一、知識梳理
1．直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.

方法
位置關(guān)系
幾何法
代數(shù)法
相交
d0
相切
d＝r
Δ＝0
相離
d>r
Δ0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．

方法
位置關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況
相離
d>r1＋r2
無解
外切
d＝r1＋r2
一組實數(shù)解
相交
|r1－r2|0)關(guān)于y軸對稱，則k的最小值為(　　)
A. B．
C．2 D．4
解析：選D.如圖，

因為圓C經(jīng)過點(0，1)，(0，3)，且與x軸正半軸相切，
所以圓心的縱坐標(biāo)為2，半徑為2，則圓心的橫坐標(biāo)為＝，
所以圓心坐標(biāo)為(，2)，設(shè)過原點與圓相切的直線方程為y＝k1x，
由圓心到直線的距離等于半徑，得＝2，解得k1＝0(舍去)或k1＝－4.
所以若圓C上存在點M，使得直線OM與直線y＝kx(k>0)關(guān)于y軸對稱，則k的最小值為4.
故選D.
3．(2020·安徽皖南八校聯(lián)考)圓C與直線2x＋y－11＝0相切，且圓心C的坐標(biāo)為(2，2)，設(shè)點P的坐標(biāo)為(－1，y0)．若在圓C上存在一點Q，使得∠CPQ＝30°，則y0的取值范圍是(　　)
A. B．[－1，5]
C．[2－，2＋] D．[2－2，2＋2]
解析：選C.由點C(2，2)到直線2x＋y－11＝0的距離為＝，可得圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在這樣的點Q，當(dāng)PQ與圓C相切時，∠CPQ≥30°，可得sin∠CPQ＝＝≥sin 30°，即CP≤2，則≤2，解得2－≤y0≤2＋.故選C.
4．(2020·河南洛陽二模)已知直線x＋y－2＝0與圓O：x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點，C為圓周上一點，線段OC的中點D在線段AB上，且3＝5，則r＝________．
解析：如圖，過O作OE⊥AB于點E，連接OA，則|OE|＝＝，
易知|AE|＝|EB|，
不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3＝5可得|BD|＝3m，|AB|＝8m，
則|DE|＝4m－3m＝m，
在Rt△ODE中，有＝()2＋m2，①
在Rt△OAE中，有r2＝()2＋(4m)2，②
聯(lián)立①②，解得r＝.

答案：
5．已知⊙H被直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面積相等的四部分，且截x軸所得線段的長為2.
(1)求⊙H的方程；
(2)若存在過點P(a，0)的直線與⊙H相交于M，N兩點，且|PM|＝|MN|，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)設(shè)⊙H的方程為(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，
因為⊙H被直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面積相等的四部分，所以圓心H(m，n)一定是兩互相垂直的直線x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交點，易得交點坐標(biāo)為(2，1)，所以m＝2，n＝1.
又⊙H截x軸所得線段的長為2，所以r2＝12＋n2＝2.
所以⊙H的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2.
(2)設(shè)N(x0，y0)，由題意易知點M是PN的中點，所以M.
因為M，N兩點均在⊙H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①
＋＝2，
即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②
設(shè)⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，
由①②知⊙H與⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共點，從而2－≤|HI|≤2＋，
即≤≤3，
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，
所以實數(shù)a的取值范圍是[2－，1]∪[3，2＋]．
6.如圖，已知圓C與y軸相切于點T(0，2)，與x軸的正半軸交于兩點M，N(點M在點N的左側(cè))，且|MN|＝3.

(1)求圓C的方程；
(2)過點M任作一直線與圓O：x2＋y2＝4相交于A，B兩點，連接AN，BN，求證：kAN＋kBN為定值．
解：(1)因為圓C與y軸相切于點T(0，2)，可設(shè)圓心的坐標(biāo)為(m，2)(m>0)，
則圓C的半徑為m，
又|MN|＝3，
所以m2＝4＋＝，解得m＝，
所以圓C的方程為＋(y－2)2＝.
(2)證明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，當(dāng)直線AB的斜率為0時，易知kAN＝kBN＝0，
即kAN＋kBN＝0.
當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線AB：x＝1＋ty，將x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以，則kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.
綜上可知，kAN＋kBN為定值．


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