第17講


講























期末復(fù)習(xí)二












































概 述














【教學(xué)建議】


1.通過系統(tǒng)化、條理化的復(fù)習(xí)，回顧各章的基礎(chǔ)知識和基本方法，同時(shí)加強(qiáng)整個(gè)學(xué)期知識間的聯(lián)系，使學(xué)生能理清所學(xué)，查漏補(bǔ)缺，真正落實(shí)掌握所學(xué)內(nèi)容；


2.加強(qiáng)學(xué)生的審題、閱讀、觀察、計(jì)算、畫圖、抽象概括、邏輯推理、動手操作等技能；


3.滲透函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法；


4.幫助學(xué)生揭示解題規(guī)律，歸納解題方法，進(jìn)一步提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力；


5.培養(yǎng)學(xué)生自己復(fù)習(xí)的能力，提高應(yīng)試能力和綜合素質(zhì)。





【知識導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。


導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識體系中，從學(xué)生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)。


提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)供講師參考：


復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)


求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。例如這個(gè)表達(dá)式中，a是底數(shù)，n是指數(shù)，又讀作a的n次冪


乘方的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是零，例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等。


問題：光的速度約為3×105 千米/秒，太陽光照射到地球上需要的時(shí)間大約是5×102 秒，你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎?


解答：(3×105 )×(5×102 )=(3×5)×()=15×


如果將上式中的數(shù)字改為字母，即，我們可以得到





根據(jù)上式總結(jié)出單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的方法


問題：三家連鎖店以相同的價(jià)格m(單位：元/瓶)銷售某種商品，它們在一個(gè)月內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，分別是a,b,c。請用不同方法計(jì)算它們在這個(gè)月內(nèi)銷售這種商品的總收入


一種方法是先求三家連鎖店的總銷售量，再求總收入，即總收入為m(a+b+c),另一種方法是先分別求三家連鎖店的收入，再求它們的和，即總收入為ma+mb+mc,所以：


m(a+b+c)= ma+mb+mc ,根據(jù)上式總結(jié)出單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法


問題：為了擴(kuò)大綠地面積，要把街心花園的一塊長a米，寬m米的長方形綠地增長b米，加寬n米，求擴(kuò)地以后的面積是多少？ 用兩種方法表示擴(kuò)大后綠地的面積。





方法一：這塊花園現(xiàn)在長(a+b)米，寬(m+n)米，因而面積為(a+b)(m+n)平方米．


方法二：這塊花園現(xiàn)在是由四小塊組成，它們的面積分別為：am米2、an米2、 bm米2、bn米2，故這塊綠地的面積為(am+an+bm+bn)米2． (a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一塊綠地的面積，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，根據(jù)上式總結(jié)出多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法

















二、知識講解








考點(diǎn)1 冪的乘除運(yùn)算








【教學(xué)建議】通過前面的引導(dǎo)，得到單調(diào)函數(shù)的定義，建議用三種語言對比的形式來加深理解；得到增函數(shù)的定義后，可以讓學(xué)生來類比寫出減函數(shù)的定義：


同底數(shù)冪的乘法法則：一般地，對于任何底數(shù)a與任何正整數(shù)m、n，


=


因此我們有am﹒an=am+n（m，n都是正整數(shù)）


即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。


注意：（1）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，法則也適用。即 (m，n，...,p都是正整數(shù))


（2）不要忽略指數(shù)為1的因數(shù)


（3）底數(shù)不一定只是一個(gè)數(shù)字或一個(gè)字母


注意法則的逆用，即（m，n都是正整數(shù)）





冪的乘方的的意義：冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘。


冪的乘方法則：一般的，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，因此，我們有(am)n=amn（m，n都是正整數(shù)）


即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。


注意：(1)法則可推廣為[(am)n]p=amnp（m，n,p都是正整數(shù)）


(2)此法則可以逆用amn=(am)n=(an)m（m，n都是正整數(shù)）





積的乘方法則：一般的，對于任意底數(shù)a,b與任意正整數(shù)n，





因此，可得出（n是正整數(shù)）


即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。


注意：(1)三個(gè)或三個(gè)以上因式的積的乘方，也具有這一性質(zhì).例如(abc)n=anbncn


(2)此法則可逆用：


同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0,m，n都是正整數(shù)，并且m>n），即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。


注意：


（1）底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但底數(shù)a不能為0，則除數(shù)為零，除法就沒有意義了


（2）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，例如（a≠0,m，n，p是正整數(shù)，并且m>n+p）


（3）應(yīng)用這一法則時(shí)，必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么，然后按照同底數(shù)冪除法法則進(jìn)行計(jì)算


（4）同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法是互為逆運(yùn)算





零指數(shù)冪的性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1，另一方面，如果按照同底數(shù)冪的除法來計(jì)算，又有





于是規(guī)定：a0=1（a≠0）


即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1


注意：任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積，因此常數(shù)項(xiàng)可以看作是0次單項(xiàng)式








考點(diǎn)2 整式乘法








單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則，即


單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。


單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是先用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為m(a+b+c)= ma+mb+mc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)


多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則: 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn


乘法公式


（1）整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.


兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.





（2）整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.


兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.








考點(diǎn)3 因式分解








（1）因式分解的定義


（2）因式分解的方法：① 提公因式法 ② 公式法 (平方差, 完全平方) *③ 十字相乘法 *④ 分組分解法


（3）注意事項(xiàng):


① 因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式;


② 因式分解要進(jìn)行到不能再分解為止;


③ 因式分解的步驟：先提公因式，再運(yùn)用公式。


（4）數(shù)學(xué)思想方法: ① 轉(zhuǎn)化思想; ② 整體思想 ; ③ 數(shù)學(xué)方法: 換元法, 配方法.








考點(diǎn)4 分式與分式方程








分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A


叫做分式的分子,B叫做分式的分母.


在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，則分式?jīng)]有意義.例如，在分式中，a≠0；


分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。


用式子表示 其中A、B、C為整式（）


分式的值為0


分式的值若想為零，必須保證分式有意義，所以要求分子為零而分母不為零


若分式的值為正，則分子、分母同號（同為正或同為負(fù)），即：


若，則或。


若分式的值為負(fù)，則分子、分母異號（一正一負(fù)），即：


若，則或。


分式的乘法法則:與分?jǐn)?shù)的乘法法則類似，我們得到分式的乘法法則：兩個(gè)分式相乘，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．


符號表示： ．


說明：


分式與分式相乘時(shí)，若分子和分母都是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能否約分，然后再相乘。


（2）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變，當(dāng)然能約分的要約分。





分式的除法法則：兩個(gè)分式相除，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．


符號表示： ．


說明：


（1）當(dāng)分式的分子與分母都是單項(xiàng)式時(shí)，運(yùn)算步驟是：把除式中的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘，其它與乘法運(yùn)算步驟相同。


（2）當(dāng)分子與分母都是多項(xiàng)式時(shí)：運(yùn)算步驟是：


①把各個(gè)分式的分子與分母分解因式；


②把除式的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘；


③約分，得到計(jì)算結(jié)果.


分式的乘方：幾個(gè)相同分式的積的運(yùn)算叫做分式的乘方。法則：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分別乘方。


符號表示：（為正整數(shù)）。


說明：


（1）分式的乘方，必須把分式加上括號。


（2）在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘、除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式，再約分。


同分母分式的加減法則


同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；


符號表示： ．


說明：


同分母分式相加減時(shí)應(yīng)注意：


①當(dāng)分式的分子是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先添括號，再去括號合并同類項(xiàng)，從而避免符號錯誤。


②分式的分子相加減后，若結(jié)果為多項(xiàng)式，應(yīng)先考慮因式分解后與分母約分，將結(jié)果化為最簡分式或整式。


異分母分式的加減法則


異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p．


說明：


異分母分式相加減時(shí)應(yīng)注意：


①把異分母的分式化成同分母的分式，在這個(gè)過程中必須保證化成的分式與其原來的分式相等；


②通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，分母需要乘“什么”，分子也必須隨之乘“什么”；分式的分子、分母同時(shí)乘的整式是最簡公分母除以分母所得的商。


符號表示：


分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。


解分式方程


解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程.具體做法是 “去分母”.即方程 兩邊同乘最簡公分母.這也是解分式方程的一般思路和做法.


解分式方程的步驟


①去分母


方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數(shù)時(shí).不要忘了改變符號。


②按解整式方程的步驟


移項(xiàng)，若有括號應(yīng)去括號,注意變號,合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化為1 求出未知數(shù)的值;


③驗(yàn)根


求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根.


驗(yàn)根時(shí)把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，這個(gè)根就是增根。否則這個(gè)根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無解。


由增根求參數(shù)值的步驟


確定增根


將原分式方程化為整式方程


將增根代入變形后的整式方程，求出參數(shù)值


分式方程應(yīng)用的步驟：(1)審清題意


(2)設(shè)未知數(shù)；


(3)根據(jù)題目中的相等關(guān)系，列出分式方程


(4)解分式方程；


(5)驗(yàn)根，先檢驗(yàn)是否是增根，再檢驗(yàn)是否符合題意．


（6）寫出答案


分式方程的類型：營銷類、工程類、行程類、濃度類，其中營銷問題及行程問題中航行問題、總工作量為單位1的工程問題。








三 、例題精析








類型一 冪的相關(guān)運(yùn)算





例題1








計(jì)算(1)； (2)； (3)














例題2








【教學(xué)建議】本題有一定難度，需要靈活處理冪的相關(guān)運(yùn)算，不要思維定式。


(1)若,則=________.(2)已知，則=_______.








類型二 乘法公式





例題1








計(jì)算(1)（2x+3）2 (2)(a-2b)2








例題2








計(jì)算


（1）（a-2b）（2b+a）


（2）（3x-2y）（-3x-2y）


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）





類型三 因式分解





例題1








將下列各式分解因式


(1)2x2－4x (2)8m2n+2mn


(3)a2x2y－axy2(4)3x3－3x2－9x











類型四 分式及分式方程





例題1








計(jì)算：．











例題2





乙分別從相距36千米的A、B兩地同時(shí)相向而行．甲從A出發(fā)到1千米時(shí)發(fā)現(xiàn)有東西遺忘在A地，立即返回，取過東西后又立即從A向B行進(jìn)，這樣二人恰好在AB中點(diǎn)處相遇，又知甲比乙每小時(shí)多走0.5千米，求二人速度．





四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








若式子(x-2)0有意義，求x的取值范圍





計(jì)算（1）104×102 （2）（3）





約分（1）； （2）





計(jì)算（1） （2）


（3） （4）（m為正整數(shù)）











鞏固








如果x2-2（m+1）x+4是一個(gè)完全平方公式，則m=______．





計(jì)算(1)1022 (2)982





解方程：．





將下列各式分解因式


(1)(2a-3b)(7x+y)+(x-5y)(3b-2a) (2)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y)











拔高








對于任意的正整數(shù)n，能整除代數(shù)式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整數(shù)是（ ）


A．3 B．6 C．10 D．9





分式的值為正數(shù)的條件是（ ）


A．x＜2B．x＜2且x≠-1C．-1＜x＜2





通分：（1）；（2）

















五 、課堂小結(jié)








1.同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am﹒an=am+n（m，n都是正整數(shù)）


2.冪的乘法法則：即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(am)n=amn（m，n都是正整數(shù)），


3.積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(ab)n=anbn（n是正整數(shù)）


4. 分式定義; 分式有無意義的條件; 分式的值為零（或其它特殊值）的條件.


5. 分式的基本性質(zhì)、符號法則.


6. 通分、約分.


7. 最簡分式.


8. 分式的乘、除、乘方及加減法法則; 整數(shù)指數(shù)冪; 運(yùn)算結(jié)果要化為整式或最簡分式.


9. 解分式方程的基本思路是把分式方程化為整式方程, 轉(zhuǎn)化的途徑是“去分母”


一般步驟:①去分母, 把分式方程化為整式方程; ②解這個(gè)整式方程;


③檢驗(yàn); 檢驗(yàn)是解分式方程必要的步驟


10. 列分式方程解實(shí)際問題的基本步驟: 審、設(shè)、列、解、驗(yàn)（先檢驗(yàn)是否是方程的根, 再驗(yàn)是否符合題意）、答


11. 全等三角形


全等三角形的判定和性質(zhì)


角平分線的性質(zhì)


12. 軸對稱


軸對稱及軸對稱圖形的概念及性質(zhì)


線段的垂直平分線的性質(zhì)


畫軸對稱圖形


用坐標(biāo)表示軸對稱


等腰三角形的判定及性質(zhì)


等邊三角形的判定及性質(zhì)


利用軸對稱和平移等知識確定最短路徑





六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？


（1）； （2）； （3）； （4）；(5)0；（6）





已知，求.





計(jì)算（1）3xy2÷;（2）÷





解分式方程


解：











鞏固











當(dāng)取什么值時(shí)，下列分式有意義？


（1）； （2）. (3)


計(jì)算(1)3x2﹒4x (2)2xy2﹒6x2y





已知，求的值．


解：





某車隊(duì)要把4000噸貨物運(yùn)到雅安地震災(zāi)區(qū)（方案定后，每天的運(yùn)量不變）。


（1）從運(yùn)輸開始，每天運(yùn)輸?shù)呢浳飮崝?shù)（單位：噸）與運(yùn)輸時(shí)間（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系式？


（2）因地震，到災(zāi)區(qū)的道路受阻，實(shí)際每天比原計(jì)劃少運(yùn)20%，則推遲1天完成任務(wù)，求原計(jì)劃完成任務(wù)的天數(shù)。














拔高











如果是完全平方式，那么a的值是（ ）


A.18． B.． C.． D.．





（1）已知，則= ；


（2）已知，則= ．


北京時(shí)間2015年7月31日，國際奧委會主席巴赫宣布：中國北京獲得2022年第24


屆冬季奧林匹克運(yùn)動會舉辦權(quán)．北京也創(chuàng)造歷史，成為第一個(gè)既舉辦過夏奧會又舉辦冬奧會的城市，張家口也成為本屆冬奧會的協(xié)辦城市．近期，新建北京至張家口鐵路可行性研究報(bào)告已經(jīng)獲得國家發(fā)改委批復(fù)，同意新建北京至張家口鐵路，鐵路全長約180千米．按照設(shè)計(jì)，京張高鐵列車的平均行駛速度是普通快車的1.5倍，用時(shí)比普通快車用時(shí)少了20分鐘，求高鐵列車的平均行駛速度．





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長（分鐘）
120
知識點(diǎn)
1、同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方；積的乘方


2、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式


3、同底數(shù)冪的除法；零指數(shù)指數(shù)冪
教學(xué)目標(biāo)
1、整式乘法的公式靈活應(yīng)用


2、乘法公式的應(yīng)用


3、掌握因式分解


4、掌握分式的基本概念，性質(zhì)，及基本運(yùn)算


5、掌握分式方程的計(jì)算及實(shí)際應(yīng)用問題
教學(xué)重點(diǎn)
整式乘法的公式靈活應(yīng)用；乘法公式的應(yīng)用；掌握因式分解；掌握分式的基本概念，性質(zhì)，及基本運(yùn)算；掌握分式方程的計(jì)算及實(shí)際應(yīng)用問題
教學(xué)難點(diǎn)
同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的綜合應(yīng)用；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則的運(yùn)用；理解零指數(shù)指數(shù)冪的意義；乘法公式的熟練使用；分式的概念，計(jì)算及分式方程的解法

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