1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1?；(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝?.
2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
—
—
口訣
函數(shù)名不變，符號(hào)看象限
函數(shù)名改變，符號(hào)看象限
作用：實(shí)現(xiàn)同角的正弦值與余弦值之間的轉(zhuǎn)化，利用該公式求值，要注意確定角的終邊所在的象限，從而判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．
作用：切化弦，弦切互化．
[熟記常用結(jié)論]
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1.(　　)
(3)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　　)
(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　)
(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
二、選填題
1．已知sin α＝，α∈，則tan α＝(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．2
C. D．－
解析：選D　因?yàn)椤堞痢堞?，所以cos α＝－
＝－ ＝－，所以tan α＝＝－.
2．已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：選C　∵sin＝sin＝cos α，
∴cos α＝.
3．sin 210°cos 120°的值為(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：選A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)
＝－×＝.
4．若sin θcos θ＝，則tan θ＋＝________.
解析：tan θ＋＝＋＝＝2.
答案：2
5．已知tan α＝2，則的值為_(kāi)_______．
解析：＝＝＝3.
答案：3
6．化簡(jiǎn)·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為_(kāi)_______．
解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α

考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用[全析考法過(guò)關(guān)]
[考法全析]
考法(一)　公式的直接應(yīng)用
[例1]　(1)已知cos α＝k，k∈R，α∈，則sin α＝(　　)
A．－　　　　　　　 B.
C．± D.
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
[解析]　(1)由cos α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，設(shè)角α終邊上一點(diǎn)P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以＝1，得y＝，由三角函數(shù)定義可知sin α＝.
(2)因?yàn)閟in 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.
[答案]　(1)B　(2)44
考法(二)　sin α，cos α的齊次式問(wèn)題
[例2]　已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
[解]　由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
考法(三)　“sin α±cos α，sin αcos α”之間的關(guān)系的應(yīng)用
[例3]　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
[解]　(1)由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cos x＞0，
∴cos x＞0，則sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
(2)＝
＝
＝＝－.
[規(guī)律探求]

看個(gè)性
考法(一)是公式的直接應(yīng)用，即已知sin α，cos α，tan α中的一個(gè)求另外兩個(gè)的值．解決此類問(wèn)題時(shí)，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的范圍，即三角函數(shù)值的符號(hào)．
考法(二)的分式中分子與分母是關(guān)于sin α，cos α的齊次式，往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的式子求解.
考法(三)是考查sin α±cos α與sin αcos α的關(guān)系．對(duì)于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個(gè)式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二
找共性
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開(kāi)方時(shí)要根據(jù)角α所在象限確定符號(hào)；利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的關(guān)系可實(shí)現(xiàn)和積轉(zhuǎn)化．
(2)注意方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．若角α的終邊落在第三象限，則＋的值為(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：選B　由角α的終邊落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，
故原式＝＋＝＋
＝－1－2＝－3.
2．(2019·合肥模擬)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，則tan x＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：選D　∵sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sin xcos x＝1－，∴2sin xcos x＝－＜0，∴x為鈍角，∴sin x－cos x＝＝，結(jié)合已知解得sin x＝，cos x＝－，則tan x＝＝－.
3．若3sin α＋cos α＝0，則的值為_(kāi)_______．
解析：∵3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－，
∴＝＝
＝＝.
答案：
考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用[師生共研過(guò)關(guān)]
[典例精析]
(1)設(shè)f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝________.
(2)已知cos＝a，則cos＋sin的值是________．
[解析]　(1)因?yàn)閒(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.
(2)因?yàn)閏os＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.
[答案]　(1)　(2)0
[解題技法]
1．利用誘導(dǎo)公式解題的一般思路
(1)化絕對(duì)值大的角為銳角．
(2)角中含有加減的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉的整數(shù)倍．
2．常見(jiàn)的互余和互補(bǔ)的角
互余的角
－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等
互補(bǔ)的角
＋θ與－θ；＋θ與－θ等
[提醒]　對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防止符號(hào)及三角函數(shù)名出錯(cuò)．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.
解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.
答案：2
2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，則·tan2(π－α)＝________.
解析：因?yàn)榉匠?x2－7x－6＝0的根為x1＝2，x2＝－，由題意知sin α＝－，故cos α＝－，tan α＝，所以原式＝＝－tan2α＝－.
答案：－
3．(2018·大連二模)已知sin＝，則cos＝(　　)
A.　　 B．－　　　C.　　　D．－
解析：選B　由題意知，cos＝cos＝－sin＝－.故選B.
考點(diǎn)三誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系的綜合應(yīng)用[師生共研過(guò)關(guān)]
[典例精析]
已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時(shí)，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x，
綜上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
[解題技法]
求解誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系綜合問(wèn)題的基本思路和化簡(jiǎn)要求

基本思路
①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；
②利用公式化成單角三角函數(shù)；
③整理得最簡(jiǎn)形式
化簡(jiǎn)要求
①化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變換；
②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：選C　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.
tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，
又α為銳角，故sin α＝.
2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，則＝________.
解析：由tan(π－α)＝－，得tan α＝，
則＝＝＝＝－.
答案：－
3．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，則＋的值為_(kāi)_______．
解析：由sin α＋cos α＝－平方得sin αcos α＝－，∵＜α＜π，∴sin α－cos α＝＝，∴＋＝－＝＝＝.
答案：

一、題點(diǎn)全面練
1．若＝，則tan θ＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．3 D．－3
解析：選D　因?yàn)?br /> ＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
2．(2019·黃岡模擬)已知sin(π＋α)＝－，則tan的值為(　　)
A．2 B．－2
C. D．±2
解析：選D　∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，則cos α＝±，∴tan＝＝＝±2.
3．(2019·惠州模擬)已知tan α＝，且α∈，則cos＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：選A　由α∈知α為第三象限角，
聯(lián)立得sin α＝－，
故cos＝sin α＝－，故選A.
4．(2019·廈門質(zhì)檢)已知sin 2α＝，＜α＜，則sin α－cos α的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：選A　∵＜α＜，∴sin α＞cos α＞0，∴sin α－cos α＞0.
又sin 2α＝，∴(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α＝，則sin α－cos α＝.
5．(2018·安陽(yáng)二模)若＝3，則cos α－2sin α＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．－1或－
解析：選C　由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α＞0，即cos α＝3sin α－1，則cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－，故選C.
6．(2019·晉城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝，則sin4θ＋cos4θ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B　將|sin θ|＋|cos θ|＝兩邊平方，得1＋|sin 2θ|＝，∴|sin 2θ|＝，∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×2＝，故選B.
7．已知＝5，則cos2α＋sin 2α的值是________．
解析：∵＝＝5，解得tan α＝2，∴cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝＝.
答案：
8．已知θ∈，且＋＝35，則tan θ＝________.
解析：依題意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t，∵θ∈，∴t＞0，則原式化為12t＝35·，解得t＝，故sin θ＋cos θ＝，則sin θcos θ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝或.
答案：或
9．已知α為第三象限角，
f(α)＝.
(1)化簡(jiǎn)f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)∵cos＝，
∴－sin α＝，
從而sin α＝－.
又α為第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.
10．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：假設(shè)存在角α，β滿足條件．
由已知條件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
當(dāng)α＝時(shí)，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此時(shí)①式成立；
當(dāng)α＝－時(shí)，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此時(shí)①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝滿足條件．
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：選A　因?yàn)閟in α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－，又因?yàn)棣痢?0，π)，
所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α－sin α＜0，
因?yàn)?cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
所以cos α－sin α＝－，
所以＝＝＝＝－.
2．(2019·重慶六校聯(lián)考)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：選B　∵θ是第四象限角，∴2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z，
∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z，∴cos＞0，
∵sin＝，∴cos＝ ＝，cos＝cos＝cos＝sin＝，sin＝sin＝cos＝，∴sin＝－sin＝－，∴tan＝＝－.
3．已知sin α＝，則tan(α＋π)＋＝________.
解析：tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.
∵sin α＝＞0，
∴α為第一或第二象限角．
當(dāng)α為第一象限角時(shí)，cos α＝＝，
則原式＝＝；
當(dāng)α為第二象限角時(shí)，cos α＝－＝－，
則原式＝＝－.
答案：±
(二)交匯專練——融會(huì)巧遷移
4．[與集合交匯]A＝{sin α，cos α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，則sin2 019α＋cos2 018α＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：選C　當(dāng)sin α＝0時(shí)，sin2α＝0，此時(shí)集合B中不符合集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)cos α＝0時(shí)，A＝{sin α，0,1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此時(shí)sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.
5．[與直線的傾斜角交匯]已知θ為直線y＝3x－5的傾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，則直線AB的斜率為(　　)
A．3 B．－4
C. D．－
解析：選D　由題意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.故選D.
6．[與不等式交匯]已知θ∈[0，π)，若對(duì)任意的x∈[－1,0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)θ的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ，由θ∈[0，π)知cos θ＋sin θ＋1＞0恒成立，
若f(x)＞0在[－1,0]上恒成立，
只需滿足?
解得θ∈.
7．[與一元二次方程交匯]已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根分別是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的兩根及此時(shí)θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由條件知sin θ＋cos θ＝，
故＋＝.
(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.
(3)由
得或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
8．[與三角形交匯]在△ABC中，
(1)求證：cos2＋cos2＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，求證：△ABC為鈍角三角形．
證明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，
所以cos＝cos＝sin，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)因?yàn)閏ossintan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，
即sin Acos Btan C＜0.
因?yàn)樵凇鰽BC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B為鈍角或C為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形．


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