以y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝20.5.
答案：20.5

[典例精析]
已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若將f(x)的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求當(dāng)m取得最小值時(shí)，g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
[解]　(1)由函數(shù)f(x)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin.
(2)將f(x)的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin的圖象，根據(jù)g(x)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
可得sin＝0，即sin＝0，
所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，
因?yàn)閙＞0，
所以當(dāng)k＝0時(shí)，m取得最小值，且最小值為.
此時(shí)，g(x)＝sin.
因?yàn)閤∈，
所以2x＋∈.
當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，g(x)單調(diào)遞增．
綜上，g(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.
[解題技法]
三角函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合問(wèn)題的解題策略
(1)圖象變換問(wèn)題
先根據(jù)和、差角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再進(jìn)行圖象變換．
(2)函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題
求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：
①利用公式T＝(ω＞0)求周期；
②根據(jù)自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值；
③根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調(diào)區(qū)間．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
(2019·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin＋＋b.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，且ω∈[0,3]，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
解：(1)∵函數(shù)f(x)＝sin＋＋b，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．
又f(0)＝f，∴當(dāng)f＞0≥f或f＝0時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即sin≤－b－＜sin或1＋＋b＝0，∴b∈∪.
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為∪.

一、題點(diǎn)全面練
1．(2019·益陽(yáng)、湘潭調(diào)研)要得到函數(shù)f(x)＝sin 2x，x∈R的圖象，只需將函數(shù)g(x)＝sin，x∈R的圖象(　　)
A．向左平移個(gè)單位　　　 B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位
解析：選D　由于把函數(shù)y＝sin 2x，x∈R的圖象向左平移個(gè)單位，可得y＝sin＝sin的圖象，故為了得到函數(shù)f(x)＝sin 2x，x∈R的圖象，只需把g(x)＝sin，x∈R的圖象向右平移個(gè)單位即可，故選D.
2.(2018·濟(jì)寧期末)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(　　)

A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
解析：選B　由題中圖象知A＝1，記函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)，則T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，由sin＝1，|φ|＜得＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝sin，將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sin＝sin，故選B.
3.(2019·贛州質(zhì)檢)設(shè)ω＞0，函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(－π＜φ＜π)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到如圖所示的圖象，則ω，φ的值為(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝1，φ＝－ D．ω＝1，φ＝
解析：選A　函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(－π＜φ＜π)的圖象向左平移個(gè)單位后可得y＝sin.由函數(shù)的圖象可知，＝－＝，∴T＝π.根據(jù)周期公式可得ω＝2，∴y＝sin.由圖知當(dāng)y＝－1時(shí)，x＝×＝，∴函數(shù)的圖象過(guò)，
∴sin＝－1.∵－π＜φ＜π，∴φ＝.故選A.
4．(2019·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值為，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：選B　由題意可知f(x)的最小正周期T＝4|α－β|min＝4×＝3π，則＝3π，ω＝，
因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以2sin＋1＝1，即sin＝0.
因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝－，
則f(x)＝2sin＋1.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得3kπ－≤x≤3kπ＋π，k∈Z，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.
5.(2018·福州三校聯(lián)考)如圖是函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的一部分，對(duì)任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝1，則φ的值為(　　)

A. B.
C. D.
解析：選B　從題圖可得A＝2，x1，x2關(guān)于函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的，即直線x＝是f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，且f＝2，可得2sin＝2，可得ω＋φ＝＋2kπ，k∈Z，①
∵f(x1＋x2)＝1，∴2sin[ω(x1＋x2)＋φ]＝1，
可得ω(x1＋x2)＋φ＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，②
令k＝0，由①②得φ＝或，
∵|φ|＜，∴φ＝.
6．(2019·湖北天門(mén)、仙桃、潛江聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于________．

解析：由題圖知A＝2，＝6－2＝4，
∴T＝8，則ω＝＝.
∴f(x)＝2sin.
又∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(2,2)，
∴2sin＝2，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
則φ＝2kπ(k∈Z)，
∴f(x)＝2sinx.
∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝2f(1)＋2f(2)＋…＋2f(8)＋f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＝＋2.
答案：＋2
7．設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則φ＝________.
解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得＞.又f＝2，f＝0，得＝－＝，所以T＝3π，則＝3π?ω＝，所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin.
由f＝2sin＝2?sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|＜，取k＝0，得φ＝.
答案：
8.(2019·武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：

①f(x)的最小正周期為2；
②f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是減函數(shù)；
④f(x)的最大值為A.
則正確的結(jié)論為_(kāi)_______(填序號(hào))．
解析：由題圖可知，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)和，所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直線x＝－不是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故②不正確；由圖可知，當(dāng)－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，故③正確；若A＞0，則最大值是A，若A＜0，則最大值是－A，故④不正確．
答案：①③
9．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象過(guò)點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解：(1)依題意得A＝5，
周期T＝4＝π，∴ω＝＝2.
故f(x)＝5sin(2x＋φ)，
又圖象過(guò)點(diǎn)P，∴5sin＝0，
由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，∴φ＝－，∴f(x)＝5sin.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．
10．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，且f＝0.
(1)求ω；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因?yàn)閒(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
因?yàn)閒＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0＜ω＜3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因?yàn)閤∈，所以x－∈，
當(dāng)x－＝－，即x＝－時(shí)，g(x)取得最小值－.
二、專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)練
(一)交匯專(zhuān)練——融會(huì)巧遷移
1．[與新定義交匯]定義運(yùn)算＝ad－bc.將函數(shù)f(x)＝
的圖象向左平移φ(φ＞0)個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則φ的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　f(x)＝＝cos x－sin x＝2cos，向左平移φ個(gè)單位得到y(tǒng)＝2cos，由題意知y＝2cos是偶函數(shù)，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．因?yàn)棣眨?，所以當(dāng)k＝1時(shí)，φ的最小值為.
2．[與立體幾何交匯]如圖，將繪有函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)部分圖象的紙片沿x軸折成直二面角，若A，B之間的空間距離為，則f(－1)＝(　　)

A．－1 B．1
C．－ D.
解析：選D　由題設(shè)并結(jié)合圖形可知
AB＝ ＝
＝＝，得＝4，則ω＝，
所以函數(shù)f(x)＝sin，
所以f(－1)＝sin＝sin＝.
3.[與導(dǎo)數(shù)交匯]已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)有最小值－2，則ω＝________，φ＝________.

解析：f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，由題圖可知ω＝2，則f′(x)＝2cos(2x＋φ)．又f′＝2cos＝－1，且|φ|＜，所以φ＝.
答案：2　
(二)素養(yǎng)專(zhuān)練——學(xué)會(huì)更學(xué)通
4.[數(shù)學(xué)運(yùn)算]函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并寫(xiě)出其圖象的對(duì)稱(chēng)中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．
解：(1)由圖可得A＝2，＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝2.
當(dāng)x＝時(shí)，f(x)＝2，可得2sin＝2，
因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝.
所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(k∈Z)．
(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋2cos，
則g(x)＝2sin＋2cos
＝2sin＋2，
令t＝sin，t∈[－1,1]，
記h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，
因?yàn)閠∈[－1,1]，
所以h(t)∈，
即g(x)∈，故a∈.
故a的取值范圍為.
5．[數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算]已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，記作y＝f(t)．下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b(A＞0，ω＞0)的圖象．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，
(1)求函數(shù)f(t)的解析式；
(2)求一日(持續(xù)24小時(shí))內(nèi)，該海濱浴場(chǎng)的海浪高度超過(guò)1.25 m的時(shí)間．
解：(1)由表格得解得
又因?yàn)門(mén)＝12，所以ω＝＝，
故y＝f(t)＝cost＋1.
(2)由題意，令cost＋1＞1.25，
即cost＞，
又因?yàn)閠∈[0,24]，所以t∈[0,4π]，
故0≤t＜或＜t＜或＜t≤4π，
即0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在一日內(nèi)該海濱浴場(chǎng)的海浪高度超過(guò)1.25 m的時(shí)間為8小時(shí)．