2020版高考理科數(shù)學（人教版）一輪復習講義：第四章第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-學案下載-教習網(wǎng)

第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖?
在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象上，五個關鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象上，五個關鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象

?
定義域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性?
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)

在(k∈Z)?上是遞增函數(shù)，在(k∈Z)上是遞減函數(shù)
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是遞增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減函數(shù)
在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是遞增函數(shù)?

周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
對稱性
對稱軸是x＝＋kπ(k∈Z)，對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)
對稱軸是x＝kπ(k∈Z)，對稱中心是(k∈Z)
對稱中心是(k∈Z)
五點法作圖有三步：列表、描點、連線(注意光滑)．
正切函數(shù)的圖象是由直線x＝kπ＋(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的．
判斷三角函數(shù)的奇偶性，應首先判斷函數(shù)定義域是否關于原點對稱．
求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時，應注意ω的符號，只有當ω＞0時，才能把ωx＋φ看作一個整體，代入y＝sin t的相應單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤．
寫單調(diào)區(qū)間時，不要忘記k∈Z.
(1)y＝tan x無單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)y＝tan x在整個定義域內(nèi)不單調(diào).
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期都是，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是.
[熟記常用結論]
1．對稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期．
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，則：
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
[小題查驗基礎]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函數(shù)．(　　)
(2)余弦函數(shù)y＝cos x的對稱軸是y軸．(　　)
(3)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函數(shù)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、選填題
1．函數(shù)y＝tan 3x的定義域為(　　)
A.　　 B.
C. D.
解析：選D　由3x≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋，k∈Z.
2．函數(shù)y＝2－cos(x∈R)的最大值和最小正周期分別是(　　)
A．2,3π B．1,6π
C．3,6π D．3,3π
解析：選C　由y＝2－cos知，ymax＝2－(－1)＝3，最小正周期T＝＝6π.
3．下列函數(shù)中最小正周期為π且圖象關于直線x＝對稱的是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：選B　函數(shù)y＝2sin的最小正周期T＝＝π，
∵sin＝1，
∴函數(shù)y＝2sin的圖象關于直線x＝對稱．
4．函數(shù)y＝sin的圖象的對稱軸為______________，對稱中心為________________．
解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z；
由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，
故函數(shù)y＝sin的圖象的對稱軸為x＝＋kπ，k∈Z，對稱中心為，k∈Z.
答案：x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
5．函數(shù)f(x)＝cos x－sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
解析：f(x)＝cos x－sin x＝cos，由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)．
∵x∈[0，π]，∴f(x)在上單調(diào)遞增．
答案：
6．函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為________．
解析：由x∈，得2x－∈，
所以sin∈，故函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為－.
答案：－

考點一三角函數(shù)的定義域[基礎自學過關]
[題組練透]
1．函數(shù)f(x)＝－2tan的定義域是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：選D　由正切函數(shù)的定義域，得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)，故選D.
2．函數(shù)y＝的定義域為________．
解析：法一：要使函數(shù)有意義，必須使sin x－cos x≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0,2π]上函數(shù)y＝sin x和函數(shù)y＝cos x的圖象，如圖所示．

在[0,2π]內(nèi)，滿足sin x＝cos x的x為，，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期性，所以原函數(shù)的定義域為
.

法二：利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)．
所以定義域為.
答案：(k∈Z)
3．函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域為________．
解析：由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜.
∴函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域為∪.
答案：∪
[名師微點]
求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．
考點二三角函數(shù)的值域(最值) [師生共研過關]
[典例精析]
(1)函數(shù)f(x)＝3sin在區(qū)間上的值域為________．
(2)(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
(3)函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域為_________________________________．
[解析]　(1)當x∈時，2x－∈，
∴sin∈，
故3sin∈，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為.
(2)依題意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，
因為x∈，所以cos x∈[0,1]，
因此當cos x＝時，f(x)max＝1.
(3)設t＝sin x－cos x，則－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，則sin xcos x＝，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
當t＝1時，ymax＝1；當t＝－時，ymin＝－－.
∴函數(shù)的值域為.
[答案]　(1)　(2)1　(3)
[解題技法]
求三角函數(shù)的值域(最值)的3種類型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設t＝sin x±cos x，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
[過關訓練]
1．若函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x，－≤x≤，則f(x)的最大值為(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C. D.＋1
解析：選C　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2sin.因為－≤x≤，所以－≤x＋≤，故當x＝時，f(x)取最大值為，故選C.
2．(2018·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值．
解：(1)因為f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期為T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由題意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使f(x)在區(qū)間上的最大值為，
即sin在區(qū)間上的最大值為1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值為.
考點三三角函數(shù)的單調(diào)性[全析考法過關]
[考法全析]
考法(一)　求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
[例1]　(1)函數(shù)y＝sin的單調(diào)遞減區(qū)間為________________．
(2)函數(shù)y＝|tan x|的單調(diào)遞增區(qū)間為______________，單調(diào)遞減區(qū)間為________________．
[解析]　(1)函數(shù)y＝sin＝－sin的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)y＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所給函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z.
(2)作出函數(shù)y＝|tan x|的圖象，如圖．

觀察圖象可知，函數(shù)y＝|tan x|的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z.
[答案]　(1)，k∈Z
(2)，k∈Z　，k∈Z
考法(二)　已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
[例2]　(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C. D．π
[解析]　f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
當x∈，即x－∈時，
函數(shù)y＝sin單調(diào)遞增，
則函數(shù)f(x)＝－sin單調(diào)遞減．
∵函數(shù)f(x)在[－a，a]是減函數(shù)，
∴[－a，a]?，∴0＜a≤，
∴a的最大值為.
[答案]　A
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)是已知三角函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間．
解決此類問題有以下兩種方法：
(1)代換法：就是將比較復雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角u(或t)，利用復合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解．
(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結合圖象求它的單調(diào)區(qū)間．
考法(二)是已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)．
解決此類問題常用以下三種方法：
(1)子集法：求出原函數(shù)的相應單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．
(2)反子集法：由已知區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．
(3)周期法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解
找共性
1.將解析式轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的形式再求解．
2.整體代換思想及數(shù)形結合思想
[過關訓練]
1．設函數(shù)f(x)＝sin，x∈，則以下結論正確的是(　　)
A．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減
B．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增
解析：選C　由x∈，得2x－∈，所以函數(shù)f(x)先減后增；由x∈，得2x－∈，所以函數(shù)f(x)先增后減；由x∈，得2x－∈，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；由x∈，得2x－∈，所以函數(shù)f(x)先減后增．故選C.
2．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)過原點，
∴當0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數(shù)；
當≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數(shù)．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，知＝，∴ω＝.
答案：
3．若函數(shù)y＝sin ωx在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．
解析：因為函數(shù)y＝sin ωx在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以ω＜0且函數(shù)y＝sin(－ωx)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
即解得－4≤ω＜0.
答案：[－4,0)
考點四三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性[全析考法過關]
[考法全析]
考法(一)　三角函數(shù)的周期性
[例1]　在函數(shù)①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　)
A．①②③　　　　　　　 B．①③④
C．②④ D．①③
[解析]?、賧＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期為π；
②由圖象知y＝|cos x|的最小正周期為π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故選A.
[答案]　A
考法(二)　三角函數(shù)的奇偶性
[例2]　(2019·撫順調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin是偶函數(shù)，則θ的值為________．
[解析]　∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，∴θ＋＝，解得θ＝，經(jīng)檢驗符合題意．
[答案]　
考法(三)　三角函數(shù)的對稱性
[例3]　(1)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期為4π，則該函數(shù)的圖象(　　)
A．關于點對稱　 B．關于點對稱
C．關于直線x＝對稱 D．關于直線x＝對稱
(2)(2018·江蘇高考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，則φ的值為________．
[解析]　(1)因為函數(shù)f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期為4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.
令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的對稱軸為x＝＋2kπ(k∈Z)．
令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的對稱中心為(k∈Z)，對比選項可知B正確．
(2)由題意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
[答案]　(1)B　(2)－
[規(guī)律探求]
看個性
考法(一)是函數(shù)周期性的計算.
利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為求解.
考法(二)是函數(shù)奇偶性的判斷及應用.
三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式.
考法(三)是研究三角函數(shù)圖象的對稱性.
(1)對于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
(2)對于可化為f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可
找共性
這類問題解題的關鍵是把原三角函數(shù)關系式統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，即“一角一函數(shù)”，其解題思維流程是：

[過關訓練]
1．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的圖象關于中心對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值是________．
解析：f(x)＝2sin，又圖象關于中心對稱，所以2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，
所以θ＝kπ－(k∈Z)，又0＜θ＜π，所以θ＝，
所以f(x)＝－2sin 2x，因為x∈，
所以2x∈，f(x)∈[－，2]，
所以f(x)的最小值是－.
答案：－
2．若x＝是函數(shù)f(x)＝sin，x∈R的一個零點，且0＜ω＜10，則函數(shù)f(x)的最小正周期為________．
解析：依題意知，f＝sin＝0，
即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z.
又因為0＜ω＜10，
所以0＜8k＋2＜10，得－＜k＜1，
而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，
所以f(x)＝sin，f(x)的最小正周期為π.
答案：π