專項(xiàng)2　勾股定理與最短路徑問(wèn)題1. [2021重慶期末]一個(gè)三級(jí)臺(tái)階如圖,每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8 dm、3 dm、2 dm,A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),點(diǎn)A處有一只螞蟻,想到點(diǎn)B處去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為(　　)A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dm答案1.B　三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形(如圖),長(zhǎng)為8 dm,寬為(2+3)×3=15(dm),則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為x dm,由勾股定理得x2=82+152=172,所以x=17.2. [2022臨汾三中期末]如圖,一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體,把它分成3×3×3個(gè)小正方體,小正方體的棱長(zhǎng)都是1.如果一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,那么估計(jì)A,B間的最短路程為　　　　.?答案?3. 如圖,這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池.該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉了一個(gè)“半圓柱”,中間可供滑行部分的截面是半徑為8 m的半圓,其邊緣AB=CD=20 m,點(diǎn)E在CD上,CE=2 m.一滑板愛(ài)好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn),則他滑行的最短距離約是多少?(邊緣部分的厚度忽略不計(jì),π取3)答案3.解:把“半圓柱”側(cè)面展開(kāi)后,連接AE,如圖.由題意可知AD=8π≈8×3=24(m),DE=CD-CE=20-2=18(m).在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2≈182+242=900,所以AE≈30 m.所以他滑行的最短距離約是30 m.4. [2021武漢漢陽(yáng)區(qū)期中]如圖,圓柱形玻璃杯高為14 cm,底面周長(zhǎng)為32 cm,在杯內(nèi)壁離杯底5 cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3 cm的點(diǎn)A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為　　　　cm.(杯壁厚度不計(jì))?答案4.20　如圖,將杯子側(cè)面的一半展開(kāi),作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,則A'B即最短距離.在Rt△A'DB中,由勾股定理,得A'B2=A'D2+BD2=162+122=202,所以A'B=20 cm.5. H.E.杜登尼是19世紀(jì)英國(guó)知名的謎題創(chuàng)作者.“蜘蛛和蒼蠅”問(wèn)題最早出現(xiàn)在1903年的英國(guó)報(bào)紙上,它是杜登尼最有名的謎題之一.如圖,在一個(gè)30英尺×12英尺×12英尺的長(zhǎng)方體房間,一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板1英尺的地方,蒼蠅則在對(duì)面墻的中間離地板1英尺的地方.蒼蠅是如此害怕,以至于無(wú)法動(dòng)彈.試問(wèn),蜘蛛為了捉住蒼蠅需要爬的最短路徑長(zhǎng)是多少?5.解:當(dāng)按圖1方式展開(kāi)時(shí),由題意可知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=32 英尺,AC=24 英尺,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=242+322=402,從而AB=40英尺.當(dāng)按圖2方式展開(kāi)時(shí),易知AB=42英尺.答案?

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