第2講　數(shù)列求和與綜合應(yīng)用

[做小題——激活思維]
1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝(　　)
A．2n　　　B．2n－1　　　C．2n　　　D．2n－1
[答案]　C
2．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝(　　)
A．9 B．8 C．17 D．16
A　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]
3．?dāng)?shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項和為，則項數(shù)n為(　　)
A．2 016 B．2 017
C．2 018 D．2 019
D　[an＝＝－，
Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 019.]
4．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為________．
2n＋1＋n2－2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]
5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝n·2n，則Sn＝________.
(n－1)2n＋1＋2　[Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.]
[扣要點——查缺補漏]
1．?dāng)?shù)列通項的求法
(1)利用an與Sn的關(guān)系
利用an＝求通項時，要注意檢驗n＝1的情況．如T1.
(2)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項的常用方法
①累加(乘)法
形如an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，可用累加法；
形如＝f(n)的數(shù)列，可用累乘法．
②構(gòu)造數(shù)列法
形如an＋1＝，可轉(zhuǎn)化為－＝，構(gòu)造等差數(shù)列；
形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)，可轉(zhuǎn)化為an＋1＋＝p構(gòu)造等比數(shù)列.
2．?dāng)?shù)列求和的常用方法
(1)倒序相加法；(2)分組求和法，如T4；(3)錯位相減法，如T5；(4)裂項相消法，如T3；(5)并項求和法，如T2.


　數(shù)列中an與Sn的關(guān)系(5年3考)

[高考解讀]　高考對該部分內(nèi)容的考查主要是an與Sn的轉(zhuǎn)化以及遞推關(guān)系式的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，難度偏大.
角度一：利用an與Sn的關(guān)系求通項an或Sn
1．[一題多解](2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.
切入點：Sn＝2an＋1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為項的關(guān)系式或和的關(guān)系式．
關(guān)鍵點：利用an與Sn的關(guān)系，借助Sn＝2an＋1構(gòu)造新數(shù)列．
－63　[法一：因為Sn＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
當(dāng)n＝5時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
當(dāng)n＝6時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
法二：因為Sn＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.]
2．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
切入點：an＋1＝SnSn＋1.
關(guān)鍵點：利用an＋1＝Sn＋1－Sn將條件轉(zhuǎn)化．
－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]
角度二：利用遞推公式求通項an
3．(2016·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
切入點：a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
關(guān)鍵點：利用a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0判斷出數(shù)列{an}的性質(zhì)．
[解]　(1)由題意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝.
[教師備選題]
1．(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________.
　[∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.]
2．(2014·湖南高考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．
[解]　(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
當(dāng)n＝1時，a1＝1也適合上式．
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則
T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則
A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，
故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.


由含an與Sn的關(guān)系式求an，應(yīng)注意以下3點
(1)注意分n＝1和n≥2兩種情況處理，特別要注意使用an＝Sn－Sn－1時需n≥2；
(2)由Sn－Sn－1＝an(n≥2)推得an，當(dāng)n＝1時，a1也符合“an式”，則需“合寫”通項公式；
(3)由Sn－Sn－1＝an(n≥2)推得an，當(dāng)n＝1時，a1不符合“an式”，則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示，即an＝

1．(由an與Sn之間的關(guān)系式求an)(2019·合肥質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝(　　)
A．22 018－1　 B．32 018－6
C.2 018－ D.2 018－
A　[∵3Sn＝2an－3n，∴當(dāng)n＝1時，3S1＝3a1＝2a1－3，∴a1＝－3.當(dāng)n≥2時，3an＝3Sn－3Sn－1＝(2an－3n)－(2an－1－3n＋3)，∴an＝－2an－1－3，∴an＋1＝－2(an－1＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n，∴an＝(－2)n－1，
∴a2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故選A.]
2．(由an與Sn的關(guān)系求an)數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
an＝　[由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，
得a1＋a2＋a3＋…＋an＋an＋1＝2(n＋1)＋1，
兩式相減，得an＋1＝2，即an＝2n＋1(n≥2)．
又a1＝3，即a1＝6，不符合上式，
所以an＝]
3．(綜合應(yīng)用)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn.
[解]　(1)由已知Sn＝2an－a1，
有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．
從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.
所以，數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
故an＝2n.
(2)由(1)得＝.
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
　數(shù)列的求和問題(5年2考)

[高考解讀]　高考對數(shù)列求和的考查主要是等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.而對于裂項相消法和錯位相減法求和的要求較低，考查頻率也較低.
角度一：裂項相消法求和
1．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
切入點：利用a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n求an.
關(guān)鍵點：將分裂為兩項的差．
[解]　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
兩式相減得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式，
所以{an}的通項公式為an＝.
(2)記的前n項和為Sn.
由(1)知＝＝－，
則Sn＝－＋－＋…＋－＝.
角度二：錯位相減法求和
2．(2014·全國卷Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
切入點：①a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根；
②{an}是遞增的等差數(shù)列．
關(guān)鍵點：根據(jù)題目條件正確求出{an}的通項公式；用錯位相減法求和．
[解]　(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，
由題意得a2＝2，a4＝3.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，
從而a1＝.
所以{an}的通項公式為an＝n＋1.
(2)設(shè)的前n項和為Sn.由(1)知＝，則
Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
兩式相減得
Sn＝＋－
＝＋－.
所以Sn＝2－.
[教師備選題]
1．(2016·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
[解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
由題意有解得
所以{an}的通項公式為an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
當(dāng)n＝1,2,3時，1≤＜2，bn＝1；
當(dāng)n＝4,5時，2≤＜3，bn＝2；
當(dāng)n＝6,7,8時，3≤＜4，bn＝3；
當(dāng)n＝9,10時，4≤＜5，bn＝4.
所以數(shù)列{bn}的前10項和為1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
2．(2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項和(n∈N*)．
[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.
又因為q>0，所以q＝2.
所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n－2.
所以，數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n.
(2)設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項和為Tn.由a2n＝6n－2，
得Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.
上述兩式相減，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16，
所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以，數(shù)列{a2nbn}的前n項和為(3n－4)2n＋2＋16.


1．分組求和法中分組的策略
(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組．
(2)根據(jù)正號、負號分組．
2．裂項相消法求和的規(guī)律
(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差．
(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多．
3．錯位相減法求和的關(guān)注點
(1)適用題型：等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項相乘({an·bn})型數(shù)列求和．
(2)步驟：①求和時先乘以數(shù)列{bn}的公比；
②將兩個和式錯位相減；
③整理結(jié)果形式．

1．(裂項相消法求和)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝15，a2＋a3＝5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵S5＝＝5a3＝15，∴a3＝3，
又a2＋a3＝5，∴a2＝2，∴a1＝d＝1，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
(2)由(1)知an＝n，
∴a2n－1＝2n－1，a2n＋1＝2n＋1，
∴＝＝，
∴Tn＝＋＋…＋
＝
＝
＝.
2．(錯位相減法求和)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a4＝3，a2，a3，a5成等比數(shù)列．
(1)求an；
(2)設(shè)bn＝n·2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn.
[解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，則an＝a1＋(n－1)d.
因為a2，a3，a5成等比數(shù)列，
所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，
化簡得，a1d＝0，
又d≠0，
所以a1＝0.
又a4＝a1＋3d＝3，
所以d＝1.
所以an＝n－1.
(2)bn＝n×2n－1，
Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，①
則2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②
①－②得，
－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n
＝－n×2n
＝2n(1－n)－1.
所以Tn＝2n(n－1)＋1.
3．(分組轉(zhuǎn)化法求和)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
[解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n∈N*)．
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
從而數(shù)列{cn}的前n項和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋＝n2＋.

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