一、解答題（共5小題；共100分）


1. 正方形 的邊長(zhǎng)為 ，對(duì)角線相交于點(diǎn) ，拋物線 經(jīng)過(guò) 、 、 三點(diǎn)，點(diǎn) 是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．





（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，


① 直接寫(xiě)出 、 、 三點(diǎn)坐標(biāo)；


② 求拋物線 的解析式；


（2）求 與 面積之和的最大值．





2. 如圖，在矩形 中，，， 是 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ 不與 ， 重合，過(guò)點(diǎn) 的反比例函 的圖象與 邊交于點(diǎn) ．





（1） 為 的中點(diǎn)時(shí)，求該函數(shù)的解析式；


（2） 為何值時(shí)， 的面積最大，最大面積是多少?





3. 如圖，已知拋物線 經(jīng)過(guò) 的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn) ，點(diǎn) ， 軸，點(diǎn) 是直線 下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．





（1）求拋物線的解析式；


（2）過(guò)點(diǎn) 且與 軸平行的直線 與直線 ， 分別交于點(diǎn) ，，當(dāng)四邊形 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；


（3）當(dāng)點(diǎn) 為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線 上是否存在點(diǎn) ，使得以 ，， 為頂點(diǎn)的三角形與 相似，若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．





4. 如圖 ，已知：一次函數(shù)： 的圖象與反比例函數(shù)： 的圖象分別交于 ， 兩點(diǎn)．





（1）若點(diǎn) 是一次函數(shù)圖象在第一象限部分上的任意一點(diǎn)，過(guò) 分別向 軸、 軸作垂線，垂足分別為 ，，設(shè)矩形 的面積為 ；請(qǐng)寫(xiě)出 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式，并求出 的最大值．


（2）若點(diǎn) 是 軸正半軸上的任意一點(diǎn)，試求 的最大值．





5. 如圖，拋物線 與 軸交于 ， 兩點(diǎn)（ 在 的左側(cè)），與 軸交于點(diǎn) ，已知對(duì)稱(chēng)軸 ．





（1）求拋物線 的解析式；


（2）將拋物線 向下平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在 內(nèi)（包括 的邊界），求 的取值范圍；


（3）設(shè)點(diǎn) 是拋物線 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) 在直線 上， 能否成為以點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若能，求出符合條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．





答案


第一部分


1. （1） 以 點(diǎn)為原點(diǎn)，線段 所在的直線為 軸，線段 所在的直線為 軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．





① 正方形 的邊長(zhǎng)為 ，對(duì)角線相交于點(diǎn) ，


點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．


② 設(shè)拋物線 的解析式為 ，


拋物線 經(jīng)過(guò) 、 、 三點(diǎn)，


有


解得：


拋物線 的解析式為 ．


（2） 點(diǎn) 是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，


設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，


，


當(dāng) 時(shí)， 與 面積之和最大，最大值為 ．


2. （1） 在矩形 中，，，


，


為 的中點(diǎn)，


．


點(diǎn) 在反比例函數(shù) 的圖象上，


．


該函數(shù)的解析式為 ．


（2） ， 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ，，





所以當(dāng) 時(shí)， 有最大值 .


3. （1） 因?yàn)辄c(diǎn) ， 在拋物線上，


所以


解得


所以拋物線的解析式為 .


（2） 因?yàn)? 軸，．


所以 ，


所以 ，，


所以點(diǎn) 的坐標(biāo) ，


因?yàn)辄c(diǎn) ，，


所以直線 的解析式為 ，


設(shè)點(diǎn)


所以 ，


所以 ，


因?yàn)?，，


所以





因?yàn)? ，


所以當(dāng) 時(shí)，四邊形 的面積的最大值是 ，


此時(shí)點(diǎn) ．


（3） 因?yàn)?，


所以 ，


所以 ，，


所以 ，


所以 .


同理可得：，


所以 ，


所以在直線 上存在滿(mǎn)足條件的 ，


設(shè) 且 ，， .


因?yàn)橐?，， 為頂點(diǎn)的三角形與 相似，


①當(dāng) 時(shí)，


所以 ，


所以 ，


所以 ，


所以 .


②當(dāng) 時(shí)，


所以 ，


所以 ，


所以 ，


所以 ．


4. （1） 如圖 ．





在一次函數(shù) 的圖象上，


，





當(dāng) 時(shí)， 最大， 的最大值為：．


（2） 當(dāng)一次函數(shù) 與 軸交于點(diǎn) ，此時(shí) 最大，


聯(lián)立 解得 ，．


，，


．


過(guò)點(diǎn) 作 軸的垂線，垂足為 ，過(guò)點(diǎn) 作 軸的垂線，垂足為 ， 與 相交于點(diǎn) ，如圖 ．





則





5. （1） 因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸 ，，


所以 ，


因?yàn)閽佄锞€ 過(guò)點(diǎn) ，


所以當(dāng) 時(shí)，．


又因?yàn)閽佄锞€ 過(guò)點(diǎn) ，，


所以


所以


所以拋物線的解析式為：．


（2） 因?yàn)?，，


所以直線 解析式為 ，


因?yàn)?，


所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，


因?yàn)閷?duì)于直線 ，當(dāng) 時(shí)，；將拋物線 向下平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，


所以當(dāng) 時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在 上；當(dāng) 時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在 上，


所以將拋物線 向下平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在 內(nèi)（包括 的邊界），則 ．


（3） 設(shè) ，，


①當(dāng) 點(diǎn)在 軸上方時(shí)，過(guò) 點(diǎn)作 垂直于 軸，交 軸與 點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn)作 垂直于 的延長(zhǎng)線于 點(diǎn)，如圖1．





因?yàn)?，


所以 是以點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，


所以 ，，則 ，，


在 和 中，





所以 ，


所以 ，


因?yàn)?，根據(jù) 點(diǎn)坐標(biāo)可得 ，且 ，


所以 ，


解得： 或 ，


所以 或 ．


②當(dāng) 點(diǎn)在 軸下方時(shí)，過(guò) 點(diǎn)作 垂直于 于 點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn)作 垂直于 的延長(zhǎng)線與 點(diǎn)，如圖 2．





同理可得 ，


所以 ，


所以 ，，則 ，


解得 ．


所以 或 ．


綜上可得，符合條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，， 或 ．


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