第2講


講























截一個(gè)幾何體及從三個(gè)方向看物體的形狀












































概 述














【教學(xué)建議】


教學(xué)過程中可以結(jié)合教學(xué)器具，使截面及截完后的幾何體更有直觀性；


觀看動(dòng)態(tài)課件可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于三視圖的理解.


讓學(xué)生自己截一些物體，更能增加學(xué)生學(xué)習(xí)的樂趣.











【知識(shí)導(dǎo)圖】











教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


本節(jié)課比較考驗(yàn)學(xué)生的想象能力和動(dòng)手能力，配合適當(dāng)?shù)膭?dòng)態(tài)課件引導(dǎo)，會(huì)收到較好的效果.


在課堂授課前，老師可以自己準(zhǔn)備一些易于分割的物體分發(fā)給學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，便于學(xué)生更好的理解所學(xué)內(nèi)容.





二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 截一個(gè)幾何體








【教學(xué)建議】


通過動(dòng)態(tài)課件的引導(dǎo)，得到常見幾何體的被截后的圖形，建議一邊動(dòng)手操作一邊觀看動(dòng)態(tài)課件，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.


用平面截幾方體出現(xiàn)的截面形狀．


(1)用一個(gè)平面去截正方體，可能出現(xiàn)下面幾種情況：(括號(hào)內(nèi)的是出現(xiàn)的截面形狀)





點(diǎn)撥：由前面的知識(shí)我們知道“面與面相交得到線”，而用平面去截幾何體，所得的截面就是這個(gè)平面與幾何體每個(gè)面相交的線所圍成的圖形．正方體只有六個(gè)面，所以截面最多有六條邊，即截面邊數(shù)最多的圖形是六邊形．


注：長方體、棱柱的截面與正方體的截面有相似之處．


(2)用平面截圓柱體，可能出現(xiàn)以下的幾種情況．





分析：用平面去截圓柱體，可以與圓柱的三個(gè)面(兩個(gè)底面，一個(gè)側(cè)面)同時(shí)相交，由于圓柱側(cè)面為曲面，故相交得到是曲線，無法截出三角形．只能用平面平行和垂直于圓柱的底面截出這幾種圖形．


(3)用平面去截一個(gè)圓錐，能截出圓和三角形兩種截面(還有其他截面，初中不予研究)





(4)用平面去截球體，只能出現(xiàn)一種形狀的截面——圓．





考點(diǎn)2 物體的三視圖








1．主視圖、左視圖、俯視圖的定義


從不同方向觀察同一物體，從正面看到的圖叫主視圖，從左面看到的圖叫左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖．


2．幾種幾何體的三視圖


(1)正方體：三視圖都是正方形．





(2)球：三視圖都是圓．





提醒：在所有幾何體中，只有正方體與球這兩種幾何體的三視圖是相同的．


(3)圓柱體：





(4)圓錐體：





圓錐的主視圖、左視圖都是三角形，而俯視圖的圖中有一個(gè)點(diǎn)表示圓錐的頂點(diǎn)，因?yàn)閺纳贤驴磮A錐時(shí)先看到圓錐的頂點(diǎn)，再看到底面的圓．


3．如何畫三視圖


當(dāng)用若干個(gè)小正方體搭成新的幾何體，如何畫這個(gè)新的幾何體的三視圖？


(1)由照片畫三視圖．


由照片可以清楚地看到每個(gè)小正方體的位置，這樣畫三視圖比較直觀．畫三視圖，都要注意從這個(gè)方向看時(shí)幾何體有幾列，每列有幾個(gè)正方體(即有幾層)，根據(jù)看到的列數(shù)、層數(shù)，畫出相應(yīng)的圖．


注意：主視圖與左視圖中每列的正方形都是從下往上排，底層整齊，不能出現(xiàn)懸空．而俯視圖則有可能出現(xiàn)中空的現(xiàn)象．如下圖：


從正面看，2列，每列一層；從左面看，2列，每列一層；從上面看，2列，左列2層，右列一層．則三視圖是：





注意：照片中的幾何體為了使大家看清前后情況，因此照片中的物體一般朝左偏的位置是正面．


(2)由俯視圖畫主視圖、左視圖．


解法一：根據(jù)俯視圖擺出幾何體，按照(1)的方法畫主視圖、左視圖．


解法二：直接由俯視圖確定主視圖、左視圖的列數(shù)、層數(shù)，并畫出圖．


①主視圖與俯視圖列數(shù)相同，俯視圖中每列的方框內(nèi)的最大數(shù)字即為主視圖本列的層數(shù)．


②左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，俯視圖每一橫行的方框內(nèi)的最大數(shù)字，就是這一橫行逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°所成的左視圖中的列的層數(shù)．


需要記住的要點(diǎn)：





三 、例題精析








類型一 由截面的形狀判斷幾何體的形狀





例題1








用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，得到的截面是四邊形，則這個(gè)幾何體可能是（ ）．


A．球體 B．長方體 C．圓錐 D．三棱錐


【解析】 B


球體：圓；圓錐：圓、三角形；三棱錐：三角形.


【總結(jié)與反思】本題需要學(xué)生熟練掌握各個(gè)立體圖形的截面形狀.





類型二 截一個(gè)幾何體所得截面的形狀





例題1








用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱體，不可能的截面是（ ）．





A B C D


【解析】 D





例題2


【總結(jié)與反思】 本題考查的是學(xué)生對(duì)于圓柱體各個(gè)截面形狀的認(rèn)知，需要學(xué)生有一定的空間想象能力.








如圖所示的正方體，用一個(gè)平面截去它的一個(gè)角，則截面不可能是（ ）





A.銳角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形


【解析】 C


截面經(jīng)過正方體的3個(gè)面時(shí)，得到三角形，但任意兩條線段不可能垂直，所以截面不可能是等腰直角三角形.


【總結(jié)與反思】 本題考查的是學(xué)生對(duì)于正方體各個(gè)截面形狀的認(rèn)知，由于正方體的特殊性，此題較為簡單.


類型三 由截面截多面體的規(guī)律探究（應(yīng)用）





例題1








如圖，從邊長為10的正方體的一頂點(diǎn)處挖去一個(gè)邊長為1的小正方體，則剩下圖形的表面積為（ ）





A.600 B.599 C.598 D.597


【解析】 A


由圖象可知，挖去小正方體后，其實(shí)剩下的圖形的表面積與原正方體的面表積是相等的，因此，剩下圖形的表面積=600．


【總結(jié)與反思】本題考查了正方體截掉一個(gè)多面體的之后表面積的增加情況，在小學(xué)時(shí)期已有涉及，故此題較為基礎(chǔ).





例題1





例題1


類型四 畫從三個(gè)方向看到的物體的形狀圖





如圖所示由五個(gè)小立方體構(gòu)成的立體圖形,請你分別畫出從它的正面、左面、上面三個(gè)方向看所得到的平面圖形．








【解析】





【總結(jié)與反思】 這一類題型是重點(diǎn)內(nèi)容，在單元測或者期中期末中出現(xiàn)頻率較高.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可以使用學(xué)具擺出這個(gè)立體圖形，仔細(xì)觀察.





例題2








如圖是由幾個(gè)小立方塊所搭幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個(gè)數(shù)，請畫出這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖.





【解析】





【總結(jié)與反思】初學(xué)階段利用學(xué)具這種題型將會(huì)非常易做，充分發(fā)揮想象力想象，后期在沒有學(xué)具的情況下也可以順利完成這類題型.


類型五 由物體的不同方向看到的形狀圖確定小正方體的數(shù)目或物體的形狀





例題1








某幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體是（ ）





A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐


【解析】 A


【總結(jié)與反思】 本題主要考查學(xué)生對(duì)于圓錐各個(gè)面的認(rèn)識(shí)，基若礎(chǔ)內(nèi)容掌握較好，學(xué)生對(duì)本類題型就會(huì)很熟練.





例題2








如右圖，是由若干個(gè)相同的小立方體搭成的幾何體的俯視圖和左視圖，則小立方體的個(gè)數(shù)有可能是（ ）．





俯視圖


左視圖





A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7


【解析】 D


【總結(jié)與反思】 本題難度較高，需要學(xué)生對(duì)于三視圖有較深的理解和較強(qiáng)的想象能力.





例題3








一張桌子上擺放有若干個(gè)大小、形狀完全相同的碟子，現(xiàn)從三個(gè)方向看，其三種視圖如圖所示，則這張桌子上碟子的總數(shù)為（ ）





A．11 B．12 C．13 D．14


【解析】 B


【總結(jié)與反思】 本題將正方體變成了碟子，更有利于學(xué)生結(jié)合實(shí)際，





類型六 由物體的不同方向看到的形狀圖的實(shí)際應(yīng)用





例題1








（1）畫出下圖中幾何體的三視圖.





（2）小明用若干個(gè)正方形和長方形準(zhǔn)備拼成一個(gè)長方體的展開圖．拼完后，小明看來看去覺得所拼圖形似乎存在問題．





①請你幫小明分析一下拼圖是否存在問題：若有多余塊，則把圖中多余部分涂黑；若還缺少，則直接在原圖中補(bǔ)全；


②若圖中的正方形邊長，長方形的長為，寬為，請直接寫出修正后所折疊而成的長方體的表面積為 ．


【解析】


(1)


；


(2)①多最下方的正方形；


②長方體的表面積=52×2+8×5×4=210（）．


【總結(jié)與反思】 本題考察的知識(shí)點(diǎn)比較綜合，需要學(xué)生對(duì)于本講知識(shí)有一個(gè)充分的認(rèn)識(shí)后，做起來更加事半功倍.





例題2








一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積為（ ）








【解析】 C 此幾何體為圓柱，底面直徑為2，高為3．圓柱側(cè)面積=底面周長×高，代入相應(yīng)數(shù)值求解即可．


【總結(jié)與反思】本題考查的是學(xué)生對(duì)于圓柱體展開圖的理解，比較基礎(chǔ).





四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








1.在下列幾何體中，軸截面是等腰梯形的是（ ）


A.圓錐 B.圓臺(tái) C.圓柱 D.球


2.用一個(gè)平面去截一個(gè)長方體，截面的形狀不可能是（ ）


A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形


3.用一個(gè)平面去截圓錐，截面圖形不可能是（ ）


A. B. C. D.


4.由五個(gè)同樣大小的立方體組成如圖的幾何體，則關(guān)于此幾何體三種視圖敘述正確的是（ ）





A．左視圖與俯視圖相同 B．左視圖與主視圖相同


C．主視圖與俯視圖相同 D．三種視圖都相同


5.用小立方塊搭一個(gè)幾何體,使得它從正面和上面看到的形狀圖如圖所示,這樣的幾何體只有一種嗎?它最少需要______個(gè)小立方塊,最多要______個(gè)小立方塊.





6.左下圖是一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖 .這個(gè)幾何體只能是（ ）








7.用棱長為1的正方體擺放成如圖形狀.





（1） （2） （3）


根據(jù)圖形擺放規(guī)律推測，第3個(gè)圖形有 個(gè)小正方體組成.


答案與解析


1.【答案】 B


【解析】首先可排除C、D，再根據(jù)圓錐、圓臺(tái)的形狀特點(diǎn)判斷即可．圓錐的軸截面是等腰三角形，圓柱的軸截面是長方形，球的軸截面是圓．因?yàn)楦鶕?jù)圓臺(tái)的定義：以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸．那么它的軸截面就應(yīng)該是等腰梯形．故選B．


2.【答案】 D


【解析】長方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形．故選D．


3.【答案】 C


【解析】根據(jù)圓錐的形狀特點(diǎn)判斷即可，也可用排除法．如果用平面取截圓錐，平面過圓錐頂點(diǎn)時(shí)得到的截面圖形是一個(gè)等腰三角形，如果不過頂點(diǎn)，且平面與底面平行，那么得到的截面就是一個(gè)圓，如果不與底面平行得到的就是一個(gè)橢圓或拋物線與線段組合體，所以不可能是直角形．故選C．


4.【答案】 B


【解析】本題通過仔細(xì)觀察三視圖即可得出正確答案


5.【答案】 9， 13；


【解析】通過在俯視圖上把各個(gè)小方塊內(nèi)的可能的個(gè)數(shù)一一列出，即可算出最多和最少的個(gè)數(shù).


6.【答案】 A


【解析】認(rèn)真觀察每個(gè)圖形的三視圖，然后和題中三視圖對(duì)比.


7.【答案】 10


【解析】此題較為基礎(chǔ)，認(rèn)真查對(duì)即可.





鞏固








1.將圓柱沿斜方向切去一截，剩下的一段如圖所示，將它的側(cè)面沿一條母線剪開，則得到的側(cè)面展開圖的形狀不可能是（ ）





A. B. C. D.


2.圖1是一個(gè)正六面體，把它按圖2中所示方法切割，可以得到一個(gè)正六邊形的截面，則下列展開圖中正確畫出所有的切割線的是（ ）





A. B. C. D.





3.作圖與推理:如圖，是由一些大小相同的小正方體組合成的簡單幾何體





（1）圖中有 塊小正方體；


（2）該幾何體的主視圖如圖所示，請?jiān)谙旅娣礁窦堉蟹謩e畫出它的左視圖和俯視圖．





4.下圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的體積為（ ）








答案與解析


1.【答案】 C


【解析】結(jié)合題目中的圖形，可知得到的側(cè)面展開圖的形狀不可能是角的形狀，故選C.


2.【答案】 C


【解析】動(dòng)手操作可知，畫出所有的切割線的是圖形C．故選C．


3.【答案】（1）11；（2）





【解析】本題比較常規(guī)，認(rèn)真查對(duì)和觀察.


4.【答案】 B


【解析】由幾何體的三視圖得，幾何體是高為10，外徑為8.內(nèi)徑為6的圓筒.





拔高








1.在下列幾何體：（1）圓柱（2）正方體（3）三棱柱（4）球體（5）圓錐，中截面可能是三角形的有（ ）


A.2種 B.3種 C.4種 D.5種


2.把正方體的八個(gè)角切去一個(gè)角后，余下的圖形有（ ）條棱．





A.12或15 B.12或13 C.13或14 D.12或13或14或15


3.桌上放著一個(gè)茶壺，4個(gè)同學(xué)從各自的方向觀察，請指出圖中右邊的四幅圖，從左至右分別是由哪個(gè)同學(xué)看到的（ ）








A．①②③④ B．①③②④ C．②④①③ D．④③①②


4.（1）由大小相同的小立方塊搭成的幾何體如左圖，請?jiān)谟覉D的方格中畫出該幾何體的俯視圖和左視圖．





（2）用小立方體搭一幾何體，使得它的俯視圖和左視圖與你在上圖方格中所畫的圖一致，則這樣的幾何體最少要 個(gè)小立方塊，最多要 個(gè)小立方塊．


5.某學(xué)校設(shè)計(jì)了如圖的一個(gè)雕塑，取名“階梯”，現(xiàn)在工人師傅打算用油漆噴漆噴所有露出的面，經(jīng)測量，已知每個(gè)小立方體的棱長為0.5cm，請你幫助工人師傅算一下，需噴油漆的總面積是多少？





答案與解析


1.【答案】 B


【解析】（2）（3）（5）的截面有三角形的可能性.


2.【答案】 D


【解析】分四種不同的切法來討論，分別切去相鄰三條棱的全部或者部分．分為四種不同的切法：


第一種：切去相鄰的三條棱．那么余下的圖形仍然是12條棱；


第二種：切去相鄰的三條棱中的兩條棱，第三條棱切去一部分，那么余下的圖形是13條棱；


第三種：切相鄰三條棱中的一條棱和另兩條棱的一部分，那么余下的圖形是14條棱；


第四種：切去相鄰三條棱中每條棱的一部分，那么余下的圖形是15條棱．


故選D．


3.【答案】 A，


【解析】確定從左至右的圖分別是主視圖，后視圖，右視圖和左視圖，所以它們分別是由①②③④看到的．故選A


4.（1）


左視圖


俯視圖





（2）5，7．


【解析】通過在俯視圖上把各個(gè)小方塊內(nèi)的可能的個(gè)數(shù)一一列出，即可算出最多和最少的個(gè)數(shù).


5.【答案】7.25平方厘米


【解析】需要噴漆的面積即為此立體圖形的表面積.





五 、課堂小結(jié)








本節(jié)講了2個(gè)重要內(nèi)容：


截一個(gè)幾何體


2．從三個(gè)方向看物體的形狀


六 、課后作業(yè)


本節(jié)課需要較強(qiáng)的想象能力，教師授課過程中多使用動(dòng)態(tài)課件，用立體觀察的方法，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí).本節(jié)課的可操作性也很強(qiáng)，既能培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力，也可以提升他們對(duì)生活中立體圖形的觀察能力.





六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








1.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，不能截得三角形截面的幾何體是（ ）


A.圓柱 B.圓錐 C.三棱柱 D.正方體


2.用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截面不可能是（ ）


A.三角形 B.正方形 C.五邊形 D.八邊形


3.用一個(gè)平面去截①圓錐；②圓柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圓的圖形是（ ）


A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④


4.下面幾何體中，同一幾何體的主視圖和俯視圖相同的有（ ）





A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)


5.如圖所示的幾何體是由5個(gè)相同的小正方體組成，其左視圖為（ ）


正面








A B. C. D.


答案與解析


1.【答案】 A


【解析】A、圓柱的截面可能是圓，長方形，符合題意；


B、圓錐的截面可能是圓，三角形，不符合題意；


C、三棱柱的截面可能是三角形，長方形，不符合題意；


D、正方體的截面可能是三角形，或四邊形，或五邊形，或六邊形，不符合題意；故選A．


2.【答案】 D


【解析】正方體最多有6個(gè)面，截面最多也經(jīng)過6個(gè)面，得到的多邊形的邊數(shù)最多是六邊形，所以不可能是八邊形，故選D．


3.【答案】 B；


【解析】根據(jù)五棱柱沒有圓的截面來判斷.


4.【答案】 B；


【解析】正方體和圓的主視圖和俯視圖相同.


5.【答案】 C；


【解析】左視圖即為C所示





鞏固








1.如圖所示的一塊長方體木頭，想象沿虛線所示位置截下去所得到的截面圖形是（ ）





A. B. C. D.


2.將一個(gè)正方體截去一個(gè)角，則其面數(shù)（ ）


A.增加 B.不變 C.減少 D.上述三種情況均有可能


3.畫出下圖中由幾個(gè)正方體組成的幾何體的三視圖．





4.如圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的立體圖形從三個(gè)不同方向看到的圖形，這些相同的小正方體的個(gè)數(shù)是（ ）





A．4 B．5 C．6 D．7


答案與解析


1.【答案】 B；


【解析】長方體的截面，經(jīng)過長方體四個(gè)側(cè)面，長方體中，對(duì)邊平行，故可確定為平行四邊形，交點(diǎn)垂直于底邊，故為矩形．故選B.


2.【答案】 A


【解析】如圖所示：將一個(gè)正方體截去一個(gè)角，則其面數(shù)增加一個(gè)．





故選A．


3.【答案】三視圖如下圖：


；


【解析】認(rèn)真觀察即可.


4.【答案】 B；


【解析】通過認(rèn)真觀察與核對(duì)即可得出答案B.





拔高








1.圖（1）是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到形如圖（2）、（3）、（4）、（5）的木塊．





我們知道，圖（1）的正方體木塊有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面，請你將圖（2），（3），（4），（5）中木塊的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)填入下表：





觀察上表，請你歸納上述各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是__________．


2.如圖，在平整的地面上，有若干個(gè)完全相同的棱長為10cm的小正方體堆成一個(gè)幾何體．


（1）這個(gè)幾何體由______個(gè)小正方體組成．


（2）如果在這個(gè)幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有______個(gè)正方體只有一個(gè)面是黃色，有_______個(gè)正方體只有兩個(gè)面是黃色，有______個(gè)正方體只有三個(gè)面是黃色．


（3）這個(gè)幾何體噴漆的面積為______．





3.如圖所示的幾何體是由16個(gè)棱長為1厘米的小正方體堆積而成的，問這個(gè)幾何體的表面積是多少平方厘米？





答案與解析


1.【答案】見解析


【解析】（1）





頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-2=棱數(shù)


2.【答案】10；1,2,3；3200；


【解析】認(rèn)真觀察和計(jì)算即可.


3.【答案】50平方厘米.


【解析】認(rèn)真觀察和計(jì)算即可.


七 、教學(xué)反思


























適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初一
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1、由截面的形狀判斷幾何體的形狀


2、截一個(gè)幾何體所得截面的形狀


3、由截面截多面體的規(guī)律探究


4、畫從三個(gè)方向看到的物體的形狀圖


5、由物體的不同方向看到的形狀圖確定小正方體的數(shù)目或物體的形狀


6、由物體的不同方向看到的形狀圖的實(shí)際應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)
1、親身經(jīng)歷切截正方體的過程，體會(huì)面與體的轉(zhuǎn)換，提高動(dòng)手操作的能力.


2、會(huì)從不同方向觀察同一個(gè)物體，能識(shí)別簡單物體的三種視圖.會(huì)畫正方體及簡單組合的三種視圖，并在小正方體內(nèi)填上表示該位置小立方塊的個(gè)數(shù).
教學(xué)重點(diǎn)
會(huì)從不同方向觀察同一個(gè)物體，能識(shí)別簡單物體的三種視圖.會(huì)畫正方體及簡單組合的三種視圖，并在小正方體內(nèi)填上表示該位置小立方塊的個(gè)數(shù).
教學(xué)難點(diǎn)
親身經(jīng)歷切截正方體的過程，體會(huì)面與體的轉(zhuǎn)換，提高動(dòng)手操作的能力.
幾何體
截面形狀
正方體
三角形、正方形、長方形、梯形、五邊形、六邊形
圓 柱
圓、長方形、正方形、……
圓 錐
圓、三角形、……
球
圓

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)上冊電子課本 舊教材

1.3 截一個(gè)幾何體

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)上冊

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