高中人教A版 (2019)3.3 冪函數(shù)導學案-學案下載-教習網(wǎng)

3.3 冪函數(shù)

給出下列五個問題：

①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，這里p是w的函數(shù)．

②如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)．

③如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V＝a3，這里V是a的函數(shù)．

④如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長a＝Seq \s\up24(eq \f(1,2))，這里a是S的函數(shù)．

⑤如果某人t s內(nèi)騎車行進了1 m，那么他騎車的平均速度v＝t－1m/s，這里v是t的函數(shù)．

問題：(1)上述5個問題中，若自變量都用x表示，因變量用y表示，則對應的函數(shù)關系式分別是什么？

(2)判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)的依據(jù)是什么？

提示：(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，⑤y＝x－1.

(2)依據(jù)是冪函數(shù)的定義，即解析式符合冪函數(shù)解析式的形式．

1．冪函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．

2．冪函數(shù)的圖象

在同一平面直角坐標系中，畫出冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，y＝x－1的圖象如圖所示：

3．冪函數(shù)的性質

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)冪函數(shù)的圖象都過點(0,0)，(1,1)．( )

(2)冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限．( )

(3)當冪指數(shù)α取1,3，eq \f(1,2)時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)．( )

(4)當冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝xα在定義域上是減函數(shù)．

( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是( )

A．y＝eq \r(x) B．y＝x3

C．y＝3x D．y＝x－1

C [只有y＝3x不符合冪函數(shù)y＝xα的形式，故選C.]

3．已知f(x)＝(m＋1)xeq \s\up12(m2＋2)是冪函數(shù)，則m＝( )

A．2 B．1

C．3 D．0

D [由題意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]

4．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，則f(4)＝________.

eq \f(1,2) [由f(2)＝eq \f(\r(2),2)可知2α＝eq \f(\r(2),2)，即α＝－eq \f(1,2)，

∴f(4)＝4eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \f(1,2).]

【例1】已知y＝(m2＋2m－2)xeq \s\up5(m2－1)＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．

[解] 由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))

解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))所以m＝－3，n＝eq \f(3,2).

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα?α為常數(shù)?的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：?1?指數(shù)為常數(shù)；?2?底數(shù)為自變量；?3?系數(shù)為1.

eq \([跟進訓練])

1．在函數(shù)y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為( )

A．0 B．1

C．2 D．3

B [∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是冪函數(shù)；

y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；

y＝x2＋x是兩項和的形式，不是冪函數(shù)；

y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個點(0,1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù)．]

【例2】 (教材P91練習T1改編)點(eq \r(2)，2)與點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分別在冪函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，問當x為何值時，有：

(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；

(2)當x＝1時，f(x)＝g(x)；

(3)當x∈(0,1)時，f(x)c>b>a

B．a(chǎn)>b>c>d

C．d>c>a>b

D．a(chǎn)>b>d>c

(2)函數(shù)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的圖象關于x軸對稱的圖象大致是( )

A B C D

(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和題目所給的形式相符合．

在第一象限內(nèi)，x＝1的右側部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以a>b>c>d.故選B.

(2)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的圖象可看作由y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的圖象向下平移1個單位得到的(如選項A中的圖所示)，將y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的圖象關于x軸對稱后即為選項B.]

[探究問題]

1．冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上的單調(diào)性與α有什么關系？

提示：當α>0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當α1.1，且y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，

∴1.2eq \s\up12(eq \f(1,2))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)))eq \s\up12(eq \f(1,2))>1.1eq \s\up12(eq \f(1,2))，即1.2eq \s\up12(eq \f(1,2))>0.9eq \s\up12(－eq \f(1,2))>eq \r(1.1).

把本例的各組數(shù)據(jù)更換如下，再比較其大小關系：

(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5)；

(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1).

[解] (1)因為冪函數(shù)y＝x0.5在[0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，

又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，

所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5.)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5.)

(2)因為冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，

又－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1).

比較冪的大小時若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大??；若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”.

1．理解1個概念——冪函數(shù)的概念

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，其關鍵是判斷其是否符合y＝xα(α為常數(shù))的形式．

2．掌握1個規(guī)律——冪函數(shù)圖象的變化規(guī)律

冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律

在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的冪的指數(shù)由大變??；在直線x＝1的左側，圖象從下到上，相應的冪的指數(shù)由大變?。?br/>

3．會用3個性質——冪函數(shù)的性質

(1)所有冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且當自變量為1時，函數(shù)值為1，即f(1)＝1.

(2)如果α>0，冪函數(shù)在[0，＋∞)上有意義，且是增函數(shù)．

(3)如果α1，故選C.]

3．已知函數(shù)f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up12(eq \f(1,a－2))為冪函數(shù)，則實數(shù)a的值為( )

A．－1或2 B．－2或1

C．－1 D．1

C [因為f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up12(eq \f(1,a－2))為冪函數(shù)，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.]

4．函數(shù)y＝x－3在區(qū)間[－4，－2]上的最小值是________．

－eq \f(1,8) [因為函數(shù)y＝x－3＝eq \f(1,x3)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，

所以當x＝－2時，y最小值＝(－2)－3＝eq \f(1,?－2?3)＝－eq \f(1,8).]

5．比較下列各組數(shù)的大?。?br/>

(1)3eq \s\up12(－eq \f(5,2))與3.1eq \s\up12(－eq \f(5,2))；

(2)4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))，3.8eq \s\up12(－eq \f(2,3))，(－1.9)eq \s\up12(－eq \f(3,5)).

[解] (1)因為函數(shù)y＝xeq \s\up12(－eq \f(5,2))在(0，＋∞)上為減函數(shù)，

又33.1eq \s\up12(－eq \f(5,2)).

(2)4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))>1eq \s\up12(eq \f(2,5))＝1,0

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