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選修4－4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
第一節(jié)　坐　標(biāo)　系
2019考綱考題考情





1．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換
設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換。
2．極坐標(biāo)的概念
(1)極坐標(biāo)系：

如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫做極軸，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱(chēng)為極坐標(biāo)系。
(2)極坐標(biāo)：
對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)，θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)。
當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值。
(3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系：
平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無(wú)數(shù)對(duì)，當(dāng)k∈Z時(shí)，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一個(gè)點(diǎn)，而用平面直角坐標(biāo)表示點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的。
如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了。
3．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

(1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，如圖所示。
(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：

在一般情況下，由tanθ確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角。
4．常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程





1．明辨兩個(gè)坐標(biāo)
伸縮變換關(guān)系式點(diǎn)(x，y)在原曲線上，點(diǎn)(x′，y′)在變換后的曲線上，因此點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足原來(lái)的曲線方程，點(diǎn)(x′，y′)的坐標(biāo)滿足變換后的曲線方程。
2．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化
(1)公式代入：直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化簡(jiǎn)。
(2)整體代換：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，變形構(gòu)造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換。

一、走進(jìn)教材
1．(選修4－4P15T4改編)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是(　　)
A． B．
C．(1,0) D．(1，π)
解析　由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為。故選B。

解析：由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圓心的極坐標(biāo)為。故選B。

答案　B
2．(選修4－4P15T3改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
解析　因?yàn)閥＝1－x(0≤x≤1)，所以ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，所以ρ＝。故選A。
答案　A


二、走出誤區(qū)
微提醒：①極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化致誤；②求極坐標(biāo)方程不會(huì)結(jié)合圖形求解致誤。
3．將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(　　)
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(2,0) D．(－2,0)
解析　由可知直角坐標(biāo)為(0，－2)。故選B。
答案　B
4．在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且與極軸平行的直線方程是(　　)
A．ρ＝0 B．θ＝
C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2
解析　極坐標(biāo)為的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,2)，過(guò)該點(diǎn)且與極軸平行的直線的方程為y＝2，其極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2。故選D。
答案　D
5．在極坐標(biāo)系中，圓心在(，π)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_______。
解析　如圖，O為極點(diǎn)，OB為直徑，A(ρ，θ)，則∠ABO＝θ－，OB＝2＝，化簡(jiǎn)得ρ＝－2cosθ。

答案　ρ＝－2cosθ

考點(diǎn)一 伸縮變換
【例1】　(1)曲線C：x2＋y2＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C′，則曲線C′的方程為_(kāi)_______。
(2)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則曲線C的方程為_(kāi)_______。
解析　(1)因?yàn)樗源肭€C的方程得C′：＋y′2＝1。
(2)根據(jù)題意，曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲線C的方程為4x2＋9y2＝1。
答案　(1)＋y′2＝1　(2)4x2＋9y2＝1

1．平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)為所求。
2．解答該類(lèi)問(wèn)題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P(x，y)與變換后的點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解。
【變式訓(xùn)練】　(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)變換后所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)_______。
(2)雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換φ：后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。
解析　(1)設(shè)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：得到由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，所以A′的坐標(biāo)為(1，－1)。
(2)設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)，將代入x2－＝1，得－＝1，化簡(jiǎn)得－＝1，即為曲線C′的方程，知C′仍是雙曲線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－5,0)，(5,0)。
答案　(1)(1，－1)　(2)(－5,0)，(5,0)
考點(diǎn)二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
【例2】　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0。
(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程。
解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4。
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓。
由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線。記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2。由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線y＝kx＋2的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0。
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線y＝－kx＋2的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝。
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)。
綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2。

1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化依據(jù)是x＝ρcosθ，y＝ρsinθ。
2．互化時(shí)要注意前后的等價(jià)性。
【變式訓(xùn)練】　(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin。求曲線C的直角坐標(biāo)方程。
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：(α為參數(shù))經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線為C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。求C2的極坐標(biāo)方程。
解　(1)把ρ＝4sin展開(kāi)得ρ＝2sinθ＋2cosθ，
兩邊同乘ρ，得ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ　①。
將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y＝0。
(2)由題意得曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，
則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x′－1)2＋y′2＝1，
將x′＝ρcosθ，y′＝ρsinθ代入整理得ρ＝2cosθ，所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ。
考點(diǎn)三 求曲線的極坐標(biāo)方程
【例3】　在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿足|OP|·|OM|＝4，記點(diǎn)P的軌跡為C2。
(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；
(2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos＝距離的最大值。
解　(1)設(shè)P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，
由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝。
因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn)，所以ρ2sinθ＝2，
即sinθ＝2，ρ1＝2sinθ。
所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ。
(2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1，
則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為1，
由直線ρcos＝，
得：ρcosθcos－ρsinθsin＝，即x－y＝2，
圓心(0,1)到直線x－y＝2的距離為
d＝＝，
所以曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos＝距離的最大值為1＋。

求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程。
【變式訓(xùn)練】　(2019·廣州五校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓。
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；
(2)求圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長(zhǎng)。
解　(1)設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M(ρ，θ)，如圖，

在Rt△OAM中，∠OMA＝，
∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4。
因?yàn)閏os∠AOM＝，
所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos＝4cos，
驗(yàn)證可知，極點(diǎn)O與A的極坐標(biāo)也滿足方程，故ρ＝4cos為所求。
(2)設(shè)l：θ＝－(ρ∈R)交圓C于點(diǎn)O，P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，易得∠AOP＝，
所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2。

解：(1)圓C是將圓ρ＝4cosθ繞極點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的圓，
所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos。
(2)將θ＝－代入圓C的極坐標(biāo)方程
ρ＝4cos，得ρ＝2，
所以圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長(zhǎng)為2。

考點(diǎn)四 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
【例4】　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是x＝4。曲線C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。
(1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；
(2)若射線θ＝α與曲線C交于點(diǎn)O，A，與直線l交于點(diǎn)B，求的取值范圍。
解　(1)由x＝ρcosθ，得直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4。
曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，
消去參數(shù)φ得曲線C的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2－2x－2y＝0，
將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ＋2sinθ。
(2)設(shè)A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，
則ρ1＝2cosα＋2sinα，ρ2＝，
所以＝＝＝＝(sin2α＋cos2α)＋＝sin＋，
因?yàn)?

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