【考點1 一元二次方程的概念】
【方法點撥】解決此類問題掌握一元二次方程的定義是關(guān)鍵；等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2018秋?茂名期中）下面關(guān)于的方程中：①；②；③；④； ⑤．一元二次方程的個數(shù)是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．
【答案】解：①ax2+x+2＝0，當a＝0時，該方程屬于一元一次方程，故錯誤；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定義，故正確；
③x+3＝屬于分式方程，故錯誤；
⑤＝x﹣1屬于無理方程，故錯誤；
故選：B．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)； ②只含有一個未知數(shù)； ③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
【變式1-1】（2018秋?準格爾旗期中）關(guān)于的方程是一元二次方程，則　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)“關(guān)于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程”，得到二次項系數(shù)a﹣1≠0，解之即可．
【答案】解：∵關(guān)于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
a≠1，
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，正確掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2018秋?汨羅市期中）方程是關(guān)于的一元二次方程，則　　
A． B． C． D．
【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．
一元二次方程必須滿足兩個條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0．
由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．
【答案】解：由題意得：|m|＝2且m+2≠0，
由解得得m＝±2且m≠﹣2，
∴m＝2．
故選：B．
【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
【變式1-3】（2018春?杭州期中）已知關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為　　
A．1 B． C． D．不能確定
【分析】直接利用一元二次方程的定義得出關(guān)于m的等式，進而得出答案．
【答案】解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1＝2，
解得：m＝1．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，注意二次項系數(shù)不能為零是解題關(guān)鍵．
【考點2 一元二次方程的解】
【方法點撥】一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二
次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.
【例2】（2018秋?金牛區(qū)校級期中）如果關(guān)于的一元二次方程有一個解是0，那么的值是　　
A．3 B． C． D．0或
【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解關(guān)于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程對二次項系數(shù)為0．
【答案】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
當m＝3時，原方程二次項系數(shù)m﹣3＝0，舍去，
故選：B．
【點睛】本題考查的是一元二次方程解的定義．能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方程的概念．
【變式2-1】（2019春?岱岳區(qū)期中）已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值為　　
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】利用一元二次方程的解的定義得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2019表示為2（m2﹣2m）+2019，然后利用總體代入的方法計算．
【答案】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2019＝2（m2﹣2m）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了總體代入的計算方法．
【變式2-2】（2019春?蚌埠期中）若方程中，，，滿足和，則方程的根是　　
A．1，0 B．，0 C．1， D．無法確定
【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義、一元二次方程的定義求解，代入方程的左右兩邊，看左右兩邊是否相等．
【答案】解：在這個式子中，如果把x＝1代入方程，左邊就變成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：當x＝1時，方程的左右兩邊相等，即方程必有一根是1，同理可以判斷方程必有一根是﹣1．則方程的根是1，﹣1．
故選：C．
【點睛】本題就是考查了方程的解的定義，判斷一個數(shù)是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右兩邊，看左右兩邊是否相等．
【變式2-3】（2018秋?桐梓縣期中）是方程的根，則式子的值為　　
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】由m是方程的根，可得m2+m＝1，變形m3+2m2+2018為m3+m2+m2+2018，然后整體代入得結(jié)果
【答案】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1
∵m3+2m2+2018
＝m3+m2+m2+2018
＝m（m2+m）+m2+2018
＝m+m2+2018
＝1+2018
＝2019．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義及整體代入的思想，解決本題的關(guān)鍵是利用根的定義得關(guān)于m的等式，變形m3+2m2+2018后整體代入．
【考點3 用指定方法解一元二次方程】
【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握直接開方法、配方法、公式法、因式分解法的步驟.
【例3】（2018秋?鎮(zhèn)原縣期中）用指定的方法解下列方程：
（1）（直接開平方法）
（2） （配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
【分析】（1）方程變形后，利用平方根的定義開方即可求出解；
（2）方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方即可求出解；
（3）方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，當根的判別式大于等于0時，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左邊提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．
【答案】解：（1）方程變形得：（x﹣1）2＝9，
開方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程變形得：x2﹣x＝﹣，
配方得：x2﹣x+＝（x﹣）2＝，
開方得：x﹣＝±，
則x1＝，x2＝；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
這里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x＝，
則x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接開平方法，熟練掌握各自解法是解本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2019秋?上栗縣校級月考）按指定的方法解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接開平方法）
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用因式分解法解出方程；
（3）利用公式法解出方程；
（4）利用直接開平方法解出方程．
【答案】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0
x2﹣6x+9＝7+9
（x﹣3）2＝16
x﹣3＝±4
x1＝7，x2＝﹣1；
（2）2x﹣6＝（x﹣3）2
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0
x1＝3，x2＝5；
（3）3x2﹣4x+1＝0
x＝
x1＝1，x2＝；
（4）5（x+1）2＝10
x+1＝±
x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2019秋?來賓期中）按指定的方法解下列方程：
（1）（直接開平方法）
（2）（配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
【分析】（1）移項，整理，利用直接開平方法求得方程的解即可；
（2）利用配方法解方程求得答案；
（3）利用公式法，首先判別式△的值，繼而求得答案；
（4）利用因式分解法求得方程的解即可．
【答案】解：（1））（2x﹣1）2﹣32＝0
整理，得（2x﹣1）2＝64，
2x﹣1＝±8，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）3x2+4x+1＝0
3x2+4x＝﹣1，
x2+x＝﹣，
x2+x+＝﹣+，
（x+）2＝
x+＝±，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣1；
（3）x2﹣x﹣7＝0
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，
x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）x2﹣1＝3x﹣3，
x2﹣1﹣3x+3＝0，
（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+1﹣3）＝0，
x﹣1＝0，x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2．
【點睛】本題考查了利用解一元二次方程，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)方程的特點選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?br /> 【變式3-3】（2019秋?泰州月考）按照指定方法解下列方程：
（1） （用直接開平方法）
（2） （用配方法）
（3） （用求根公式法）
（4）（用因式分解法）
【分析】（1）直接利用開平方法解方程；
（2）先變形為x2﹣x＝﹣4，然后利用配方法解方程；
（3）利用求根公式法解方程；
（4）先移項得到7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【答案】解：（1）2x﹣1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x2﹣x＝﹣4，
x2﹣x+＝﹣4+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝+，x2＝﹣；
（3）△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16，
x＝，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（4）7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
（5x+2）（7x﹣6）＝0，
5x+2＝0或7x﹣6＝0，
所以x1＝﹣，x2＝．
【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了直接開平方法、配方法和公式法解一元二次方程．
【考點4 一元二次方程根的判別式】
【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握根的判別式：當①b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)根，反之亦成立.
【例4】（2019春?阜陽期中）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若為最大的正整數(shù)，求此時方程的根．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式列出不等式，結(jié)合一元二次方程的定義可得a的范圍；
（2）將a的值代入得出方程，解之可得．
【答案】解：（1）由題意知△≥0，即4（a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，
解得：a≤3，
∴a≤3且a≠2；

（2）由題意知a＝3，
則方程為x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
【點睛】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-1】關(guān)于的一元二次方程為
（1）求證：無論為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正數(shù)．
【分析】（1）先計算判別式的值，利用配方法得到△＝4（m+1）2，然后證明△≥0即可；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝m+2，x2＝﹣m，則m+2＞0且﹣m＞0，解得﹣2＜m＜0，然后找出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可．
【答案】（1）證明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）]
＝4m2+8m+4
＝4（m+1）2，
∵4（m+1）2≥0，
∴△≥0，
∴無論m為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）解：x＝＝1±（m+1），
所以x1＝m+2，x2＝﹣m，
根據(jù)題意得m+2＞0且﹣m＞0，
所以﹣2＜m＜0，
所以整數(shù)m為﹣1．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．
【變式4-2】（2019春?西湖區(qū)校級期中）已知、、為三角形的三邊，求證：方程沒有實數(shù)根．
【分析】求出△，然后對△進行因式分解，利用三角形三邊的關(guān)系可證明△＜0，因此得到答案．
【答案】解：∵a，b，c為△ABC的三邊長，
∴a2≠0．
∴△＝（a2+c2﹣b2）2﹣4a2c2
＝（a2+c2﹣b2+2ac）（a2+c2﹣b2﹣2ac）
＝[（a+c）2﹣b2][（a﹣c）2﹣b2]，
＝（a+b+c）（a+c﹣b）（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），
又∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，
∴a+b+c＞0，a+c﹣b＞0，a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0．
∴（a+b+c）（a+c﹣b）（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）＜0．
∴△＜0．
∴原方程沒有實數(shù)根．
【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了因式分解和三角形的三邊關(guān)系．
【變式4-3】（2018秋?宜昌期末）已知是關(guān)于的一元二次方程
（1）證明：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若等腰的一邊長，另兩邊長、是該方程的兩個實數(shù)根，求的面積．
【分析】（1）計算判別式的值得到△＝4m2，從而得到△＞0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）利用求根公式解方程得到x＝4±m(xù)，即b＝4+m，c＝4﹣m，討論：當b＝a＝6時，即4+m＝6，解得m＝2，利用勾股定理計算出底邊上的高，然后計算△ABC的面積；當c＝a時，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，利用同樣方法計算△ABC的面積．
【答案】（1）證明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：∵x＝4±m(xù)，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
當b＝a時，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，底邊上的高為＝，所以△ABC的面積＝×2×＝；
當c＝a時，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，底邊上的高為＝，所以△ABC的面積＝×2×＝，
即△ABC的面積為．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
【考點5 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】
【方法點撥】解決此類問題需熟練掌根與系數(shù)的關(guān)系，熟記兩根之和與兩根之積，并且能夠靈活運用所學(xué)
知識對代數(shù)式進行變形得到兩根之和與兩根之積的形式，代入即可求值.
【例5】（2018秋?江漢區(qū)月考）已知，是方程的兩個根，不解方程，求下列代數(shù)式的值；
（1）
（2）
【分析】（1）將所求的代數(shù)式進行變形處理：x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2．
（2）根據(jù)異分母分式的加法法則進行變形處理，代入求值即可．
【答案】解：∵x1，x2是方程3x2﹣3x﹣5＝0的兩個根，
∴x1+x2＝1，x1?x2＝﹣．
（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+2×＝．

（2）＝＝＝﹣．
【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
【變式5-1】（2018秋?北湖區(qū)校級月考）已知，是方程的兩個實數(shù)根，求下列代數(shù)式的值．
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014．
（1）將m2﹣m＝2014代入m2﹣m+2015中，即可求出結(jié)論；
（2）將m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014代入（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m2﹣m）×（m+n+1）中，即可求出結(jié)論；
（3）將m+n＝1，m2﹣m＝2014代入m2﹣2m﹣n+2014＝（m2﹣m）﹣（m+n）+2014中，即可求出結(jié)論．
【答案】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2014＝0的兩個實數(shù)根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014．
（1）m2﹣m+2015＝2014+2015＝4029；
（2）（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m2﹣m）×（m+n+1）＝2014×2＝4028；
（3）m2﹣2m﹣n+2014＝（m2﹣m）﹣（m+n）+2014＝2014﹣1+2014＝4027．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系找出m2﹣m＝2014；（2）將（m2﹣m）（m﹣+1）變形為（m2﹣m）×（m+n+1）；（3）將m2﹣2m﹣n+2014變形為（m2﹣m）﹣（m+n）+2014．
【變式5-2】（2018秋?江都區(qū)校級月考）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實根，是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】由于方程有兩個實數(shù)根，那么根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝﹣1，x1x2＝，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣中，進而可求k的值；
【答案】解：不存在，
理由：假設(shè)成立，
∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2+4kx+k+1＝0的兩個實根，
∴△＝16k2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k≥0，且k≠0
∴k＜0，
∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝，
∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2（x1+x2）2﹣9x1x2＝2×（﹣1）2﹣9×＝2﹣，
∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣，
∴2﹣＝﹣，
∴k＝，
∵k＜0，
∴不存在這樣k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立
【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)值的正負不等號的變化關(guān)系．
【變式5-3】（2018秋?龍湖區(qū)校級月考）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根，且，恰好是另外兩邊的邊長，已知等腰的一邊長為7，求這個三角形的周長．
【分析】分類討論：若x1＝7時，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m1＝10，m2＝4，當m＝10時，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，m＝10舍去；當m＝4時，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，則三角形周長為3+7+7＝17；若x1＝x2，則m＝2，方程化為x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，m＝2舍去．
【答案】解：∵x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，而等腰△ABC的一邊長為7，
∴x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一個解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
當m＝10時，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
當m＝4時，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，則三角形周長為3+7+7＝17；
若x1＝x2，則m＝2，方程化為x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，則3+3＜7，故舍去，
所以這個三角形的周長為17．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，根的判別式，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系，難度適中．
【考點6 有關(guān)一元二次方程傳播問題】
【方法點撥】解有關(guān)一元二次方程的實際問題的一般步驟：
第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。
第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程。
第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。
第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。
第6步：答。
【例6】（2019春?阜陽期中）今年春季某地區(qū)流感爆發(fā)，開始時有4人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有196人患了流感．若每輪每人傳染的人數(shù)相同，求每輪每人傳染的人數(shù)．
【分析】設(shè)每輪傳染的人數(shù)是x人，根據(jù)有4人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患了流感，列方程求解即可．
【答案】解：設(shè)每輪傳染的人數(shù)是x人，根據(jù)題意得：
4x+4+（4x+4）x＝196，
解得：x＝6或x＝﹣8（不合題意，舍去）．
答：每輪傳染的人數(shù)是6個人．
【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準確找到等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．
【變式6-1】某人過新年用手機向他的一些好朋友發(fā)短信，獲得信息的人也按該人發(fā)送的人數(shù)再加1人向外
發(fā)短信，經(jīng)過兩輪短信的發(fā)送共有35人手機上獲得新年問候的同一條信息，問第一輪和第二輪各有多少人
收到新年問候的短信？
【分析】本題可設(shè)第一輪中某人向x人發(fā)短信，那么在第二輪中獲得短信的這x人每人又發(fā)出了（x+1）條信息，即在第二輪中共發(fā)出了x（x+1）條短信，進而我們可列出方程，求出答案．
【答案】解：設(shè)第一輪中某人向x人發(fā)短信，獲得短信的x人，每人向外發(fā)（x+1）條短信，
由題意得，
x+x（x+1）＝35，
整理x2+2x﹣35＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣7（舍去）．
答：第一輪5人收到短信，第二輪有30人收到短信．
【點睛】該類題解答的關(guān)鍵在于分析每一輪中發(fā)送的人數(shù)與接收的人數(shù)，并能結(jié)合題意，列出方程．
【變式6-2】（2019?云南模擬）為進一步弘揚“愛國、進步、民主、科學(xué)”的五四精神，倡導(dǎo)“我運動、我健康、我快樂”的生活方式，某縣團委準備組織一次共青團員青年足球賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排9天，每天安排5場比賽，則該縣團委應(yīng)邀請多少個足球隊參賽？
【分析】關(guān)系式為：球隊總數(shù)×每支球隊需賽的場數(shù)＝9×5，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【答案】解：該縣團委應(yīng)邀請x個足球隊參賽．每支球隊都需要與其他球隊賽（x﹣1）場，但2隊之間只有1場比賽，
所以可列方程為：x（x﹣1）＝9×5．
整理，得x2﹣x﹣90＝0．
解得x1＝﹣9（不合題意，舍去），x2＝10．
答：該縣團委應(yīng)邀請10個足球隊參賽．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到比賽總場數(shù)的等量關(guān)系，注意2隊之間的比賽只有1場，最后的總場數(shù)應(yīng)除以2．
【變式6-3】（2019?高陽縣一模）在一次聚會上，規(guī)定每兩個人見面必須握手，且握手1次．
（1）若參加聚會的人數(shù)為3，則共握手　　次；若參加聚會的人數(shù)為5，則共握手　　次；
（2）若參加聚會的人數(shù)為為正整數(shù)），則共握手　　次；
（3）若參加聚會的人共握手28次，請求出參加聚會的人數(shù)．
（4）嘉嘉由握手問題想到了一個數(shù)學(xué)問題：若線段上共有個點（不含端點，，線段總數(shù)為多少呢？請直接寫出結(jié)論．
【分析】（1）由握手總數(shù)＝參加聚會的人數(shù)×（參加聚會的人數(shù)﹣1）÷2，即可求出結(jié)論；
（2）由參加聚會的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），可知每人需跟（n﹣1）人握手，同（1）即可求出握手總數(shù)；
（3）由（1）的結(jié)論結(jié)合共握手28次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（4）將線段數(shù)當成人握手次數(shù)，結(jié)合（1）即可得出結(jié)論．
【答案】解：（1）3×（3﹣1）÷2＝3，5×（5﹣1）÷2＝10．
故答案為：3；10．
（2）∵參加聚會的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），
∴每人需跟（n﹣1）人握手，
∴共握手n（n﹣1）次．
故答案為：n（n﹣1）．
（3）依題意，得：n（n﹣1）＝28，
整理，得：n2﹣n﹣56＝0，
解得：n1＝8，n2＝﹣7（不合題意，舍去）．
答：參加聚會的人數(shù)為8人．
（4）∵線段AB上共有m個點（不含端點A，B），
∴可當成共有（m+2）個人握手，
∴線段總數(shù)為（m+2）（m+1）．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列出代數(shù)式；（3）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（4）將線段數(shù)當成人握手次數(shù)來解決問題．
【考點7 有關(guān)一元二次方程面積問題】
【例7】（2019春?瑞安市期中）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（矩形兩面靠現(xiàn)有墻位置的墻最大可用長度為27米，位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．設(shè)飼養(yǎng)場（矩形的一邊長為米．
（1）飼養(yǎng)場另一邊　　米（用含的代數(shù)式表示）．
（2）若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，求的值．

【分析】（1）用（總長+2個2米的門的寬度）﹣3x即為所求；
（2）由（1）表示飼養(yǎng)場面積計算即可，
【答案】解：（1）由題意得：（48﹣3x）米．
故答案是：（48﹣3x）；
（2）由題意得：x（48﹣3x）＝180
解得x1＝6，x2＝10

【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
【變式7-1】（2019春?岱岳區(qū)期末）如圖所示，有一長方形的空地，長為米，寬為12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙為正方形，現(xiàn)計劃甲建筑成住宅區(qū)，乙建成商場，丙開辟成公園．
（1）請用含的代數(shù)式表示正方形乙的邊長：　　米；
（2）若丙地的面積為32平方米，請求出的值．

【分析】（1）由甲和乙為正方形，且該地長為x米，寬為120米，可得出丙的長，也即乙的邊長．
（2）由（1）已求得丙的長，再求出丙的寬，即可得出丙的面積，由此列出方程，求解x即可．
【答案】解：（1）因為甲和乙為正方形，結(jié)合圖形可得丙的長為：（x﹣12）米．
同樣乙的邊長也為（x﹣12）米
故答案是：（x﹣12）；

（2）結(jié)合（1）得，丙的寬為（24﹣x），所以丙的面積為：（x﹣12）（24﹣x）
列方程得，（x﹣12）（24﹣x）＝32
解方程得x1＝20，x2＝16．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出有關(guān)的線段的長，難度不大．
【變式7-2】（2019?貴陽模擬）如圖，將邊長為的正方形紙片，剪去圖中陰影部分的四個全等的直角三角形，再沿圖中的虛線折起，可以得到一個長方體盒子，、、、正好重合于上底面一點，且，若所得到的長方體盒子的表面積為，求線段的長．

【分析】設(shè)AE＝BF＝xcm，由題意可得，長方體盒子的底面為正方形，其邊長為xcm，長方體盒子的高為cm，根據(jù)長方體盒子的表面積為11cm2列出方程，即可得出線段AE的長．
【答案】解：設(shè)AE＝BF＝xcm，
由題意可得，長方體盒子的底面為正方形，其邊長為xcm，長方體盒子的高為cm，
∵得到的長方體盒子的表面積為11cm2
∴2[2x2+x（6﹣2x）+x（6﹣2x）]＝11，
整理得：4x2﹣24x+11＝0，
解得x＝0.5或x＝5.5（舍去），
∴線段AE的長0.5cm．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是用AE的代數(shù)式表示出長方體的長、寬、高．
【變式7-3】（2018秋?貴陽期末）已知長方形硬紙板的長為，寬為，按如圖所示剪掉2個小正方形和2個小長方形（即圖中陰影部分），剩余部分恰好能折成一個有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為．（紙板的厚度忽略不計）
（1）　　，　　；（用含的代數(shù)式表示）
（2）若折成的長方體盒子底面的面積為，求剪掉的小正方形的邊長．

【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)各線段之間的關(guān)系可用含x的代數(shù)式表示出EF，GH的長度；
（2）根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合長方體盒子底面M的面積為300cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【答案】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案為：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依題意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合題意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的邊長為5cm．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各線段之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出EF，GH的長度；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
【考點8 有關(guān)一元二次方程增長率問題】
【例8】（2019春?豐臺區(qū)期末）“美化城市，改善人民居住環(huán)境”是城市建設(shè)的一項重要內(nèi)容．北京市將重點圍繞城市副中心、大興國際機場、冬奧會、世園會、永定河、溫榆河、南中軸等重要節(jié)點區(qū)域綠化，到2022年，全市將真正形成一片集“萬畝城市森林、百萬喬灌樹木、百種鄉(xiāng)土植物、二十四節(jié)氣林窗、四季景觀大道”于一體的城市森林．2018年當年計劃新增造林23萬畝，2019年計劃新增造林面積大體相當于27.8個奧森公園的面積，預(yù)計2020年計劃新增造林面積達到38.87萬畝，求2018年至2020年計劃新增造林面積的年平均增長率．
【分析】增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率）列出方程．
【答案】解：設(shè)2018年至2020年計劃新增造林面積的年平均增長率為x，
根據(jù)題意得23（1+x）2＝38.87，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合題意，舍去）．
答：2018年至2020年計劃新增造林面積的年平均增長率為30%．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長率問題，若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
【變式8-1】（2019春?延慶區(qū)期末）2019年中國北京世界園藝博覽會于4月28日晚在北京延慶隆重開幕，本屆世園會主題為“綠色生活、美麗家園”．自開園以來，世園會迎來了世界各國游客進園參觀．據(jù)統(tǒng)計，僅五一小長假前來世園會打卡的游客就總計約32.7萬人次．其中中國館也是非常受歡迎的場館．據(jù)調(diào)查，中國館5月1日游覽人數(shù)約為4萬人，5月3日游覽人數(shù)約為9萬人，若5月1日到5月3日游客人數(shù)的日增長率相同，求中國館這兩天游客人數(shù)的日平均增長率是多少？
【分析】設(shè)中國館這兩天游客人數(shù)的日平均增長率為x．根據(jù)“中國館5月1日游覽人數(shù)約為4萬人，5月3日游覽人數(shù)約為9萬人”列出方程并解答．
【答案】解：設(shè)中國館這兩天游客人數(shù)的日平均增長率為x，
由題意得：4（1+x）2＝9
解得x1＝，x2＝﹣（舍去）
答：中國館這兩天游客人數(shù)的日平均增長率為50%．
【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，其中增長率問題模型為：a（1+x）2＝b（a＜b）．
【變式8-2】（2019春?順義區(qū)期末）今年，我區(qū)某中學(xué)響應(yīng)習(xí)總書記“足球進校園”的號召，開設(shè)了“足球大課間”活動．現(xiàn)需要購進100個某品牌的足球供學(xué)生使用．經(jīng)調(diào)查，該品牌足球2017年單價為200元，2019年單價為162元．
（1）求2017年到2019年該品牌足球單價平均每年降低的百分率；
（2）選購期間發(fā)現(xiàn)該品牌足球在標價162元的基礎(chǔ)上，兩個文體用品商店有下列不同的促銷方案，試問去哪個商店買足球更優(yōu)惠？

【分析】（1）設(shè)平均每年降低的百分率為x，根據(jù)2017年及2019年該品牌足球的單價，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)兩商城的促銷方案，分別求出在兩商城購買100個該品牌足球的總費用，比較后即可得出結(jié)論．
【答案】解：（1）設(shè)平均每年降低的百分率為x，根據(jù)題意列方程，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合題意，舍去）．
答：2017 年到 2019 年該品牌足球單價平均每年降低10%；

（2）A商店：162×91＝14742（元）；
B商店：162×0.9×100＝14580（元）．
因為14742＞14580．
所以，去B商店買足球更優(yōu)惠．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)2017年及2019年該品牌足球的單價，列出關(guān)于x的一元二次方程；（2）根據(jù)兩商城的促銷方案，分別求出在兩商城購買100個該品牌足球的總費用．
【變式8-3】（2019?福田區(qū)模擬）為響應(yīng)國家全民閱讀的號召，某社區(qū)鼓勵居民到社區(qū)閱覽室借閱讀書，并統(tǒng)計每年的借閱人數(shù)和圖書借閱總量（單位：本），該閱覽室在2016年圖書借閱總量是7500本，2018年圖書借閱總量是10800本．
（1）求該社區(qū)的圖書借閱總量從2016年至2018年的年平均增長率；
（2）已知2018年該社區(qū)居民借閱圖書人數(shù)有1350人，預(yù)計2019年達到1440人，如果2018至2019年圖書借閱總量的增長率不低于2016至2018年的年平均增長率，那么2019年的人均借閱量比2018年增長，求的值至少是多少？
【分析】（1）設(shè)該社區(qū)的圖書借閱總量從2016年至2018年的年平均增長率為x，根據(jù)該社區(qū)2016年及2018年的圖書借閱總量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)2019年的借閱總量＝2018年的人均借閱量×（1+增長率）×2019年借閱圖書人數(shù)結(jié)合2018至2019年圖書借閱總量的增長率不低于2016至2018年的年平均增長率，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【答案】解：（1）設(shè)該社區(qū)的圖書借閱總量從2016年至2018年的年平均增長率為x，
依題意，得：7500（1+x）2＝10800，
解得：x1＝0.2＝20%，x1＝﹣2.2（舍去）．
答：該社區(qū)的圖書借閱總量從2016年至2018年的年平均增長率為20%．
（2）依題意，得：×（1+a%）×1440≥10800×（1+20%），
解得：a≥12.5．
答：a的值至少是12.5．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
【考點9 有關(guān)一元二次方程利潤問題】
【例9】（2019?杏花嶺區(qū)校級三模）某公司銷售一種產(chǎn)品，進價為20元件，售價為80元件，公司為了促銷，規(guī)定凡一次性購買10萬件以上的產(chǎn)品，每多買1萬件，每件產(chǎn)品的售價就減少2元，但售價最低不能低于50元件，設(shè)一次性購買萬件
（1）若，則售價應(yīng)是　　元件；
（2）一次性購買多少件產(chǎn)品時，該公司的銷售總利潤為728萬元；
【分析】（1）由一次性購買x萬件時，售價為80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），據(jù)此將x＝15代入計算可得；
（2）根據(jù)總利潤＝單件利潤×銷售量求解可得．
【答案】解：（1）由題意知，一次性購買x萬件時，售價為80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），
當x＝15時，100﹣2x＝70（元/件），
故答案為：70；

（2）根據(jù)題意知，（100﹣2x﹣20）x＝728，
整理，得
﹣2x2+80x＝728．
解得x1＝26，x2＝14．
因為100﹣2x≥50，
所以10＜x≤25．
所以x＝14符合題意．
答：一次性購買14萬件產(chǎn)品時，該公司的銷售總利潤為728萬元．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．
【變式9-1】（2019春?閩侯縣期末）電商時代使得網(wǎng)購更加便捷和普及．小張響應(yīng)國家號召，自主創(chuàng)業(yè)，開了家淘寶店．他購進一種成本為100元件的新商品，在試銷中發(fā)現(xiàn)：銷售單價（元與每天銷售量（件之間滿足如圖所示的關(guān)系．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若某天小張銷售該產(chǎn)品獲得的利潤為1200元，求銷售單價的值．

【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），根據(jù)所給函數(shù)圖象列出關(guān)于k、b的關(guān)系式，求出k、b的值即可；
（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可．
【答案】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由所給函數(shù)圖象可知：，
解得：．
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+180；

（2）由題意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200，
解得：x＝120，或x＝160．
答：某天小張銷售該產(chǎn)品獲得的利潤為1200元，則銷售單價為120元或160元．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；根據(jù)題意列出關(guān)于k、b的關(guān)系式和列出方程是解答此題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2019?沙坪壩區(qū)校級一模）2019年6月18日是重慶直轄22年的紀念日年來，巴渝大地發(fā)生了翻天覆地的變化，一大波網(wǎng)紅景點成為城市新地標的同時，也見證著城市面貌的改變，并讓一大批重慶特產(chǎn)走出重慶，享譽世界在網(wǎng)紅景點“洪崖洞”某重慶特產(chǎn)專賣店銷售特產(chǎn)“合川桃片”，其進價為每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，則平均每天的銷量可增加20千克．
（1）若該專賣店“合川桃片”3月31日的銷量為280千克，則該天每千克的售價為多少元？
（2）若該專賣店要想4月1日的獲利比（1）中3月31日的獲利多320元，則每千克“合川桃片”應(yīng)為多少元？
【分析】（1）設(shè)該天每千克的售價為x元，則銷量增加20（30﹣x）千克，再根據(jù)“原銷量100千克+增加銷量＝現(xiàn)在銷量280千克”列出一元一次方程解答便可；
（2）設(shè)每千克“合川桃片”應(yīng)為y元，根據(jù)“每千克利潤×銷量＝原來利潤+增加的利潤”列出一元二次方程進行解答便可．
【答案】解：（1）設(shè)該天每千克的售價為x元，根據(jù)題意得，
100+20（30﹣x）＝280，
解得，x＝21，
答：該天每千克的售價為21元．

（2）設(shè)每千克“合川桃片”應(yīng)為y元，根據(jù)題意得，
（y﹣15）[100+20（30﹣y）]＝（21﹣15）×280+320，
解得，y＝25，
答：每千克“合川桃片”應(yīng)為25元．
【點睛】本題主要考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，列一元二次方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是根據(jù)售價表示出增加的銷量和正確根據(jù)等量關(guān)系列出方程．
【變式9-3】（2019?沙坪壩區(qū)校級二模）某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品，已知一件甲種商品和一件乙種商品的進價之和為30元，每件甲種商品的利潤是4元，每件乙種商品的售價比其進價的2倍少11元，小明在該商店購買8件甲種商品和6件乙種商品一共用了262元．
（1）求甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？
（2）在（1）的前提下，經(jīng)銷商統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，平均每天可售出甲種商品400件和乙種商品300件，如果將甲種商品的售價每提高0.1元，則每天將少售出7件甲種商品；如果將乙種商品的售價每提高0.1元，則每天將少售出8件乙種商品．經(jīng)銷商決定把兩種商品的價格都提高元，在不考慮其他因素的條件下，當為多少時，才能使該經(jīng)銷商每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤共2500元？
【答案】解：（1）設(shè)甲種商品的進價是x元，乙種商品的進價是y元，依題意有
，
解得．
故甲種商品的進價是16元，乙種商品的進價是14元；
（2）依題意有：
（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，
整理，得150a2﹣180a＝0，
解得a1＝，a2＝0（舍去）．
故當a為時，才能使該經(jīng)銷商每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤共2500元．
【點睛】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
【考點10 有關(guān)一元二次方程動點問題】
【例10】（2019春?蚌埠期中）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿方向運動，動點從點出發(fā)，沿方向運動，如果點，的運動速度均為．那么運動幾秒時，它們相距？的面積能等于60平方厘米嗎？為什么？

【分析】設(shè)運動t秒時，P，Q兩點相距15厘米，利用勾股定理結(jié)合PQ＝15，可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論，設(shè)運動x秒時，△PCQ的面積等于60平方厘米，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式△＜0可得出原方程無解，即△PCQ的面積不能等于60平方厘米．
【答案】解：設(shè)運動t秒時，P，Q兩點相距15厘米，
依題意，得：t2+（21﹣t）2＝152，
解得：t1＝9，t2＝12，
∴運動秒或12秒時，P，Q兩點相距12厘米．
△PCQ的面積不能等于60平方厘米，理由如下：
設(shè)運動x秒時，△PCQ的面積等于60平方厘米，
依題意，得：x（21﹣x）＝60，
整理，得：x2﹣21x+120＝0，
∵△＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0，
∴原方程無解，即△PCQ的面積不能等于60平方厘米．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2019?東臺市模擬）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動；同時，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動，幾秒種后的面積為？

【分析】設(shè)運動x秒鐘后△DPQ的面積為31cm2，則AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，利用分割圖形求面積法結(jié)合△DPQ的面積為31cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【答案】解：設(shè)運動x秒鐘后△DPQ的面積為31cm2，則AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，
S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，
＝AB?BC﹣AD?AP﹣CD?CQ﹣BP?BQ，
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）?2x，
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5．
答：運動1秒或5秒后△DPQ的面積為31cm2．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2019春?雨花區(qū)校級月考）如圖所示，、、、是矩形的四個頂點，，，動點，分別從點，同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到達點為止，點以的速度向點移動
（1），兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形的面積為？
（2），兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點和點的距離第一次是？

【分析】當運動時間為t秒時，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）利用梯形的面積公式結(jié)合四邊形PBCQ的面積為33cm2，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）過點Q作QM⊥AB于點M，則PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理結(jié)合PQ＝10cm，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【答案】解：當運動時間為t秒時，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依題意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q兩點從出發(fā)開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2．
（2）過點Q作QM⊥AB于點M，如圖所示．

∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1＝，t2＝（不合題意，舍去）．
答：P，Q兩點從出發(fā)開始到秒時，點P和點Q的距離第一次是10cm．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)梯形的面積公式，找出關(guān)于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出關(guān)于t的一元二次方程．
【變式10-3】（2019?宿遷三模）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)沿線段、以的速度向終點運動；同時，點從點出發(fā)沿線段、以的速度向終點運動、兩點中，只要有一點到達終點，則另一點運動立即停止）．
（1）運動停止后，哪一點先到終點？另一點離終點還有多遠？
（2）在運動過程中，的面積能否等于？若能，需運動多長時間？若不能，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)題意可以分別計算出兩個點運動到終點的時間，從而可以解答本題；
（2）先判斷，然后計算出相應(yīng)的時間即可解答本題．
【答案】解：（1）點P從開始到運動停止用的時間為：（12+6）÷2＝9s，
點Q從開始到運動停止用的時間為：（6+12）÷1＝18s，
∵9＜18，只要有一點到達終點，則另一點運動立即停止，
∴點P先到終點，此時點Q離終點的距離是：（6+12）﹣1×9＝9cm，
答：點P先到終點，此時點Q離終點的距離是9cm；
（2）在運動過程中，△APQ的面積能等于22cm2，
當P從點B運動到點C的過程中，設(shè)點P運動時間為as，
∵△APQ的面積能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，此方程無解；
當點P從C到D的過程中，設(shè)點P運動的時間為（b+6）s，
∵△APQ的面積能否等于22cm2，
∴12×6﹣＝22，
解得，b1＝1，b2＝14（舍去），
即需運動6+1＝7s，△APQ的面積能否等于22cm2．
【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，利用方程的知識解答，注意要巧設(shè)未知數(shù)，這樣可以使問題簡單化．

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