滿分120分


姓名：___________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________


一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）


1．下列各組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（ ）


A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，9


2．如圖，分別以直角△ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）





A．9B．5C．53D．45


3．如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB＝4，BD＝5，則點(diǎn)D到BC的距離是（ ）





A．3B．4C．5D．6


4．觀察圖形，可以驗(yàn)證（ ）





A．a(chǎn)2+b2＝c2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2


C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2


5．滿足下列關(guān)系的三條線段a，b，c組成的三角形一定是直角三角形的是（ ）


A．a(chǎn)＜b+cB．a(chǎn)＞b﹣cC．a(chǎn)＝b＝cD．a(chǎn)2＝b2﹣c2


6．直角三角形中，有兩邊的長(zhǎng)分別為3和4，那么第三邊的長(zhǎng)的平方為（ ）


A．25B．14C．7D．7或25


7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，則CD的長(zhǎng)是（ ）





A．5B．7C．D．


8．如圖，在水塔O的東北方向5m處有一抽水站A，在水塔的東南方12m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長(zhǎng)為（ ）





A．10mB．13mC．14mD．8m


9．如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20cm，則該圓柱底面周長(zhǎng)為（ ）





A．12cmB．14cmC．20cmD．24cm


10．在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，則a4+b4的值為（ ）





A．35B．43C．89D．97


二．填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）


11．5、12、m是一組勾股數(shù)，則m＝ ．


12．若Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，則AC＝ ．


13．命題：“三角形中至多有兩個(gè)角大于60度”，用反證法第一步需要假設(shè) ．


14．在Rt△ABC中，斜邊BC＝10，則BC2+AB2+AC2＝ ．


15．a(chǎn)，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，滿足關(guān)系式|a﹣b|+＝0，則△ABC的形狀為 ．


16．已知一個(gè)三角形工件尺寸（單位dm）如圖所示，則高h(yuǎn)＝ dm．





17．如圖，一架2.5m長(zhǎng)的梯子斜靠在垂直的墻AO上，這時(shí)AO為2m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子的底端B向外移動(dòng) m．





三．解答題（共8小題，滿分62分）


18．（6分）根據(jù)三角形的三邊a，b，c的長(zhǎng)，判斷三角形是不是直角三角形：


（1）a＝11，b＝60，c＝61 （2）a＝，b＝1，c＝．


19．（7分）已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀，解題過程如下：


∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4①


∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）②


∴c2＝a2+b2③


∴△ABC是直角三角形


上述解題過程有誤，請(qǐng)指出錯(cuò)誤在①②③的哪一步，并作改正．


20．（7分）如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交匯，∠QON＝30°．公路PQ上A處距O點(diǎn)240米．如果火車行駛時(shí)，周圍200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間為多少？





21．（8分）如圖，在四邊形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求證：AB＝BC．





22．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．


（1）連接AC，求證：△ACD是直角三角形；


（2）求△ACD中AD邊上的高．





23．（8分）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．


（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明；


（2）求新路CH比原路CA少多少千米？





24．（9分）定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．


（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．


（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝12，AM＝5，求BN的長(zhǎng)．





25．（9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F．


（1）如圖1，若AB＝13，BC＝10，求AF的長(zhǎng)度；


（2）如圖2，若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．























參考答案


一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）


1．解：A、32+42＝52，是勾股數(shù)；


B、72+242＝252，是勾股數(shù)；


C、82+152＝172，是勾股數(shù)；


D、52+62≠92，不是勾股數(shù)．


故選：D．


2．解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，


∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，


∴S1＝S2+S3．


∵S2＝7，S3＝2，


∴S1＝7+2＝9．


故選：A．


3．解：過D點(diǎn)作DE⊥BC于E．


∵∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，


∴AD＝＝＝3，


∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，


∴點(diǎn)D到BC的距離＝AD＝3．


故選：A．





4．解：梯形面積＝，


三個(gè)三角形面積之和＝，


可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，


故選：D．


5．解：當(dāng)a2＝b2﹣c2，可得：a2+c2＝b2，


所以三條線段a，b，c組成的三角形一定是直角三角形，


故選：D．


6．解：分兩種情況：


①當(dāng)3和4為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，


由勾股定理得：第三邊長(zhǎng)的平方＝斜邊長(zhǎng)的平方＝32+42＝25；


②當(dāng)4為斜邊長(zhǎng)時(shí)，


第三邊長(zhǎng)的平方＝42﹣32＝7；


綜上所述：第三邊長(zhǎng)的平方是7或25．


故選：D．


7．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，


∴AB＝＝5，


∵×AC×BC＝×CD×AB，


∴×3×4＝×5×CD，


解得CD＝．


故選：C．


8．解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角，


∴∠AOB＝90°，


又∵OA＝5m，OB＝12m，


∴AB＝（m）．


故選：B．


9．解：如圖：將圓柱展開，EG為上底面圓周長(zhǎng)的一半，


作A關(guān)于E的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交EG于F，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+BF的長(zhǎng)，即AF+BF＝A'B＝20cm，





延長(zhǎng)BG，過A'作A'D⊥BG于D，


∵AE＝A'E＝DG＝4cm，


∴BD＝16cm，


Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝12cm，


∴則該圓柱底面周長(zhǎng)為24cm．


故選：D．


10．解：依題意有：


a2+b2＝大正方形的面積＝13，


2ab＝四個(gè)直角三角形的面積和＝13﹣1＝12，


ab＝6，


則a4+b4


＝（a2+b2）2﹣2a2b2


＝（a2+b2）2﹣2（ab）2


＝132﹣2×62


＝169﹣72


＝97．


故選：D．


二．填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）


11．解：當(dāng)12是最長(zhǎng)邊時(shí)，52+m2＝122，m＝（舍去）


當(dāng)m是最長(zhǎng)邊時(shí)，m2＝52+122，m＝13．


故答案是：13．


12．解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，


∴AC＝，


故答案為：10．


13．解：用反證法證明命題“三角形中至多有兩個(gè)角大于60度”，應(yīng)先假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度．


故答案為：三個(gè)內(nèi)角都大于60度．


14．解：∵在Rt△ABC中，斜邊BC＝10，


∴AB2+AC2＝BC2＝100，


∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．


故答案是：200．


15．解：∵|a﹣b|+＝0，


∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，


∴a2+b2＝c2，a＝b，


∴△ABC的形狀為等腰直角三角形．


故答案為：等腰直角三角形．


16．解：


過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD＝h，


∵AB＝AC＝5dm，BC＝6dm，


∴AD是BC的垂直平分線，


∴BD＝BC＝3dm．


在Rt△ABD中，


AD＝dm，即h＝4（dm）．


答：h的長(zhǎng)為4dm．


故答案為：4．


17．解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，AO＝2m，


∴OB＝m；


同理，Rt△OCD中，


∵CD＝2.5m，OC＝2﹣0.5＝1.5m，


∴OD＝m，


∴BD＝OD﹣OB＝2﹣1.5＝0.5（m）．


答：梯子底端B向外移了0.5米，


故答案為：0.5．


三．解答題（共8小題，滿分62分）


18．解：（1）112+602＝612，故是直角三角形；


（2）（）2+12＝≠（）2，故不是直角三角形．


19．解：錯(cuò)誤在第③步，應(yīng)改為


∴c2＝a2+b2或a2＝b2?a＝b，


∴△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．


20．解：如圖：過點(diǎn)A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，


∵∠QON＝30°，OA＝240米，


∴AC＝120米，


當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB＝200米，


∵AB＝200米，AC＝120米，


∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，


∵72千米/小時(shí)＝20米/秒，


∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷20＝16秒．


答：A處受噪音影響的時(shí)間為16秒．





21．證明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，


∴AB2+BC2＝AC2．


∵在△ACD中，CD⊥AD，


∴AD2+CD2＝AC2，


∴AB2+BC2＝AD2+CD2，


又AD2＝2AB2﹣CD2，


∴AB2+BC2＝2AB2﹣CD2+CD2，


即AB2＝BC2，


∴AB＝BC．


22．（1）證明：在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，


∴AC＝5，


∵CD＝12，AD＝13，


∴AC2+CD2＝AD2，


∴∠ACD＝90°，


∴△ACD是直角三角形；





（2）解：過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，


則S△ACD＝AD×CH＝AC×CD，


∴×13×CH＝×5×12，


∴CH＝．





23．解：（1）是，


理由是：在△CHB中，


∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，


BC2＝2.25，


∴CH2+BH2＝BC2，


∴CH⊥AB，


所以CH是從村莊C到河邊的最近路；


（2）設(shè)AC＝x千米，


在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，


由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2


∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，


解這個(gè)方程，得x＝1.25，


1.25﹣1.2＝0.05（千米）


答：新路CH比原路CA少0.05千米．


24．解：（1）是．


理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，


∴AM2+NB2＝MN2，


∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形．


故答案為是．





（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，


①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，依題意MN2＝AM2+NB2，


即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；


②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，依題意BN2＝AM2+MN2．


即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．


綜上所述BN的長(zhǎng)為或．


25．（1）解：如圖1，∵AB＝AC，AD⊥BC，





∴BD＝CD，


∵BC＝10，


∴BD＝5，


Rt△ABD中，∵AB＝13，


∴AD＝＝＝12，


Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，


∴△BDF是等腰直角三角形，


∴DF＝BD＝5，


∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；





（2）證明：如圖2，在BF上取一點(diǎn)H，使BH＝EF，連接CH，





在△CHB和△AEF中，


∵，


∴△CHB≌△AEF（SAS），


∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，


∴∠CEF＝∠CHE，


∴CE＝CH，


∵BD＝CD，F(xiàn)D⊥BC，


∴CF＝BF，


∴∠CFD＝∠BFD＝45°，


∴∠CFB＝90°，


∴EF＝FH，


Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，


∴BF2+EF2＝AE2．





題號(hào)
一
二
三
總分
得分

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