【人教版】



【考點(diǎn)1 圓的相關(guān)概念】
【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是圓中的半徑所構(gòu)成等腰三角形的靈活應(yīng)用.
【例1】（2019?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖，⊙O的直徑BA的延長線與弦DC的延長線交于點(diǎn)E，且CE＝OB，
已知∠DOB＝72°，則∠E等于（　?。?br />
A．36° B．30° C．18° D．24°
【分析】根據(jù)圓的半徑相等，可得等腰三角形；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得關(guān)于∠E的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【答案】解：如圖：

CE＝OB＝CO，得
∠E＝∠1．
由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．
由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，利用圓的半徑相等得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了三角形外角的性質(zhì)．
【變式1-1】（2019?陜西模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C為圓心，CB為半徑的
圓交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD＝（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD，則∠ACD與∠BCD互余．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°，
∵CD＝CB，
∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡單．
【變式1-2】（2019秋?蕭山區(qū)期中）如圖，半圓O是一個(gè)量角器，△AOB為一紙片，AB交半圓于點(diǎn)D，
OB交半圓于點(diǎn)C，若點(diǎn)C、D、A在量角器上對(duì)應(yīng)讀數(shù)分別為45°，70°，160°，則∠B的度數(shù)為（　?。?br />
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】連結(jié)OD，如圖，根據(jù)題意得∠DOC＝25°，∠AOD＝90°，由于OD＝OA，則∠ADO＝45°，然后利用三角形外角性質(zhì)得∠ADO＝∠B+∠DOB，所以∠B＝45°﹣25°＝20°．
【答案】解：連結(jié)OD，如圖，則∠DOC＝70°﹣45°＝25°，∠AOD＝160°﹣70°＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝45°，
∵∠ADO＝∠B+∠DOB，
∴∠B＝45°﹣25°＝20°．
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．
【變式1-3】（2018秋?瑞安市期末）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，AB，AC的圓心O的兩側(cè)，若∠ABO
＝20°，∠ACO＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（　?。?br />
A．100° B．110° C．125° D．130°
【分析】過A、O作⊙O的直徑AD，分別在等腰△OAB、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．
【答案】解：過A作⊙O的直徑，交⊙O于D．

在△OAB中，OA＝OB，
則∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，涉及了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠COD及∠BOD的度數(shù)．
【考點(diǎn)2 垂徑定理求線段】
【方法點(diǎn)撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；
弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。?br /> 【例2】（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由于⊙O的直徑CD＝10cm，則⊙O的半徑為5cm，又已知OM：OC＝4：5，則可以求出OM＝4，OC＝5，連接OA，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可求得AB．
【答案】解：如圖所示，連接OA．
⊙O的直徑CD＝10cm，
則⊙O的半徑為5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以O(shè)M＝4，
∵AB⊥CD，垂足為M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．
【變式2-1】（2019?渝中區(qū)校級(jí)三模）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【分析】設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位線定理即可解決問題．
【答案】解：設(shè)⊙O的半徑為r．
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，
∴OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OC＝，
∵OA＝OE，AC＝CB，
∴BE＝2OC＝3，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式2-2】（2019?廬陽區(qū)二模）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點(diǎn)E，連接BC過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，若BD＝12cm，AE＝4cm，則OF的長度是（　　）

A． B． C． D．3cm
【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BE，根據(jù)勾股定理求出OB，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【答案】解：連接OB，
∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AC，
∴BE＝BD＝6，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝，
則EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝＝3，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BC＝，
∴OF＝＝（cm），
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br /> 【變式2-3】（2019?梧州）如圖，在半徑為的⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，則CD的長是（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，OG⊥AB于G，連接OB、OD、OE，由垂徑定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，
證出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．
【答案】解：過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，OG⊥AB于G，連接OB、OD、OE，如圖所示：
則DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 圓周角定理】
【方法點(diǎn)撥】圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。
推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
【例3】（2019?營口）如圖，BC是⊙O的直徑，A，D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接AB，AD，BD，若∠ADB＝
70°，則∠ABC的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．70° C．30° D．90°
【分析】連接AC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝70°，然后利用互余計(jì)算∠ABC的度數(shù)．
【答案】解：連接AC，如圖，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．
故答案為20°．
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
【變式3-1】（2019?相城區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是上的
點(diǎn)．若∠BOC＝50°，則∠D的度數(shù)（　?。?br />
A．105° B．115° C．125° D．85°
【分析】連接BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BOC＝25°，然后計(jì)算∠ADB+∠CDB即可．
【答案】解：連接BD，如圖，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ADC＝90°+25°＝115°．
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
【變式3-2】（2019?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是半圓的直徑，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，∠ADC＝55°，則
∠BAD等于（　?。?br />
A．50° B．55° C．65° D．70°
【分析】連接OB、OC．求出∠BOD即可解決問題．
【答案】解：連接OB，OC，
∵∠ADC＝55°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝110°，
∴弧AC＝110°，
∵AD是半圓的直徑，
∴弧CD＝70°，
∵D是弧BD的中點(diǎn)，
∴弧BD＝140°，
∴∠BOD＝140°，
∴∠BAD＝∠BOD＝70°，
故選：D．


【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2019?太原二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，
若∠ABC＝30°，則∠CAD的度數(shù)為（　?。?br />
A．l00° B．105° C．110° D．120
【分析】利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則利用互余計(jì)算出∠BAC＝60°，接著根據(jù)角平分線定義得到∠BCD＝45°，從而利用圓周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后計(jì)算∠BAC+∠BAD即可．
【答案】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
【考點(diǎn)4 圓的內(nèi)接四邊形】
【方法點(diǎn)撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),且任意一個(gè)角的外角都等于其內(nèi)對(duì)角.
【例4】（2019?藍(lán)田縣一模）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ADB＝（　?。?br />
A．30° B．50° C．70° D．80°
【分析】直接利用圓周角定理以及結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，進(jìn)而得出答案．
【答案】解：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理，正確得出∠ABD度數(shù)是解題關(guān)鍵．
【變式4-1】（2019?澄海區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的一個(gè)外角∠EBC＝55°，分別連接AC、BD，若AC＝AD，則∠DBC的度數(shù)為（　?。?br />
A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理計(jì)算即可．
【答案】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ADC＝∠EBC＝55°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝55°，
∴∠DAC＝70°，
由圓周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2019?嘉祥縣三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且＝，連接CF并延長交AD的延長線于點(diǎn)E，連接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，則∠E的度數(shù)為（　?。?br />
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【答案】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2018?南崗區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若⊙O的半徑為4，且∠B＝2∠D，連接AC，則線段AC的長為（　?。?br />
A．4 B．4 C．6 D．8
【分析】連接OA，OC，利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D＝60°，進(jìn)而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【答案】解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝2∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，
解得：∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△AEO中，OA＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D＝60°．
【考點(diǎn)5 弧長計(jì)算】
【方法點(diǎn)撥】n°的圓心角所對(duì)的弧長l為：。
【例5】（2019?鞍山）如圖，AC是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的點(diǎn)，若⊙O的半徑為3，∠ADB＝30°，
則的長為　 ?。?br />
【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度數(shù)，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
【答案】解：由圓周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴的長＝＝2π，
故答案為：2π．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、弧長的計(jì)算，掌握?qǐng)A周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2019?廬江縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D．若AB＝6，∠BAC＝30°，則劣弧的長等于　 ?。?br />
【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ACB＝90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的二倍求出∠AOD，然后根據(jù)弧長公式列式計(jì)算即可得解．
【答案】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝2×30°＝60°，
∴劣弧的長＝＝π．
故答案為：π．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，比較簡單，熟記定理與公式并求出∠AOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2019?泰順縣模擬）如圖，△ABC的頂點(diǎn)C在半徑為9的⊙O上，∠C＝40°，邊AC，BC分
別與⊙O交于D，E兩點(diǎn)，則劣弧DE的長度為　 ?。?br />
【分析】連接OD、OE，得出∠DOE＝2∠C＝80°，由弧長公式即可得出答案．
【答案】解：連接OD、OE，如圖所示：
∵∠C＝40°，
∴∠DOE＝2∠C＝80°，
∵OD＝9，
∴劣弧DE的長＝＝4π．
故答案為：4π．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、弧長公式；熟練掌握弧長公式，能夠運(yùn)用圓周角定理求角是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2019?瑤海區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E為BC的中點(diǎn)，AF＝1，以EF為直徑的半圓與DE交于點(diǎn)G，則劣弧的長為　 　．

【分析】連接OG，DF，根據(jù)勾股定理分別求出DF、EF，證明Rt△DAF≌Rt△FBE，求出∠DFE＝90°，得到∠GOE＝90°，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
【答案】解：連接OG，DF，
∵BC＝2，E為BC的中點(diǎn)，
∴BE＝EC＝1，
∵AB＝3，AF＝1，
∴BF＝2，
由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，
∴DF＝EF，
在Rt△DAF和Rt△FBE中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）
∴∠ADF＝∠BFE，
∵∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，
∵FD＝FE，
∴∠FED＝45°，
∵OG＝OE，
∴∠GOE＝90°，
∴劣弧的長＝＝π，
故答案為：π．

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)6 正多邊形與圓】
【方法點(diǎn)撥】定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
【例6】（2019?朝陽區(qū)校級(jí)四模）如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA、OE分別交丁點(diǎn)F、G，點(diǎn)M在FG上，則圓周角∠FMG的大小為度　 ?。?br />
【分析】在優(yōu)弧FG上取一點(diǎn)T，連接TF，TG．利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)解決問題即可．
【答案】解：在優(yōu)弧FG上取一點(diǎn)T，連接TF，TG．

∵ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOE＝120°
∵∠T＝∠FOG，
∴∠T＝60°，
∵∠FMG+∠T＝180°，
∴∠FMG＝120°，
故答案為120°．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形解決問題．
【變式6-1】（2019?海南）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別相切于點(diǎn)B、D，則劣弧所對(duì)的圓心角∠BOD的大小為　 　度．

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出∠E、∠D，根據(jù)切線的性質(zhì)可求出∠OAE、∠OCD，從而可求出∠AOC，然后根據(jù)圓弧長公式即可解決問題．
【答案】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠E＝∠A＝＝108°．
∵AB、DE與⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故答案為：144．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、正五邊形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和公式、熟練掌握切線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2019?青島）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，AF是⊙O的直徑，則∠BDF的
度數(shù)是　 　°．

【分析】連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADF＝90°，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和得到∠ABC＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圓周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到結(jié)論．
【答案】解：連接AD，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠ADF＝90°，
∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，
∴∠ABC＝∠C＝108°，
∴∠ABD＝72°，
∴∠F＝∠ABD＝72°，
∴∠FAD＝18°，
∴∠CDF＝∠DAF＝18°，
∴∠BDF＝36°+18°＝54°，
故答案為：54．

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式6-3】（2019?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，⊙O的半徑為2，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線CE、DF相交于點(diǎn)M，則△MEF的面積是　 　．

【分析】設(shè)OE交DF于N，由正八邊形的性質(zhì)得出DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，由垂徑定理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝2﹣，證出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面積公式即可得出結(jié)果．
【答案】解：設(shè)OE交DF于N，如圖所示：
∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，
∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，
∴△ONF是等腰直角三角形，
∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，
∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，
∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MEN＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴MN＝EN，
∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，
∴△MEF的面積＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；
故答案為：2﹣．

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、垂徑定理、正八邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正八邊形的性質(zhì)，證明△ONF和△ENM是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)7 與圓有關(guān)的求最值】
【例7】（2019?清江浦區(qū)一模）正△ABC的邊長為4，⊙A的半徑為2，D是⊙A上動(dòng)點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，則BE的最大值為　 ?。?br />
【分析】連接AD，通過圓的半徑和等邊三角形的邊長，E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以F為圓心FE為半徑的圓，可以判斷點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，此時(shí)BE與圓A相切時(shí)BE的值最大，利用三角形的性質(zhì)即可求解；
【答案】解：連接AD，
∵⊙A的半徑是2，
∴⊙A與AC邊交于AC的中點(diǎn)F，
∵E為CD中點(diǎn)，
E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以F為圓心FE為半徑的圓，
∴當(dāng)點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，此時(shí)BE與圓A相切時(shí)，BE的值最大，
∵AF＝2，AB＝4，
∴BF＝2，
∵E為CD中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，
∴EF＝AD＝1，
∴BE＝2+1；
故答案為2+1．

【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)；利用中位線的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系是求解的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2019?亭湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，4），⊙P半徑為2，A（2.6，0），B（5.2，0），點(diǎn)M是⊙P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值為　 ?。?br />
【分析】如圖，連接OP交⊙P于M′，連接OM．因?yàn)镺A＝AB，CM＝CB，所以AC＝OM，所以當(dāng)OM最小時(shí)，AC最小，M運(yùn)動(dòng)到M′時(shí)，OM最小，由此即可解決問題．
【答案】解：如圖，連接OP交⊙P于M′，連接OM，
∵P（3，4），
∴由勾股定理得：OP＝＝5，

∵OA＝AB＝2.6，CM＝CB，
∴AC＝OM，
∴當(dāng)OM最小時(shí)，AC最小，
∴當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到M′時(shí)，OM最小，
此時(shí)AC的最小值＝OM′＝（OP﹣PM′）＝（5﹣2）＝，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形中位線定理、最小值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解圓外一點(diǎn)到圓的最小距離以及最大距離，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，所以中考?？碱}型．
【變式7-2】（2018?周村區(qū)二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D是以點(diǎn)A為圓心4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，線段CM長度的最大值為　 ?。?br />
【分析】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長，然后在△CEM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解．
【答案】解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，
∴CE＝AB＝5．
∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，
∴ME＝AD＝2．
∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值為7，
故答案為：7．

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形的中位線定理的知識(shí)，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
【變式7-3】（2018秋?邗江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE＝3，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為　 ?。?br />
【分析】如圖，連接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．由題意MN＝2MH＝2，OM＝，推出欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可．
【答案】解：如圖，連接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．

∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM＝，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC＝，
∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心為半徑的圓，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵?AB?CK＝?AC?BC，
∴CK＝，
當(dāng)C，O，H共線，且與CK重合時(shí)，OH的值最小，
∴OH的最小值為﹣＝，
∴MN的最大值＝2＝，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查最小與圓的位置關(guān)系，勾股定理，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
【考點(diǎn)8 垂徑定理的應(yīng)用】
【例8】（2018秋?朝陽區(qū)期末）一些不便于直接測量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測量．如圖，把一
個(gè)直徑為10mm的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測得鋼球頂端離孔道外端的距離為8mm，求這個(gè)孔道的直徑AB．

【分析】先求出鋼珠的半徑及OD的長，連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的長，進(jìn)而得出AB的長．
【答案】解：連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，

則AB＝2AD，
∵鋼珠的直徑是10mm，
∴鋼珠的半徑是5mm，
∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2018秋?丹江口市期末）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有圓
材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代語言表述為：如圖，AB
為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直徑AB的長．請(qǐng)你解答這個(gè)問題．

【分析】連接OC，由直徑AB與弦CD垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，由CD的長求出DE的長，設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即可得出直徑AB的長．
【答案】解：如圖所示，連接OC．

∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，
∴E為CD的中點(diǎn)，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直徑AB的長為26寸．
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理；解答此類題常常利用垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．
【變式8-2】（2018秋?興化市期中）在直徑為1000毫米的圓柱形油罐內(nèi)裝進(jìn)一些油．其橫截面如圖．油面寬AB＝600毫米．
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?00毫米，此時(shí)油面上升了多少毫米？

【分析】（1）首先過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)G，連接OA，由垂徑定理即可求得AF的長，然后由勾股定理，求得OF的長，繼而求得油的最大深度．
（2）分兩種情況：根據(jù)（1）求得OE＝300mm，可得油面上升EF＝OF﹣OE，可得結(jié)論，同理可得當(dāng)油面在圓心O的上方時(shí)，油面上升的高度．
【答案】解：（1）過O作OF⊥AB交AB于F，交圓O于G，連接OA，
∴AF＝AB＝300mm，
∵直徑MN＝1000mm
∴OA＝500mm
由勾股定理得，OF＝＝＝400mm，
則GF＝OG﹣OF＝100mm；
（2）油面寬變?yōu)?00毫米時(shí)，存在兩種情況：
當(dāng)油面CD在圓心O的下方時(shí)，連接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝400mm，OE＝＝300mm，
則EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm，
同理，當(dāng)CD在圓心O上方時(shí)，可得EF＝700．
答：此時(shí)油面上升了100毫米或700毫米．

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理與勾股定理的應(yīng)用．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【變式8-3】（2018秋?云安區(qū)期末）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；
（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？

【分析】（1）連結(jié)OA，利用r表示出OD的長，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理求出r的值即可；
（2）連結(jié)OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的長，進(jìn)而可得出A′B′的長，據(jù)此可得出結(jié)論．
【答案】解：（1）連結(jié)OA，
由題意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34；

（2）連結(jié)OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16．
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取緊急措施．

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)9 切線的性質(zhì)與判定】
【方法點(diǎn)撥】切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。
經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。
【例9】（2019?白銀）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC邊上，⊙D經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)
B且與BC邊相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是⊙D的切線；
（2）若CE＝2，求⊙D的半徑．

【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切線；
（2）連接AE，推出△ADE是等邊三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到結(jié)論．
【答案】（1）證明：連接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切線；
（2）解：連接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半徑AD＝2．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2019?涼山州）如圖，點(diǎn)D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AD的延長線于點(diǎn)C，E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的長．

【分析】（1）連接OD，由AB為⊙O的直徑得∠BDC＝90°，根據(jù)BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根據(jù)BC是⊙O的切線得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得證；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【答案】解：（1）如圖，連接OD，BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF為⊙O的切線；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2019?臨沂）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接CF．
（1）求證：CF是⊙O的切線．
（2）若∠A＝22.5°，求證：AC＝DC．

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CF＝EF＝DF，求得∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA＝∠OAC，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠OAE＝∠CDE＝22.5°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠ADC＝45°，于是得到結(jié)論．
【答案】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF與⊙O相切；
（2）解：連接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2019?朝陽）如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)F，連接DB交⊙O于點(diǎn)H，E是BC上的一點(diǎn)，且BE＝BF，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半徑．

【分析】（1）證明△DAF≌△DCE，可得∠DFA＝∠DEC，證出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切線．
（2）連接AH，求出DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，解方程可求出AD的長．則OA可求出．
【答案】（1）證明：如圖1，連接DF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接AH，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理，菱形的性質(zhì)，切線的判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程解決問題．
【考點(diǎn)10 圓中陰影面積計(jì)算】
【方法點(diǎn)撥】圓心角為n°的扇形面積S為：；
【例10】（2018秋?柯橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點(diǎn)，交BC于D點(diǎn)．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；
（2）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系．

【分析】（1）連接OE，先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BOE＝120°，∠OBE＝30°，根據(jù)AB＝8知OB＝4，依據(jù)S陰影＝S扇形AOE+S△BOE計(jì)算可得．
（2）由AB是⊙O的直徑知∠BEA＝90°，根據(jù)∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°得∠EBC＝∠CAD，據(jù)此求解可得．
【答案】解：（1）如圖，連接OE，

∵∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S陰影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、扇形的面積公式．
【變式10-1】（2018秋?吳興區(qū)期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC．
（1）求證：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求圖中陰影部分的面積．

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AEO＝90°，再利用垂徑定理證明即可．
（2）根據(jù)S陰＝S扇形OAD﹣S△ADO計(jì)算即可．
【答案】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；

（2）連接CD，OD，

∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴S陰＝S扇形OAD﹣S△ADO＝﹣?4×2＝﹣4
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
【變式10-2】（2019?長春一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接OD、DE．
（1）求證：OD⊥DE．
（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求陰影部分的面積．

【分析】（1）連接DB，根據(jù)圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【答案】（1）證明：連接DB．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）∵AB＝8，∠BAC＝30°，
∴AD＝4，
陰影部分的面積＝﹣×4×2
＝π﹣4．

【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算、圓周角定理的應(yīng)用，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2018秋?富陽區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)的圓O交BC于點(diǎn)D，且D點(diǎn)是弧BE的中點(diǎn)，
（1）求證AB是圓的直徑；
（2）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；
（3）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系．

【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AD⊥BC，根據(jù)圓周角定理的推論證明；
（2）連接OE，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可；
（3）由（1）知AB是直徑，得到∠BEA＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EBC＝∠CAD，等量代換即可得到結(jié)論．
【答案】解：（1）連結(jié)AD，∵D是中點(diǎn)，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O直徑；

（2）連結(jié)OE，
∵∠C＝60°，AB＝AB，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S陰影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4．

（3）由（1）知AB是⊙O的直徑，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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