勾股定理表達式的常見變形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， . 勾股定理分類計算：如果已知直角三角形的兩邊是a、b(且a＞b)，那么，當?shù)谌卌是斜邊時，c＝_________；當a是斜邊時，第三邊c＝_________.
1．勾股定理 勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的　 　. 即：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c ，那么一定有　 　.
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運用時要分清直角邊和斜邊．
如圖，以a、b 為直角邊(b>a)，以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 .　 把這四個直角三角形拼成如圖所示的正方形ABCD，它是一個邊長為c的正方形，它的面積等于 .而四邊形EFGH是一個邊長為 的正方形，它的面積等于 .
2．勾股定理的驗證 據(jù)說驗證勾股定理的方法有五百多種，其中很多是用平面圖形的面積來進行驗證的，比如我國古代的數(shù)學家趙爽就用了下面的方法：
∵四個直角三角形與中間的小正方形拼成了一個大正方形，∴4× ab＋(b－a)2＝c2，∴a2＋b2＝c2.
3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系：a2＋b2＝ ，那么這個三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步驟：
(1)確定最大邊；(2)算出最大邊的平方與另兩邊的　　 ；(3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明這個三角形是　 　三角形．到目前為止判定直角三角形的方法有：(1)說明三角形中有一個角是　 ；(2)說明三角形中有兩邊互相　 ；(3)用勾股定理的逆定理．
[注意] 運用勾股定理的逆定理時，要防止出現(xiàn)一開始就寫出a2＋b2＝c2之類的錯誤．
4．勾股數(shù) 能夠成為直角三角形三條邊長的三個　 　數(shù)，稱為勾股數(shù)，即滿足a2＋b2＝c2的三個　 　數(shù)a、b、c，稱為勾股數(shù)．[注意] 勾股數(shù)都是正整數(shù)．5．勾股定理的應用應用勾股定理及其逆定理可解決如下問題：(1)已知　 　三角形的任意兩邊，求第三邊長或圖形周長、面積的問題；(2)說明線段的平方關系問題；
5．勾股定理的應用應用勾股定理及其逆定理可解決如下問題：(1)已知 三角形的任意兩邊，求第三邊長或圖形周長、面積的問題；(2)說明線段的平方關系問題；(3)在　 上作表示 等數(shù)的點的問題；(4)解決實際問題．一些實際問題，如解決圓柱側面兩點間距離問題、航海問題、折疊問題、梯子下滑問題等，常直接或間接運用勾股定理及其逆定理．
例1 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長．
【解析】這是在三角形中已知兩邊長求高的問題，可用勾股定理先求出第三邊再求解．
在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時，先用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡便．在用勾股定理時，一定要清楚直角所對的邊才是斜邊，如在本例中不要受勾股數(shù)3，4，5的干擾．
1．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　?。? A.25 B.14 C.7 D.7或25
例2 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．
【解析】要證∠C＝90°，只要證△ABC是直角三角形，并且c邊最大．根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明a2＋b2＝c2即可．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，從而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是 直角三角形．
運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷哪條邊最大；②分別用代數(shù)方法計算出a2＋b2和c2的值(c邊最大)；③判斷a2＋b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．
3.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（　?。〢．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，9
2.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點 上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
例3 如圖所示，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖14－3所示)，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？
【解析】螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式：①沿
ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形如下：
用勾股定理解決立體圖形的問題，常以長方體、正方體、圓柱、圓錐為背景，做題思路是“展曲為平” ——把立體圖形轉化為平面圖形，即將原圖形的側面展開轉化為平面圖形問題，再運用“平面上的兩點之間線段最短”求解． 要注意的是需要認真審題，確定出最短路線，有時容易忽視多種展開情況．
4.如圖，已知長方體的長寬高分別為4、2、1，一只螞蟻沿長 方體的表面，從點A爬到點B，最短路程為（　?。?br/>A. B. C. D.5
例4 已如圖，一架云梯25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑動了（　　）
【解析】由題意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，∵在直角△ABC中，AC為直角邊，∴AC= =24米，已知AD=4米，則CD=24-4=20（米），∵在直角△CDE中，CE為直角邊，∴CE= =15（米），BE=15-7=8（米）．故選C．
A．4米 B．6米 C．8米D．10米
5.如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個 半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家 具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通 過這個通道？
在Rt△ABO中，由題意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，所以AB2＝22－1.42＝2.04.因為4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，所以卡車可以通過．答：卡車可以通過，但要小心．
解：如圖，過半圓直徑的中點O，作直徑的垂線交下底邊于點D，取點C，使CD＝1.4米，過C作OD的平行線交半圓直徑于B點，交半圓于A點.
例5 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6 cm，BC＝8 cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕是DE，求CD的長．
【解析】 欲求的線段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一邊，可設法找出另兩邊的關系，然后用勾股定理求解．
解：由折疊知：DA＝DB，△ACD為直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 設CD＝x cm，則AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化簡，得36＝64－16x， 所以x＝ ＝1.75， 即CD的長為1.75 cm.
勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解．
6.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12， BC=5，點E在AB上，將△DAE沿DE折 疊，使點A落在對角線BD上的點A′ 處，則AE的長為 .
例6 如圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，（1）求四邊形ABCD的面積；（2）求∠ABC的度數(shù)．
【解析】（1）先求出正方形EFGH的面積，再分別求出四個小三角形的面積，進而可得出四邊形ABCD的面積；（2）先根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，進而可得出∠ABC的度數(shù)．
解：（1）∵每個小方格都是邊長為1的正方形，∴S□EFGH=5×5=25，∴S四邊形ABCD=S□EFGH-S△ADE-S△AFB-S△BCG-S△CDH=25- ×2×3- ×2×4- ×1×2- ×3×3=25-3-4-1-=12.5；
（2）在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=22+42=20，在Rt△BGC中，BC2=BG2+CG2=12+22=5，∴AB2+BC2=20+5=25.又∵AC2=52，∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形，∴∠B=90°．
勾股定理及其逆定理均體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.勾股定理是由圖形的特征（三角形中有一個角是直角）得到數(shù)量之間的關系（三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2）;勾股定理的逆定理由數(shù)量之間的關系（a2+b2=c2）得到圖形的特征（以a，b，c為三邊長的三角形是直角三角形）.只有把數(shù)和形有機地結合起來，才能更好地理解和應用勾股定理及其逆定理解決問題.對于網(wǎng)格中圖形的有關計算問題，往往需要通過數(shù)形結合，把不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積的和或差來計算.
解：（1）S四邊形ABCD=6×6- ×2×6? ×2×4? ×1×2? ×2×5?1×2=18； (2)∵AB2=22+42＝20，BC2=12+22＝5，AC2=32+42＝25，AB2+BC2=AC2， ∴∠ABC=90°．
7.如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，且A，B，C，D都在格 點上．（要求：寫出必要的過程） （1）求四邊形ABCD的面積； （2）求∠ABC的度數(shù)．
例7 如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2，則S1+S2等于 ．
【解析】∵S1= π = πAC2，S2= π = πBC2∴S1+S2= π（AC2+BC2）= πAB2=2π．
利用勾股定理求相關圖形的面積或它們之間的關系時，通常將圖形的面積關系轉化為直角三角形三邊的關系或將不規(guī)則圖形轉化為直角三角形面積的和或差來解決.
8.如圖，已知在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=10，分別以AC、 BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2= ．

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