(文)第2講　概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用
[考情考向·高考導(dǎo)航]
1．以客觀題的形式、考查古典概型、幾何概型的簡單應(yīng)用，難度中低檔．
2．在解答題中以實際生活為背景，考查概率與統(tǒng)計的實際應(yīng)用，概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點．

[真題體驗]
1．(2018·全國Ⅲ卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　)
A．0.3　　　　　　　　　 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：B　[設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)，因為P(A)＝0.45，P(AB)＝0.15，P(A∪B)＝0.45＋P(B)＋0.15＝1，所以P(B)＝0.4.]
2．(2017·全國卷Ⅰ)

如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：B　[不妨設(shè)正方形邊長為a，由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計算公式得，所求概率為＝，選B.]
3．(2019·天津卷)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除，某單位老、中、青員工分別有72人，108人，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.
　　　　　員工
項目　　　　
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
繼續(xù)教育
×
×
○
×
○
○
大病醫(yī)療
×
×
×
○
×
×
住房貸款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
贍養(yǎng)老人
○
○
×
×
×
○
(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．
(ⅰ)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
(ⅱ)設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率．
解：(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．
(2)(ⅰ)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．
(ⅱ)由表格知，符合題意的所有結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．
所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝.
[主干整合]
1．隨機(jī)事件的概率
(1)隨機(jī)事件的概率范圍：0≤P(A)＜1.
(2)必然事件的概率為1.
(3)不可能事件的概率為0.
2．互斥事件、對立事件的概率公式
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)P(A)＝1－P(B)．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
4．幾何概型的概率公式
P(A)＝.

1．區(qū)分互斥、對立事件：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．
2．關(guān)注條件：概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0.

熱點一　幾何概型
數(shù)學(xué)
建模
素養(yǎng)
數(shù)學(xué)建模——幾何概型中的核心素養(yǎng)
以幾何概型為基礎(chǔ)，把數(shù)學(xué)中的實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，建立數(shù)學(xué)模型，從而解決實際問題.
[題組突破]
1．(2019·日照三模)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
解析：B　[如圖所示，畫出時間軸：

小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段AC或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝＝.]
2．從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　)
A. B. C. D.
解析：C　[

如圖，數(shù)對(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，由幾何概型的概率公式可得＝，故π＝.]
3．(2018·全國Ⅰ卷)下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　)

A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析：A　[設(shè)直角三角形ABC的邊AB＝a，AC＝b，則BC＝，
則區(qū)域Ⅰ的面積SⅠ＝ab，區(qū)域Ⅲ的面積
SⅢ＝π2－ab＝(a2＋b2)－ab，
區(qū)域Ⅱ的面積SⅡ＝π2＋π2－SⅢ
＝(a2＋b2)－(a2＋b2)＋ab＝ab.
∴SⅠ＝SⅡ，SⅡ＋SⅢ＝(a2＋b2)≠SⅠ，
由幾何概型的概率公式可知p1＝p2，故選A.]
　
求解幾何概型的關(guān)注點
(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．
(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．
熱點二　古典概型
[例1]　(1)(2019·全國Ⅱ卷)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為(　　)
A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
[解析]　B　[設(shè)5只兔子中測量過某項指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為＝.故選B.]
(2)(2019·昆明二模)某校擬從高二年級2名文科生和4名理科生中選出4名同學(xué)代表學(xué)校參加知識競賽，其中每個人被選中的可能性均相等．
①求被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生的概率；
②求被選中的4名同學(xué)中至少有1名文科生的概率．
[解析]　將2名文科生和4名理科生依次編號為1,2,3,4,5,6，從2名文科生和4名理科生中選出4名同學(xué)記為(a，b，c，d)，其結(jié)果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15種．
①被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生的結(jié)果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6種．
記“被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生”為事件A，
則P(A)＝＝.
②記“被選中的4名同學(xué)中至少有1名文科生”為事件B，則事件B包含有1名文科生或者2名文科生這兩種情況．其對立事件為“被選中的4名同學(xué)中沒有文科生”，只有一種結(jié)果(3,4,5,6)．
所以P()＝，
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.

利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點
(1)關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù)．
(2)注意點：①對于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏．
②當(dāng)直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率．

(1)小敏打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：C　[輸入一次密碼能成功開機(jī)的概率P＝＝.故選C.]
(2)(天津卷)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)
A. B. C. D.
解析：C　[從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝＝.]
熱點三　概率與統(tǒng)計的綜合問題
數(shù)據(jù)
分析
素養(yǎng)
數(shù)據(jù)分析——概率與統(tǒng)計中的核心素養(yǎng)
數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)．?dāng)?shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論.
　　　概率與數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表的交匯
[例2－1]　某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個企業(yè)各100名員工，得到了A企業(yè)員工月收入(單位：元)的頻數(shù)分布表以及B企業(yè)員工月收入(單位：元)的統(tǒng)計圖如下．
A企業(yè)員工月收入的頻數(shù)分布表
月收入/元
人數(shù)
[2 000,3 000)
5
[3 000,4 000)
10
[4 000,5 000)
20
[5 000,6 000)
42
[6 000,7 000)
18
[7 000,8 000)
3
[8 000,9 000)
1
[9 000,10 000]
1
B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計圖

(1)若將頻率視為概率，現(xiàn)從B企業(yè)中隨機(jī)抽取一名員工，求該員工月收入不低于5 000元的概率．
(2)(ⅰ)若從A企業(yè)的月收入在[2 000,5 000)的員工中，按分層抽樣的方式抽取7人，而后在此7人中隨機(jī)抽取2人，則這2人月收入都不在[3 000,4 000)的概率是多少？
(ⅱ)若你是一名即將就業(yè)的大學(xué)生，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，并結(jié)合統(tǒng)計學(xué)相關(guān)知識，你會選擇去哪個企業(yè)就業(yè)？并說明理由．
[審題指導(dǎo)]　(1)由題中B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計圖知100人中月收入超過5 000元的人數(shù)，即可得所求概率．(2)(ⅰ)由古典概型的概率計算公式可得所求概率；(ⅱ)分別求出A，B兩企業(yè)員工的平均月收入，結(jié)合所求說出合理理由即可．
[解析]　(1)由題中B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計圖知100人中月收入不低于5 000元的有68人，故所求概率為＝0.68.
(2)(ⅰ)A企業(yè)月收入在[2 000,3 000)，[3 000,4 000)，[4 000,5 000)的人數(shù)比為1∶2∶4，則按分層抽樣的方法抽取的7人中，月收入在[3 000,4 000)的人數(shù)為2，設(shè)月收入在[3 000,4 000)的2人分別為A，B，其余5人分別為a，b，c，d，e，從這7人中抽取2人共有21種情況，分別為(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，符合抽取的2人月收入都不在[3 000,4 000)的情況有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種，故所求事件的概率為.
(ⅱ)A企業(yè)員工的平均月收入為
×(2 500×5＋3 500×10＋4 500×20＋5 500×42＋6 500×18＋7 500×3＋8 500×1＋9 500×1)＝5 260(元)．
B企業(yè)員工的平均月收入為
×(2 500×2＋3 500×7＋4 500×23＋5 500×50＋6 500×16＋7 500×2)＝5 270(元)．
[參考答案1]　選B企業(yè)，B企業(yè)員工的平均月收入高．
[參考答案2]　選A企業(yè)，A企業(yè)員工的平均月收入只比B企業(yè)低10元，但是A企業(yè)有高收入的團(tuán)體，說明發(fā)展空間較大，獲得8 000元以上的高收入是有可能的．
[參考答案3]　選B企業(yè)，B企業(yè)員工的平均月收入高，且低收入人數(shù)少．(如有其他情況，只要理由充分，也可)
概率與統(tǒng)計案例的交匯
[例2－2]　(2020·武漢模擬)2019年，在慶祝中華人民共和國成立70周年之際，又迎來了以“創(chuàng)軍人榮耀，筑世界和平”為口號的第七屆世界軍人運動會(以下簡稱“軍運會”)．據(jù)悉，這次軍運會于2019年10月18日至27日在美麗的江城武漢舉行，有來自100多個國家的近萬名軍人運動員參賽．相對于奧運會、亞運會等大型綜合賽事，軍運會或許對很多人來說還很陌生，所以武漢某高校為了在學(xué)生中更廣泛地推介普及軍運會相關(guān)知識內(nèi)容，特在網(wǎng)絡(luò)上組織了一次“我所知曉的武漢軍運會”知識問答比賽．為便于對答卷進(jìn)行對比研究，組委會抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他們的成績(單位：分)頻率分布直方圖如下：
(注：答卷滿分為100分，成績≥80的答卷為“優(yōu)秀”等級)

(1)從現(xiàn)有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分別求答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率；
(2)求下面列聯(lián)表中a，b，c，d的值，并根據(jù)列聯(lián)表回答：能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績?yōu)椤畠?yōu)秀’等級與性別有關(guān)”？

男
女
總計
優(yōu)秀
a
b
a＋b
非優(yōu)秀
c
d
c＋d
總計
1 000
1 000
2 000
(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖，對他們的成績的優(yōu)劣進(jìn)行比較．
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
[審題指導(dǎo)]　(1)根據(jù)頻率分布直方圖求解即可；(2)首先由條件完成列聯(lián)表，然后由公式求得K2，從而與臨界表比較得出結(jié)論；(3)從中位數(shù)與成績分布的集中程度進(jìn)行分析得出結(jié)論．
[解析]　(1)男生答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率P＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，
女生答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率P1＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53.
(2)

男
女
總計
優(yōu)秀
580
530
1 110
非優(yōu)秀
420
470
890
總計
1 000
1 000
2 000
∴a＝580，b＝530，c＝420，d＝470.
由K2＝得，
K2＝≈5.061＞5.024，
∴在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績?yōu)椤畠?yōu)秀’等級與性別有關(guān)”．
(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖可得，男、女生成績的中位數(shù)均在80到85之間，但男生的成績分布集中程度較女生成績分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為男生的成績較好且穩(wěn)定．

以實際問題為背景，以統(tǒng)計圖表為載體考查抽樣方法、數(shù)字特征、概率、獨立性檢驗等知識是高考常考點，處理的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題目，準(zhǔn)確獲取信息，成功地將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計概率問題求解．

(2019·南昌二模)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過5 000小時．經(jīng)銷商對B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖：

某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年．新店面只需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號)即可正常營業(yè)．經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝．已知A型和B型節(jié)能燈每支的價格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價為0.75元/千瓦時．假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時間為3 600小時，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈管更換．(用頻率估計概率)
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估算B型節(jié)能燈的平均使用壽命；
(2)根據(jù)統(tǒng)計知識知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為p，那么n支燈管估計需要更換np支，若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，試估計一年內(nèi)需更換的數(shù)量；
(3)若只考慮燈的成本和消耗電費，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號的節(jié)能燈，請說明理由．
解析：(1)由題圖可知，各組中值依次為3 100,3 300，3 500，3 700，對應(yīng)的頻率依次為0.1,0.3,0.4,0.2，故B型節(jié)能燈的平均使用壽命為3 100×0.1＋3 300×0.3＋3 500×0.4＋3 700×0.2＝3 400(小時)．
(2)由題圖可知，使用壽命不超過3 600小時的頻率為0.8，將頻率視為概率，每支燈管需要更換的概率為0.8，故估計一年內(nèi)5支B型節(jié)能燈需更換5×0.8＝4(支)．
(3)若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費5×120＋3 600×5×20×0.75×10－3＝870(元)；
若選擇B型節(jié)能燈，一年共需花費(5＋4)×25＋3 600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．
因為967.5＞870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈．

限時50分鐘　滿分76分
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1.

(2020·吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案，它形象地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化、相對統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被y＝3sinx的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，如圖所示，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：B　[由題意，所求事件的概率模型是一個與面積相關(guān)的幾何概型．
由圖可知，大圓的直徑等于函數(shù)y＝3sinx的周期T.
設(shè)大圓的半徑為R，則R＝＝×＝6，
則大圓面積為S1＝πR2＝36π.
兩個小圓的半徑都為1，故其面積和為S2＝π×12×2＝2π，
由幾何概型可得，所求事件的概率P＝＝.故選B.]
2．(課標(biāo)全國Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：C　[從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法：(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫)，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種，所以所求事件的概率P＝＝，故選C.]
3．(2020·?？谀M)某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課，每節(jié)課的時間為40分鐘，第一節(jié)課上課時間為7：50～8：30，課間休息10分鐘，某同學(xué)請假后返校，若他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：B　[他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為40，他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘，則他在8：50～9：00之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為10，所以他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是＝.]
4．(2019·全國Ⅲ卷)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：D　[本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價轉(zhuǎn)化的思想解題．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是.故選D.]
5．(2020·保定模擬)甲、乙、丙三名同學(xué)6次數(shù)學(xué)成績及班級平均分(單位：分)如表所示：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
95
87
92
93
87
94
乙
88
80
85
78
86
72
丙
69
63
72
71
74
74
全班
88
72
81
80
75
77
則下列說法錯誤的是(　　)
A．甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績高于班級平均水平，且較穩(wěn)定
B．乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績平均值是81.5分
C．從丙同學(xué)前4次的數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取2次，這2次中至少有1次成績超過70分的概率為
D．在6次數(shù)學(xué)成績中，乙同學(xué)成績超過班級平均分的概率為
解析：D　[由統(tǒng)計表知，甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績高于班級平均水平，且較穩(wěn)定，故A正確；乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績平均值是×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B正確；從丙同學(xué)前4次的數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取2次的所有可能情況為(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6種，至少有1次成績超過70分的情況為(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5種，故所求概率為，故C正確；在6次數(shù)學(xué)成績中，乙同學(xué)成績超過班級平均分的次數(shù)為2，所以超過班級平均分的概率為，故D不正確．故選D.]
6．(2019·濰坊三模)某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進(jìn)價為3元，銷售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷售量，如圖所示．設(shè)x為這種商品每天的銷售量，y為該商場每天銷售這種商品的利潤．從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為(　　)

A. B.
C. D.
解析：B　[當(dāng)日銷售量不少于20個時，日利潤不少于96元，其中日銷售量為20個時，日利潤為96元；日銷售量為21個時，日利潤為97元．從條形統(tǒng)計圖可以看出，日銷售量為20個的3天，日銷售量為21個的有2天．日銷售量為20個的3天，分別記為a，b，c，日銷售量為21個的2天，分別記為A，B，從這5天中任選2天，可能的情況有10種：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中選出的2天日銷售量都為21個的情況只有1種，故所求概率P＝.]
二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)
7．已知1,4,2,8，y這5個數(shù)的平均值為4，在2,0,1，y這4個數(shù)中隨機(jī)取出3個不同的數(shù)，則2是取出的3個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為________．
解析：由題意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y，得y＝5，從數(shù)2,0,1,5中隨機(jī)取出3個不同的數(shù)，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4種不同情況，其中2是取出的3個不同數(shù)的中位數(shù)的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2種，∴對應(yīng)的概率P＝＝.
答案：
8．(2019·江蘇卷)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是________．
解析：計數(shù)原理是高考考查的重點內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán)．在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，設(shè)3名男同學(xué)為A1、A2、A3,2名女同學(xué)為B1、B2，則從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10種情況．
若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6種情況，
若選出的2名學(xué)生都是女生，有B1B2共1種情況，
所以所求的概率為＝.
答案：
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
9．(2020·武漢模擬)某公司為了提高利潤，從2013年至2019年每年都對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額x(單位：萬元)與年利潤增長量y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
投資金額x/萬元
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利潤增長量y/萬元
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
(1)請用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程．如果2020年該公司計劃對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為8萬元，估計該公司在該年的年利潤增長量為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))
(2)現(xiàn)從2013年至2019年這7年中抽出兩年進(jìn)行調(diào)查，記λ＝年利潤增長量－投資金額，求這兩年都是λ＞2萬元的概率．

解析：(1)＝6，＝8.3,7 ＝348.6，

＝＝＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，
所以回歸直線方程為＝1.57x－1.13.
將x＝8代入方程得＝1.57×8－1.13＝11.43，
即該公司在該年的年利潤增長量大約為11.43萬元．
(2)由題意可知，
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
λ/萬元
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
2013年至2019年這7年分別記為1,2,3,4,5,6,7，則總的基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21種，
抽出的兩年都是λ＞2萬元的情況為(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6種，
所以抽出的兩年都是λ＞2萬元的概率P＝＝.
10．(2019·北京卷)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變，近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
　　　　支付金額
支付方式　　　　
不大于2 000元
大于2 000元
僅使用A
27人
3人
僅使用B
24人
1人
(1)估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；
(2)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2 000元的概率；
(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由．
解析：本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力．(1)由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人，
由題意知A，B兩種支付方式都不使用的有5人，
所以樣本中兩種支付方式都使用的有100－30－25－5＝40，
所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有×1 000＝400(人)．
(2)因為樣本中僅使用B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2 000元，
所以該學(xué)生上個月支付金額大于2 000元的概率為.
(3)由(2)知支付金額大于2 000元的概率為，
因為從僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元，
依據(jù)小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個月多．
答案：(1)400人　(2)　(3)見解析
11．(2020·遼寧六校協(xié)作體聯(lián)考)十九大報告指出，堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)．某幫扶單位為幫助定點扶貧村真正脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道進(jìn)行銷售．為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個蜜柚測量它們的質(zhì)量(單位：克)，其質(zhì)量分布在區(qū)間[1 500,3 000]內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如圖所示．

(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[1 750,2 000)，[2 000，2 250)內(nèi)的蜜柚中隨機(jī)抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機(jī)抽取2個，求這2個蜜柚的質(zhì)量均小于2 000克的概率；
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5 000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：
A．所有蜜柚均以40元/千克的價格收購；
B．質(zhì)量低于2 250克的蜜柚以60元/個的價格收購，質(zhì)量高于或等于2 250克的蜜柚以80元/個的價格收購．
請你通過計算為該村選擇收益最好的方案．
解析：(1)由題意得蜜柚質(zhì)量在[1 750,2 000)內(nèi)和在[2 000，2 250)內(nèi)的比例為2∶3，
所以應(yīng)分別從質(zhì)量在[1 750,2 000)內(nèi)和在[2 000，2 250)內(nèi)的蜜柚中各抽取2個和3個．
記抽取質(zhì)量在[1 750,2 000)內(nèi)的蜜柚為A1，A2，質(zhì)量在[2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚為B1，B2，B3，
則從這5個蜜柚中隨機(jī)抽取2個的情況共有以下10種：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}．
其中2個蜜柚的質(zhì)量均小于2 000克的僅有{A1，A2}這1種情況，故所求概率為.
(2)方案A好，理由如下．
由頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在[1 500,1 750)內(nèi)的頻率為250×0.000 4＝0.1，
同理可得，蜜柚質(zhì)量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.
若按方案A收購，
根據(jù)題意可得各組蜜柚的個數(shù)依次為500,500,750，2 000，1 000,250.
則總收益為(×500＋×500＋×750＋×2 000＋×1 000＋×250)×40÷1 000＝×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4＋(11＋12)×1]×40÷1 000＝1 250×(26＋30＋51＋152＋84＋23)＝457 500(元)．
若按方案B收購，
易知蜜柚質(zhì)量低于2 250克的個數(shù)為(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，
蜜柚質(zhì)量不低于2 250的個數(shù)為5 000－1 750＝3 250.
所以總收益為1 750×60＋3 250×80＝250×20×(7×3＋13×4)＝365 000(元)．
因為457 500＞365 000，即方案A的收益比方案B的收益高，所以應(yīng)該選擇方案A.
(文)高考解答題·審題與規(guī)范(六)　概率與統(tǒng)計類考題
重在“辨析”“辨型”“辨圖”
思維流程
概率與統(tǒng)計問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要模型找到，問題便迎刃而解．而概率與統(tǒng)計模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，同時，還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗的區(qū)別，合理劃分復(fù)雜事件.

真題案例
審題指導(dǎo)
審題方法
(12分)(2018·全國卷Ⅰ)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)．得到頻數(shù)分布表如下：
未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
頻數(shù)
1
3
2
4
9
26
5
使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
頻數(shù)
1
5
13
10
16
5
(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)
(1)利用頻數(shù)計算出頻率，然后根據(jù)頻率/組距畫出頻率分布直方圖；(2)計算出日用水量小于0.35 m3的頻率即可估計概率；(3)首先計算出50天未使用節(jié)水龍頭的日用水量的平均數(shù)和使用了節(jié)水龍頭的日用水量的平均數(shù)，再求出一年能節(jié)省的水量即可.
審圖表、數(shù)據(jù)
題目中的圖表、數(shù)據(jù)包含著問題的基本信息，也往往暗示著解決問題的目標(biāo)和方向．在審題時，認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，常?？梢哉业浇鉀Q問題的思路和方法.
規(guī)范解答
評分細(xì)則
[解析]　(1)
4分①
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，8分②
因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35 m3的概率的估計值為0.48.
(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量的平均數(shù)為1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分③
該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天的日用水量的平均數(shù)為
2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.10分④
估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).12分⑤
第(1)問踩點得分
①畫出頻率分布直方圖，正確得4分，有一處正確均得1分．
第(2)問踩點得分
②正確求出使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率得4分，寫對式子得2分，計算正確再得2分．
第(3)問踩點得分
③計算出該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)，得1分．
④計算出該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)，得1分．
⑤計算結(jié)果正確得2分，結(jié)果錯誤不得分.


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