限時(shí)50分鐘　滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2020·河北省六校聯(lián)考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，則cos 2α＋cos α＝(　　)A.　　　　　　　 B.C.  D.解析：B　[∵α∈(0，π)，tan α＝2，∴α在第一象限，cos α＝，cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×2－1＋＝－＋＝，選B.]2．(2020·日照模擬)已知sin 2α＝，則cos2＝(　　)A.   B.C.  D.解析：C　[∵sin 2α＝cos＝2cos2－1＝，∴cos2＝.]3．(組合型選擇題)下列式子的運(yùn)算結(jié)果為的是(　　 )①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③；　④.A．①②④  B．③④C．①②③  D．②③④解析：C　[對(duì)于①，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；對(duì)于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；對(duì)于③，＝＝tan 60°＝；對(duì)于④，＝×＝×tan＝.綜上，式子的運(yùn)算結(jié)果為的是①②③.故選C.]4．(2019·沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角分別為A，B，C，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊的高為(　　)A.   B.C.  D.解析：B　[由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得7＝AB2＋4－4ABcos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，則BC邊上的高為ABsin 60°＝，故選B.]5．(2020·廣西南寧、玉林、貴港等市摸底)在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，則△ABC的周長(zhǎng)是(　　)A．3  B．2＋C．3＋  D．4＋解析：C　[在△ABC中，sin B＝2sin A，∴由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，∴a＝1，b＝2.∴△ABC的周長(zhǎng)是a＋b＋c＝1＋2＋＝3＋.故選C.]6.(2019·保定二模)已知在河岸A處看到河對(duì)岸兩個(gè)帳篷C，D分別在北偏東45°和北偏東30°方向，若向東走30米到達(dá)B處后再次觀察帳篷C，D，此時(shí)C，D分別在北偏西15°和北偏西60°方向，則帳篷C，D之間的距離為(　　)A．10米  B．10米C．5米  D．5米解析：C　[由題意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°，在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin 60°＝，解得BD＝15.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，＝，解得BC＝10.在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，則由余弦定理得cos∠CBD＝cos 45°＝，即＝，得CD＝5.故選C.]二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7．(2020·陜西省質(zhì)量檢測(cè))在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，則△ABC的面積是________．解析：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝1－，所以＝1－，化簡(jiǎn)可得：b2＝a2＋bc－c2，可得cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝.又b＝5，·＝5，∴bccos A＝5，∴bc＝10.S＝·bcsin A＝×10×＝.答案：8．(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D在線段AC上．若∠BDC＝45°，則BD＝________，cos∠ABD＝________.解析：解答解三角形問題，要注意充分利用圖形特征．在ΔABD中，有：＝，而AB＝4，∠ADB＝，AC＝＝5，sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝，所以BD＝.cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝.答案：，三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9．(2019·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．解：(1)因?yàn)?/span>a＝3c，b＝，cos B＝，由余弦定理，得cos B＝，得＝，即c2＝.所以c＝.(2)因?yàn)?/span>＝，由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.從而cos2 B＝(2sin B)2，即cos2 B＝4(1－cos2 B)，故cos2 B＝.因?yàn)?/span>sin B＞0，所以cos B＝2sin B＞0，從而cos B＝.因此sin＝cos B＝.10．(2020·遼寧三市調(diào)研)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·.(1)求角B的大小；(2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值．解：(1)由題意得(a－c)cos B＝bcos C.根據(jù)正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，所以sin Acos B＝sin(C＋B)，即sin Acos B＝sin A.因?yàn)?/span>A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因?yàn)?/span>|－|＝，所以||＝，即b＝，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào))，即ac≤3(2＋)，故△ABC的面積S＝acsin B≤，即△ABC面積的最大值為.11.(2020·廣東六校聯(lián)考)某學(xué)校的平面示意圖為如圖五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路(不考慮寬度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km.(1)求道路BE的長(zhǎng)度．(2)求生活區(qū)△ABE面積的最大值．解析：(1)如圖，連接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝，所以BD＝，因?yàn)?/span>BC＝CD，所以∠CDB＝∠CBD＝＝，又∠CDE＝，所以∠BDE＝.在Rt△BDE中，BE＝＝.(2)設(shè)∠ABE＝α，因?yàn)?/span>∠BAE＝，所以∠AEB＝－α.在△ABE中，由正弦定理，得＝＝＝＝，所以AB＝sin，AE＝sin α.所以S△ABE＝|AB||AE|sin＝＝≤＝，因?yàn)?/span>0＜α＜，所以當(dāng)2α－＝，即α＝時(shí)，S△ABE取得最大值為，即生活區(qū)△ABE面積的最大值為.
高考解答題·審題與規(guī)范(二)  三角函數(shù)與解三角形類考題重在“變換”思維流程[變角]　已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運(yùn)用．[變式]　在解決解三角形的問題時(shí)，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等.真題案例審題指導(dǎo)審題方法(12分)(2019·全國(guó)Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin＝bsin A．(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍.(1)利用正弦定理將已知條件統(tǒng)一成角的關(guān)系，再用誘導(dǎo)公式、二倍角公式變形化簡(jiǎn)，解出角的正弦值，從而得角B.(2)結(jié)合(1)及已知，把三角形面積表示成a的函數(shù)，再利用正弦定理將a表示為角C的三角函數(shù)，注意到銳角三角形及角B的大小，確定角C的范圍，進(jìn)而得解.條件是解題的主要材料，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路．審視條件要充分挖掘每一個(gè)條件的內(nèi)涵和隱含信息，發(fā)掘條件的內(nèi)在聯(lián)系.規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則[解析]　(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．1分①因?yàn)?/span>sin A≠0，所以sin＝sin B．2分②由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.3分③因?yàn)?/span>cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.5分④(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a.6分⑤由正弦定理得a＝＝＝＋.8分⑥由于△ABC為銳角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，10分⑦故＜a＜2，11分⑧從而＜S△ABC＜.因此，△ABC面積的取值范圍是.12分⑨第(1)問踩點(diǎn)得分①正確利用正弦定理得1分．②sin A≠0正確化簡(jiǎn)得1分．③利用A＋B＋C＝180°，恒等變形得1分．④cos≠0得sin＝得1分；進(jìn)而求出B得1分．第(2)問踩點(diǎn)得分．⑤表示出S△ABC得1分．⑥利用正弦定理并能表示出a得2分．⑦利用銳角△和B＝60°，得出C的范圍得2分．⑧由C的范圍得出a的范圍得1分．⑨求出S△ABC的范圍得1分.  

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