【精品講義】人教版九年級上冊數(shù)學專題05 概率初步章末重難點題型（舉一反三）（人教版）（解析版）-教案下載-教習網(wǎng)

【人教版】

【考點1 可能性的大小】
【方法點撥】可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，關鍵是求出每種情況的可能性．
【例1】（2019春?金壇區(qū)期中）如圖，轉(zhuǎn)盤中8個扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，估計下列4個事件發(fā)生的可能性大小，其中事件發(fā)生的可能性最大的是（　?。?br />
A．指針落在標有5的區(qū)域內(nèi)
B．指針落在標有10的區(qū)域內(nèi)
C．指針落在標有偶數(shù)或奇數(shù)的區(qū)域內(nèi)
D．指針落在標有奇數(shù)的區(qū)域內(nèi)
【分析】根據(jù)可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比分別求出每種情況的可能性，再按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列即可，從而確定正確的選項即可．
【答案】解：A、指針落在標有5的區(qū)域內(nèi)的概率是；
B、指針落在標有10的區(qū)域內(nèi)的概率是0；
C、指針落在標有偶數(shù)或奇數(shù)的區(qū)域內(nèi)的概率是1；
D、指針落在標有奇數(shù)的區(qū)域內(nèi)的概率是；
故選：C．
【點睛】此題考查了可能性大小，用到的知識點是可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，關鍵是求出每種情況的可能性．
【變式1-1】（2019春?市北區(qū)期末）我國南方地區(qū)冬至的傳統(tǒng)習俗是吃湯圓，其寓意團團圓圓冬至這一天，小紅家煮了30個湯圓，其中有12個黑芝麻餡的，14個棗泥餡的，4個豆沙餡的，煮完之后的湯圓看起來都一樣，小紅盛了1個湯圓，下列各種描述正確的是（　?。?br /> A．她吃到黑芝麻餡湯圓和棗泥餡湯圓可能性一樣大
B．她吃到棗泥餡湯圓比豆沙餡湯圓的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙餡湯圓
D．她一定能吃到棗泥餡湯圓
【分析】通過計算盛了1個湯圓，盛到各種餡的概率，比較概率的大小得出結論．
【答案】解：盛了1個湯圓盛到黑芝麻的概率為，盛到棗泥的概率為，盛到豆沙的概率為，
∴她吃到棗泥餡湯圓比豆沙餡湯圓的可能性大很多，
故選：B．
【點睛】考查隨機事件發(fā)生可能性的求法，體會概率是描述隨機事件發(fā)生可能性的大小統(tǒng)計量．
【變式1-2】（2019?資陽）在一個布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別．其中紅球若干，白球5個，袋中的球已攪勻．若從袋中隨機取出1個球，取出紅球的可能性大，則紅球的個數(shù)是（　　）
A．4個 B．5個
C．不足4個 D．6個或6個以上
【分析】由取出紅球的可能性大知紅球的個數(shù)比白球個數(shù)多，據(jù)此可得答案．
【答案】解：∵袋子中白球有5個，且從袋中隨機取出1個球，取出紅球的可能性大，
∴紅球的個數(shù)比白球個數(shù)多，
∴紅球個數(shù)滿足6個或6個以上，
故選：D．
【點睛】本題主要考查可能性大小，只要在總情況數(shù)目相同的情況下，比較其包含的情況總數(shù)即可．
【變式1-3】（2019?張店區(qū)一模）從淄博汽車站到銀泰城有甲，乙，丙三條不同的公交線路．為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從淄博汽車站到銀泰城的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：
線路/公交車用時的頻數(shù)/公交車用時
30≤t≤35
35≤t≤40
40≤t≤45
45≤t≤50
合計
甲
59
151
166
124
500
乙
50
50
122
278
500
丙
45
265
167
23
500
早高峰期間，乘坐線路上的公交車，從淄博汽車站到銀泰城“用時不超過45分鐘”的可能性最大．（　?。?br /> A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定
【分析】分別計算出用時不超過45分鐘的可能性大小，再進行比較即可得出答案．
【答案】解：∵甲線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為＝0.752，
乙線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為＝0.444，
丙線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為＝0.954，
∵0.954＞0.752＞0.444，
∴應選擇線路丙；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了樹狀圖法求概率以及可能性大小，解題的關鍵是掌握頻數(shù)估計概率思想的運用．
【考點2 確定與不確定事件】
【方法點撥】必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
【例2】（2018秋?十堰期末）下列說法中不正確的是（　?。?br /> A．拋擲一枚硬幣，硬幣落地時正面朝上是隨機事件
B．把4個球放入三個抽屜中，其中一個抽屜中至少有2個球是必然事件
C．任意打開九年級下冊數(shù)學教科書，正好是第38頁是確定事件
D．一個盒子中有白球m個，紅球6個，黑球n個（每個除了顏色外都相同）．如果從中任取一個球，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，那么m與n的和是6
【分析】直接利用隨機事件的定義分別分析得出答案．
【答案】解：A、拋擲一枚硬幣，硬幣落地時正面朝上是隨機事件，正確，不合題意；
B、把4個球放入三個抽屜中，其中一個抽屜中至少有2個球是必然事件，正確，不合題意；
C、任意打開九年級下冊數(shù)學教科書，正好是第38頁是隨機事件，故此選項錯誤，符合題意；
D、一個盒子中有白球m個，紅球6個，黑球n個（每個除了顏色外都相同）．如果從中任取一個球，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，那么m與n的和是6，正確，不合題意．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了隨機事件，正確把握隨機事件的定義是解題關鍵．
【變式2-1】（2019春?常熟市期末）下列事件中，屬于必然事件的是（　?。?br /> A．如果a，b都是實數(shù)，那么，a+b＝b+a
B．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)之和為13
C．拋枚質(zhì)地均勻的硬幣20次，有10次正面向上
D．用長為4cm，4cm，9cm的三條線段圍成一個等腰三角形
【分析】根據(jù)隨機事件、必然事件和不可能事件的定義即可得到答案．
【答案】解：A．如果a，b都是實數(shù)，那么a+b＝b+a，屬于必然事件；
B．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)之和為13，屬于不可能事件；
C．拋枚質(zhì)地均勻的硬幣20次，有10次正面向上，屬于隨機事件；
D．用長為4cm，4cm，9cm的三條線段圍成一個等腰三角形，屬于不可能事件；
故選：A．
【點睛】本題考查了隨機事件：隨機事件指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．
【變式2-2】（2019春?濱湖區(qū)期末）下列事件中，屬于隨機事件的是（　　）
A．一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形
B．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
C．矩形的兩條對角線相等
D．菱形的每一條對角線平分一組對角
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型．
【答案】解：A、一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形是必然事件；
B、一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形是隨機事件；
C、矩形的兩條對角線相等是必然事件；
D、菱形的每一條對角線平分一組對角是必然事件；
故選：B．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
【變式2-3】（2019?襄城區(qū)模擬）下列事件中是不可能事件的是（　?。?br /> A．任意畫一個四邊形，它的內(nèi)角和是360°
B．若a＝b，則a2＝b2
C．擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時正面朝上
D．一只袋子里共裝有3個小球，它們的標號分別為1，2，3，從中摸出一個小球，標號為5
【分析】直接利用隨機事件以及不可能事件的定義分別分析得出答案．
【答案】解：A、任意畫一個四邊形，它的內(nèi)角和是360°，是必然事件，不合題意；
B、若a＝b，則a2＝b2，是必然事件，不合題意；
C、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時正面朝上，是隨機事件，不合題意；
D、一只袋子里共裝有3個小球，它們的標號分別為1，2，3，從中摸出一個小球，標號為5，是不可能事件，符合題意．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了隨機事件，正確把握相關定義是解題關鍵．
【考點3 概率與方程】
【方法點撥】隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．
【例3】（2019?齊齊哈爾）在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的小球．已知袋中有紅球5個，白球23個，且從袋中隨機摸出一個紅球的概率是，則袋中黑球的個數(shù)為（　?。?br /> A．27 B．23 C．22 D．18
【分析】袋中黑球的個數(shù)為x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性質(zhì)求出x即可．
【答案】解：設袋中黑球的個數(shù)為x，
根據(jù)題意得＝，解得x＝22，
即袋中黑球的個數(shù)為22個．
故選：C．
【點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．
【變式3-1】（2019?南安市模擬）不透明袋子中裝有若干個紅球和6個藍球，這些球除了顏色外，沒有其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，摸出藍球的概率是0.6，則袋子中有紅球（　?。?br /> A．4個 B．6個 C．8個 D．10個
【分析】設袋子中有紅球x個，利用概率公式得到＝0.6，然后解方程即可．
【答案】解：設袋子中有紅球x個，
根據(jù)題意得＝0.6，
解得x＝4．
經(jīng)檢驗x＝4是原方程的解．
答：袋子中有紅球有4個．
故選：A．
【點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．
【變式3-2】（2019?大洼區(qū)三模）在一個不透明的袋中有4個白球和n個黃球，它們除顏色外其余均相同．若從中隨機摸出一個球，摸到黃球的概率為，則n＝（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】根據(jù)黃球的概率公式列出方程＝求解即可．
【答案】解：不透明的布袋中的球除顏色不同外，其余均相同，共有n+4個球，其中黃球n個，
根據(jù)古典型概率公式知：P（黃球）＝＝，
解得n＝6．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了概率公式的應用，一般方法為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）＝．
【變式3-3】（2019?廈門一模）一個不透明盒子里裝有a只白球、b只黑球、c只紅球，這些球僅顏色不同．從中隨機摸出一只球，若P（摸出白球）＝，則下列結論正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝3 C．a(chǎn)＝b＝c D．a(chǎn)＝（b+c）
【分析】根據(jù)概率公式得出＝，整理可得．
【答案】解：由題意知＝，
則3a＝a+b+c，
∴2a＝b+c，
∴a＝（b+c），
故選：D．
【點睛】此題考查了概率的定義：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）＝．
【考點4 幾何概型】
【方法點撥】如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。
幾何概型的特點:1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個. 2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
【例4】（2019?鞍山一模）如圖，在一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長為3米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機地撒4000顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆有1350顆，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)，可以估計出該不規(guī)則圖形的面積．
（1）隨機向不規(guī)則區(qū)域內(nèi)擲一粒黃豆，求黃豆落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的概率；
（2）請你估計出該不規(guī)則圖形的面積；

【分析】（1）根據(jù)概率公式即可得到結論；
（2）根據(jù)概率公式即可得到結論．
【答案】解：（1）記“黃豆落在正方形區(qū)域內(nèi)”為事件A．
∴P（A）＝＝，
答：黃豆落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的概率為；
（2）∵P＝，
∵正方形面積等于27，
∴不規(guī)則圖形面積為80平方米．
【點睛】本題考查了幾何概率，正方形的面積，正確的理解題意是解題的關鍵．
【變式4-1】（2018春?東明縣期末）如圖所示的正三角形區(qū)域內(nèi)投針（區(qū)域中每個小正三角形除顏色外完全相同），針隨機落在某個正三角形內(nèi)（邊線忽略不計）
（1）投針一次，針落在圖中陰影區(qū)域的概率是多少？
（2）要使針落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，還要涂黑幾個小正三角形？請在圖中畫出．

【分析】（1）求出陰影部分的面積與三角形的面積的比值即可解答；
（2）利用（1）中求法得出答案即可．
【答案】解：（1）因為陰影部分的面積與三角形的面積的比值是＝，
所以投針一次擊中陰影區(qū)域的概率等于．

（2）如圖所示：

要使針落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，
還要涂黑2個小正三角形．
【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．
【變式4-2】（2018春?沂源縣期中）（1）如圖所示是一條線段，AB的長為10厘米，MN的長為2厘米，假設可以隨意在這條線段上取一點，求這個點取在線段MN上的概率．
（2）如圖是一個木制圓盤，圖中兩同心圓，其中大圓直徑為20cm，小圓的直徑為10cm，一只小鳥自由自在地在空中飛行，求小鳥停在小圓內(nèi)（陰影部分）的概率是　 ?。?br />
【分析】（1）由AB間距離為10，MN的長為2，用MN的長除以線段AB的長即可得；
（2）用小圓面積除以大圓面積即可得．
【答案】解：（1）AB間距離為10，MN的長為2，
故以隨意在這條線段上取一個點，
那么這個點取在線段MN上的概率為．

（2）因為大圓的面積為：；
小圓的面積為：．
所以小鳥停在小圓內(nèi)（陰影部分）的概率是，
故答案為：．
【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．
【變式4-3】（2018?鎮(zhèn)江模擬）有一類隨機事件概率的計算方法：設試驗結果落在某個區(qū)域S中的每一點的機會均等，用A表示事件“試驗結果落在S中的一個小區(qū)域M中”，那么事件A發(fā)生的概率P（A）＝．有一塊邊長為30cm的正方形ABCD飛鏢游戲板，假設飛鏢投在游戲板上的每一點的機會均等．求下列事件發(fā)生的概率：
（1）在飛鏢游戲板上畫有半徑為5cm的一個圓（如圖1），求飛鏢落在圓內(nèi)的概率；
（2）飛鏢在游戲板上的落點記為點O，求△OAB為鈍角三角形的概率．

【分析】（1）分別計算半徑為5cm的圓的面積和邊長為30cm的正方形ABCD的面積，然后計算即可求出飛鏢落在圓內(nèi)的概率；
（2）根據(jù)題意及結合圖形可得：當點O落在以AB為直徑的半圓內(nèi)△OAB為鈍角三角形，然后計算以AB為直徑的半圓的面積，然后用半圓的面積除以正方形的面積即可求△OAB為鈍角三角形的概率．
【答案】解：（1）∵半徑為5cm的圓的面積＝π?52＝25πcm2，
邊長為30cm的正方形ABCD的面積＝302＝900cm2，
∴P（飛鏢落在圓內(nèi)）＝＝＝；
（2）如圖可得：當點O落在以AB為直徑的半圓內(nèi)△OAB為鈍角三角形．

∵S半圓＝?π?152＝，
∴P（△OAB為鈍角三角形）＝＝．
【點睛】本題考查的知識點是幾何概型的意義，簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．
【考點5 利用樹狀圖求概率】
【方法點撥】列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。
【例5】（2019?南關區(qū)校級模擬）有四張正面分別標有數(shù)字1，2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻．
（1）隨機抽取一張卡片，則抽到數(shù)字“2”的概率是　　；
（2）從四張卡片中隨機抽取2張卡片，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到“數(shù)字和為5”的概率．
【分析】（1）根據(jù)題意可以直接寫出隨機抽取一張卡片，抽到數(shù)字“2”的概率；
（2）根據(jù)題意可以畫出樹狀圖，從而可以求得相應的概率．
【答案】解：（1）由題意可得，
隨機抽取一張卡片，則抽到數(shù)字“2”的概率是，
故答案為：；
（2）由題意可得，

抽到“數(shù)字和為5”的概率是．
【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖，求出相應的概率．
【變式5-1】（2019春?河口區(qū)期末）隨著改革開放進程的推進，改變的不僅僅是人們的購物模式，就連支付方式也在時代的浪潮中發(fā)生著天翻地覆的改變，除了現(xiàn)金、銀行卡支付以外，還有微信、支付寶以及其他支付方式．在一次購物中，小明和小亮都想從微信、支付寶、銀行卡三種支付方式中選一種方式進行支付，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩人恰好選擇同一種支付方式的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：將微信記為A、支付寶記為B、銀行卡記為C，
畫樹狀圖如下：

∵共有9種等可能的結果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有3種，
∴兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為．
【點睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的結果．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【變式5-2】（2019?振興區(qū)校級二模）愛好數(shù)學的甲、乙兩個同學做了一個數(shù)字游戲：拿出三張正面寫有數(shù)字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，將這三張卡片背面朝上洗勻后，甲先隨機抽取一張，將所得數(shù)字作為p的值，然后將卡片放回并洗勻，乙再從這三張卡片中隨機抽取一張，將所得數(shù)字作為q值，兩次結果記為（p，q）．
（1）請你幫他們用樹狀圖或列表法表示（p，q）所有可能出現(xiàn)的結果；
（2）求滿足關于x的方程x2+px+q＝0有實數(shù)根的概率．
【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果；
（2）由（1）可求得滿足關于x的方程x2+px+q＝0有實數(shù)解的結果數(shù)，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）畫樹狀圖得：

則共有9種等可能的結果；

（2）方程x2+px+q＝0有實數(shù)解，即△＝p2﹣4q＞0的結果有6種，
∴滿足關于x的方程x2+px+q＝0有實數(shù)根的概率為＝．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【變式5-3】（2019?云南模擬）將正面分別寫著數(shù)字﹣2，1，3，6的四張卡片（卡片除數(shù)字外，其它都相同）洗勻后，背面向上放在桌子上，從中先隨機抽取一張卡片，記下卡片上的數(shù)字，不放回，再從中任取一張卡片，記下數(shù)字．
（1）請用列表或畫樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，列出所有可能出現(xiàn)的結果；
（2）請計算兩次摸出的卡片上的數(shù)字之和大于4的概率．
【分析】（1）根據(jù)題意先畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，再一一列舉出來即可；
（2）根據(jù)（1）得出的所有情況數(shù)，再找出兩次摸出的卡片上的數(shù)字之和大于4的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【答案】解：（1）根據(jù)題意畫圖如下：

所有可能出現(xiàn)的結果共有12種，分別是（﹣2，1）（﹣2，3）（﹣2，6）（1，﹣2）（1，3）（1，6）（3，﹣2）（3，1）（3，6）（6，﹣2）（﹣6，1）（﹣6，3）；

（2）由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況數(shù)，其中兩次摸出的卡片上的數(shù)字之和大于4的有4種，分別是（1，6）（3，6）（6，1）（6，3），
所以兩次摸出的卡片上的數(shù)字之和大于4的概率是＝．
【點睛】此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【考點6 用列表法求概率】
【方法點撥】列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。
【例6】（2019?郫都區(qū)模擬）一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“優(yōu)”、“教”、“郫”、“都”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．
（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“優(yōu)”的概率為多少？
（2）從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖或列表的方法，求取出兩個球上的漢字能組成“優(yōu)教”或“郫都”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解可得．
【答案】解：（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“優(yōu)”的概率為；

（2）列出下表：

優(yōu)
教
郫
都
優(yōu)
﹣﹣
（優(yōu)，教）
（優(yōu)，郫）
（優(yōu)，都）
教
（教，優(yōu)）
﹣﹣
（教，郫）
（教，都）
郫
（郫，優(yōu)）
（郫，教）
﹣﹣
（郫，都）
都
（都，優(yōu)）
（都，教）
（都，郫）
﹣﹣
∴共有12種可能的結果，其中能組成“優(yōu)教”、“郫都”各有2種可能，
∴按要求能組成“優(yōu)教”或“郫都”的概率為＝．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）＝．
【變式6-1】（2019?長春三模）《中國詩詞大會》欄目中，外賣小哥擊敗北大碩士引發(fā)新一輪中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化熱．某文化中心開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動，誦讀材料有《論語》、《大學》、《中庸》、《孟子》（依次用字母A，B，C，D分別表示這四個材料），將A，B，C．D分別寫在4張完全相同的不適明卡片的正面，背面朝上洗勻后放在桌面上，比賽時甲選手先從中隨機抽取一張卡片，記下內(nèi)容后放回，洗勻后，再由乙選手從中隨機抽取一張卡片，他倆按各自抽取的內(nèi)容進行誦讀比賽．用畫樹狀圖或列表的方法求他倆誦讀兩個不同材料的概率．
【分析】首先根據(jù)題意列表，然后求得所有等可能的結果數(shù)和符合條件的結果數(shù)，二者的比值即為所求概率
【答案】解：列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（A，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表可知共有16種可能結果，共中他倆誦讀兩個不同材料的結果數(shù)為12種，
所以他倆誦讀兩個不同材料的概率為＝．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【變式6-2】（2019?長春模擬）蘇宇為幫助同桌李蕾鞏固“平面直角坐標系中點的坐標特點”這基礎知識，在三張完全相同且不透明的卡片止面分別寫上了﹣3，0，2三個數(shù)字，背面向上洗勻后隨機抽取一張，將卡片上的數(shù)字記為a，放回該卡片重新洗勻，再從三張卡片中隨機取出一張，將卡片上的數(shù)字記為b，然后讓李蕾在平直角坐標系中找出點M（a，b）的位置．請你用畫樹狀圖或列表的方式幫李蕾求點M落在第二象限的概率．
【分析】用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結果，從中找出符合（a，b），在第二象限的結果數(shù)，從而求出點M落在第二象限的概率．
【答案】解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)：

共有9種可能出現(xiàn)的結果，其中落在第二象限的有2種，
∴點M（a，b）落在第二象限的概率為P＝．
【點睛】考查列表法、樹狀圖法求隨機事件的概率，根據(jù)題意用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結果是解決問題的關鍵．
【變式6-3】（2019?碑林區(qū)校級一模）初三年級大活動期間要訓練籃球項目，每位“體育委員”都要通過抽簽的方式確定各班的訓練場地，訓練場地有：A號場地，B號場地，C號場地，D號場地．抽簽規(guī)則如下：將正面分別寫有字母A、B、C、D的四張卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗勻，先由一位“體育委員”隨機抽取一張卡片，這張卡片上的字母表示的訓練地點，即為他抽取的訓練地點，然后將卡片放回、洗勻，再由下一位“體育委員”抽取，已知戰(zhàn)狼和紅武都是“體育委員”
（1）求戰(zhàn)狼抽到的訓練地點是“A號場地”的概率；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求戰(zhàn)狼與紅武抽到同一訓練場地的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；
（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，再找出抽取卡片上字母相同的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
【答案】解：（1）戰(zhàn)狼抽到的訓練地點是“A號場地”的概率為；

（2）列表如下：
　
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
由表中可以看出，抽取的兩張卡片可能出現(xiàn)的結果共有16種且它們出現(xiàn)的可能性相等，其中抽到同一訓練場地的有4種結果，
所以抽到同一訓練場地的概率為．
【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【考點7 用頻率估計概率】
【方法點撥】一般地，在大量重復試驗中，如果事件 A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么，這個常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P（A）=P 。
【例7】（2019春?鼓樓區(qū)校級期中）在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的紅球和白球，其中紅球有b個，將盒中的球搖勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后將球放回盒中，重復進行這過程，如表記錄了某班一次摸球?qū)嶒炃闆r：
摸球總數(shù)n
400
1500
3500
7000
9000
14000
摸到紅球數(shù)m
325
1336
3203
6335
8073
12628
摸到紅球的頻率（精確到0.001）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
（1）由此估計任意摸出1個球為紅球的概率約是　 ?。ň_到0.1）
（2）實驗結束后，小明發(fā)現(xiàn)了一個一般性的結論：盒子中共有a個球，其中紅球有b個，則搖勻后從中任意摸出1個球為紅球的概率P可以表示為，這個結論也得到了老師的證實根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，若在該盒子中再放入除顏色外與原來的球完全相同的2個紅球和2個白球，搖勻后從中任意摸出1個球為紅球的概率為P’，請通過計算比較P與P'的大小．
【分析】（1）在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，從而得出答案；
（2）由（1）得出b＝0.9a，根據(jù)概率公式得出P′＝，再兩者相減得出p﹣p′＞0，從而得出P與P'的大?。?br /> 【答案】解：（1）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可得：任意摸出1個球為紅球的概率約是0.9；
故答案為：0.9；

（2）由（1）得：＝0.9，即b＝0.9a，
由題意得：P′＝，
p﹣p′＝﹣＝＝＝＝＝，
∵a＞0，
∴p﹣p′＞0，
∴P＞P'．
【點睛】本題考查了概率公式，屬于概率基礎題，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)：所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．
【變式7-1】（2019春?高郵市期中）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共20只，這些球除顏色外其余完全相同．攪勻后，小明做摸球?qū)嶒?，他從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)．
摸球的次數(shù)n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次數(shù)m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的頻率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為　 ?。ň_到0.1）
（2）盒子里白色的球有　　只；
（3）若將m個完全一樣的白球放入這個盒子里并搖勻，隨杌摸出1個球是白球的概率是0.8，求m的值．
【分析】（1）計算出其平均值即可；
（2）用總數(shù)乘以其頻率即可求得頻數(shù)；
（3）利用概率公式求解即可．
【答案】解：（1）∵摸到白球的頻率約為0.6，
∴當n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.6；
（2）∵摸到白球的頻率為0.6，共有20只球，
∴則白球的個數(shù)為20×0.6＝12只；
（3）根據(jù)題意得：，
解得：m＝20．
故答案為：0.6；12．
【點睛】考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：部分的具體數(shù)目＝總體數(shù)目×相應頻率．
【變式7-2】（2019春?邗江區(qū)校級期末）某商場設立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應的獎品．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
（1）計算并完成表格：
轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n
100
150
200
500
800
1000
落在“鉛筆”的次數(shù)m
68
111
136
345
564
701
落在“鉛筆”的頻率m/n
0.68
0.74
　　
0.69
0.705
　　
（2）請估計，當n很大時，頻率將會接近多少？
（3）假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？
（4）在該轉(zhuǎn)盤中，表示“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角約是多少？（精確到1°）

【分析】（1）根據(jù)頻率的算法，頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)，可得各個頻率；填空即可；
（2）根據(jù)頻率的定義，可得當n很大時，頻率將會接近其概率；
（3）根據(jù)概率的求法計算即可；
（4）根據(jù)扇形圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比計算即可．
【答案】解：（1）
轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n
100
150
200
500
800
1000
落在“鉛筆”的次數(shù)m
68
111
136
345
564
701
落在“鉛筆”的頻率m/n
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
（2）當n很大時，頻率將會接近0.70，
（3）獲得鉛筆的概率約是0.70，
（4）扇形的圓心角約是0.7×360°＝252°．
【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．用到的知識點為：頻率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【變式7-3】（2019春?雁塔區(qū)校級期末）某市“半程馬拉松”的賽事共有兩項：A“半程馬拉松”、B“歡樂跑”．小明參加了該項賽事的志愿者服務工作，組委會隨機將志愿者分配到兩個項目組．
（1）小明被分配到“半程馬拉松”項目組的概率為　 ?。?br /> （2）為估算本次賽事參加“半程馬拉松″的人數(shù)，小明對部分參賽選手作如下調(diào)查：
調(diào)查總?cè)藬?shù)
20
50
100
200
500
參加“半程馬拉松”人數(shù)
15
33
72
139
356
參加“半程馬拉松”頻率
0.750
0.660
0.720
0.695
0.712
①估算本次賽事參加“半程馬拉松”人數(shù)的概率為　 ?。ň_到0.1）
②若參加“歡樂跑”的人數(shù)大約有300人，估計本次參賽選手的人數(shù)是多少？
【分析】（1）根據(jù)概率公式計算即可．
（2）①利用表格信息即可解決問題．
②參加“歡樂跑”的人數(shù)的概率約為0.3，總?cè)藬?shù)約為300÷0.3＝1000（人）．
【答案】解：（1）小明被分配到“半程馬拉松”項目組的概率為，
故答案為．

（2）觀察表格可知：估算本次賽事參加“半程馬拉松”人數(shù)的概率為0.7．
故答案為0.7．

（3）300÷0.3＝1000（人），
答：估計本次參賽選手的人數(shù)是100人．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
【考點8 游戲公平性】
【例8】（2019?丹東）如圖所示，甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，分別把轉(zhuǎn)盤A，B分成3等份和1等份，并在每一份內(nèi)標上數(shù)字．游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止后，指針所在區(qū)域的數(shù)字之積為奇數(shù)時，甲獲勝；當數(shù)字之積為偶數(shù)時，乙獲勝．如果指針恰好在分割線上時，則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤．
（1）利用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．
（2）這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你在轉(zhuǎn)盤A上只修改一個數(shù)字使游戲公平（不需要說明理由）．

【分析】（1）列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可得；
（2）先計算出數(shù)字之積為偶數(shù)的概率，判斷概率是否相等即可得知游戲是否公平．
【答案】解：（1）列表如下：

﹣2
﹣3
2
3
1
﹣2
﹣3
2
3
2
﹣4
﹣6
4
6
3
﹣6
﹣9
6
9
由表可知，共有12種等可能結果，其中指針所在區(qū)域的數(shù)字之積為奇數(shù)的有4種結果，
所以甲獲勝概率為＝；
（2）∵指針所在區(qū)域的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為＝，
∴這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平，
將轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字2改為1，則游戲公平．
【點睛】此題考查了游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【變式8-1】（2019?市南區(qū)校級二模）“五?一”假期，宇宙公司組織部分員工到A、B、C三地旅游，公司購買前往各地的車票種類、數(shù)量繪制成條形統(tǒng)計圖，如圖．根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題：
（1）若公司決定采用隨機抽取的方式把車票分配100名員工，在看不到車票的條件下，每人抽取一張（所有車票的形狀、大小、質(zhì)地完全相同且充分洗勻），那么員工小王抽到去B地車票的概率為　 ??；
（2）若最后剩下一張車票時，員工小張、小李都想要，決定采用拋擲一枚各面分別標有數(shù)字1，2，3，4的正四面體骰子的方法來確定，具體規(guī)則是：“每人各拋擲一次，若小張擲得著地一面的數(shù)字比小李擲得著地一面的數(shù)字大，車票給小張，否則給小李．”試用“列表法或畫樹狀圖”的方法分析，這個規(guī)則對雙方是否公平？

【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；
（2）依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率，比較是否相等即可求得答案．
【答案】解：（1）員工小王抽到去B地車票的概率為＝，
故答案為：．

（2）不公平，
畫樹狀圖如下：

由此可知，共有16種等可能結果．
其中小張擲得數(shù)字比小李擲得數(shù)字大的有6種：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）．
所以小張擲得數(shù)字比小李擲得數(shù)字大的概率為6÷16＝．
則小張擲得數(shù)字不小于小李擲得數(shù)字的概率為1﹣＝，
∵≠，
∴不公平．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率與概率公式得到應用．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．游戲雙方獲勝的概率相同，游戲就公平，否則游戲不公平．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【變式8-2】（2019?陜西）現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球．其中，A袋裝有2個白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球．
（1）將A袋搖勻，然后從A袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A，B兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝．請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平．
【分析】（1）P（摸出白球）＝；
（2）由上表可知，共有9種等可能結果，其中顏色不相同的結果有4種，顏色相同的結果有5種P（顏色不相同）＝，P（顏色相同）＝，＜這個游戲規(guī)則對雙方不公平
【答案】解：（1）共有3種等可能結果，而摸出白球的結果有2種
∴P（摸出白球）＝；
（2）根據(jù)題意，列表如下：
A B
紅1
紅2
白
白1
（白1，紅1）
（白1，紅2）
（白1，白）
白2
（白2，紅1）
（白2，紅2）
（白2，白）
紅
（紅，紅1）
（紅，紅2）
（紅，白）
由上表可知，共有9種等可能結果，其中顏色不相同的結果有5種，顏色相同的結果有4種
∴P（顏色不相同）＝，P（顏色相同）＝
∵＜
∴這個游戲規(guī)則對雙方不公平
【點睛】本題考查了概率，根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率
【變式8-3】（2019?通遼）有四張反面完全相同的紙牌A、B、C、D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻正面朝下隨機放在桌面上．
（1）從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是　 ?。?br /> （2）小明和小亮約定做一個游戲，其規(guī)則為：先由小明隨機摸出一張，不放回．再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝，否則小明獲勝．這個游戲公平嗎？請用列表法（或畫樹狀圖）說明理由．（紙牌用A、B、C、D表示）若不公平，請你幫忙修改一下游戲規(guī)則，使游戲公平．

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算即可．
（2）首先列表列出可能的情況，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結果有2種，由概率公式得出概率；得出游戲不公平；關鍵概率相等修改即可．
【答案】解：（1）共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有3種，
從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是；
故答案為：；
（2）游戲不公平，理由如下：
列表得：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

共有12種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結果有2種，即（A，C）（C，A）
∴P（兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形）＝＝≠，
∴游戲不公平．
修改規(guī)則：若抽到的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形（或若抽到的兩張牌面圖形都是軸對稱圖形），則小明獲勝，否則小亮獲勝．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．正確利用樹狀圖分析兩次摸牌所有可能結果是關鍵，區(qū)分中心對稱圖形是要點．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．