2020屆高考數學二輪教師用書：層級二專題六（理）第2講　計數原理　二項式定理-教案下載-教習網

熱點三　二項式定理的應用與特定項有關的問題[例2－1]　(1)(2020·揭陽模擬)已知(x＋1)5的展開式中常數項為－40，則a的值為(　　)A．2　　　　　　　　　　 B．－2C．±2 D．4[解析]　C　[5展開式的通項公式為Tk＋1＝C(ax)5－kk＝(－1)ka5－kCx5－2k，令5－2k＝－1，可得k＝3，結合題意可得(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40，∴a＝±2.](2)(2019·漢中二模)5的展開式中整理后的常數項為________．[解析]　5＝10的通項公式：Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r，令5－r＝0，解得r＝5.所以常數項＝C＝252.[答案]　252展開式中系數的和[例2－2]　(1)(2020·德州調研)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數次冪的項的系數之和為32，則a＝________.[解析]　設(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.[答案]　3(2)(2019·寧夏二模)已知(ax＋b)6的展開式中含x4項的系數與含x5項的系數分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項系數之和為(　　)A．－1 B．1C．32 D．64[解析]　D　[由二項展開式的通項公式可知含x4項的系數為Ca4b2，含x5項的系數為Ca5b，則由題意可得解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項的系數之和為(a＋b)6＝64，故選D.]與二項式定理有關的類型及解法類型解法求特定項或其系數常采用通項公式分析求解系數的和或差常用賦值法近似值問題利用展開式截取部分項求解整除(或余數)問題利用展開式求解(1)(2019·石家莊二模)設a＝sin xdx，則6的展開式中常數項是(　　)A．－160 B．160C．－20 D．20解析：A　[依題意得，a＝＝－(cos π－cos 0)＝2，6＝6的展開式的通項Tr＋1＝C·(2)6－rr＝C·26－r·(－1)r·x3－r.令3－r＝0，得r＝3.因此6的展開式中的常數項為C×23×(－1)3＝－160，故選A.](2)(2019·蘭州二模)已知(x2＋2x＋3y)5的展開式中x5y2的系數為(　　)A．60 B．180C．520 D．540解析：D　[(x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個y，有C種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有C·C種選法；所以x5y2的系數為32C·C·2·C＝540.](3)(2019·煙臺三模)若將函數f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則a3＝________.解析：f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通項為Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.答案：10 限時40分鐘　滿分80分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．(2020·濟寧模擬)從4臺甲型裝載機和5臺乙型裝載機中任意取出3臺，在取出的3臺中至少有甲型和乙型裝載機各一臺，則不同的取法共有(　　)A．84種　　　　　　　　 B．80種C．70種 D．35種解析：C　[根據題意可分為以下2種情況進行考慮：(1)甲型裝載機2臺和乙型裝載機1臺，取法有CC＝30種；(2)甲型裝載機1臺和乙型裝載機2臺，取法有CC＝40種．所以不同的取法共有30＋40＝70種．]2．(2019·唐山二模)用兩個1，一個2，一個0可組成不同四位數的個數是(　　)A．18 B．16C．12 D．9解析：D　[若把兩個1看作不同的數，先安排0有3種情況，安排第2個數有3種情況，安排第3個數有2種情況，安排第4個數有1種情況，一共有3×3×2×1＝18種情況，由于有兩個1，所以其中一半重復，故有9個四位數．]3．(全國卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數為(　　)A．－80 B．－40C．40 D．80解析：C　[由(2x－y)5展開式的通項公式：Tr＋1＝C(2x)5－r(－y)r可得：當r＝3時，x(2x－y)5展開式中x3y3的系數為C×22×(－1)3＝－40當r＝2時，y(2x－y)5展開式中x3y3的系數為C×23×(－1)2＝80，則x3y3的系數為80－40＝40.本題選擇C選項．]4．(2020·合肥調研)用數字0,1,2,3,4組成沒有重復數字且大于3 000的四位數，這樣的四位數有(　　)A．250個 B．249個C．48個 D．24個解析：C　[①當千位上的數字為4時，滿足條件的四位數有A＝24(個)；②當千位上的數字為3時，滿足條件的四位數有A＝24(個)．由分類加法計數原理得所有滿足條件的四位數共有24＋24＝48(個)，故選C.]5．(2020·龍巖模擬)若n的展開式中只有第7項的二項式系數最大，則展開式中含x2項的系數是(　　)A．－462 B．462C．792 D．－792解析：D　[∵n的展開式中只有第7項的二項式系數最大，∴n為偶數，展開式共有13項，則n＝12.12的展開式的通項公式為Tk＋1＝(－1)kC·x12－2k，令12－2k＝2，即k＝5.∴展開式中含x2項的系數是(－1)5C＝－792.]6．(2019·渭南二模)已知n(n∈N*)展開式中所有項的系數的和為243，則該展開式中含項的系數為(　　)A．20 B．－20C．640 D．－640解析：A　[∵n(n∈N*)展開式中所有項的系數的和為3n＝243，∴n＝5，故n＝5，它的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－1)r·45－r·x－.令－＝－2，得r＝4，∴展開式中含項的系數為C×4＝20.]7．現有12張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各3張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同的取法種數是(　　)A．135 B．172C．189 D．162解析：C　[由題意，不考慮特殊情況有C種取法，其中每一種卡片各取3張有4種取法，兩張紅色卡片共有CC種取法，故所求的取法種數為C－4－CC＝189，選C.]8．(2020·惠州二調)某地實行高考改革，考生除參加語文、數學、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學生甲要想報考某高校的法學專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數為(　　)A．6 B．12C．18 D．19解析：D　[在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種．所以學生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)，故選D.]9．(2020·成都診斷)已知x5(x＋3)3＝a8(x＋1)8＋a7(x＋1)7＋…＋a1(x＋1)＋a0，則7a7＋5a5＋3a3＋a1＝(　　)A．－16 B．－8C．8 D．16解析：B　[對x5(x＋3)3＝a8(x＋1)8＋a7(x＋1)7＋…＋a1(x＋1)＋a0兩邊求導，得5x4(x＋3)3＋3x5(x＋3)2＝8a8(x＋1)7＋7a7(x＋1)6＋…＋a1，令x＝0，得0＝8a8＋7a7＋…＋a1，令x＝－2，得5×(－2)4×(－2＋3)3＋3×(－2)5×(－2＋3)2＝－8a8＋7a7＋…－2a2＋a1，兩式左右分別相加，得－16＝2(7a7＋5a5＋3a3＋a1)，即7a7＋5a5＋3a3＋a1＝－8，選B.]10．(2020·鄭州模擬)5位大學畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，則不同的分配方法共有(　　)A．25種 B．60種C．90種 D．150種解析：D　[因為5位大學畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，所以共有兩種方法：一，一個單位1名，其他兩個單位各2名，有×A＝90(種)分配方法；二，一個單位3名，其他兩個單位各1名，有C×A＝60(種)分配方法，共有90＋60＝150(種)分法，故選D.]11．(2019·江西上饒三模)已知m＝3cosdx，則(x－2y＋3z)m的展開式中含xm－2yz項的系數等于(　　)A．180 B．－180C．－90 D．15解析：B　[由于m＝3cosdx＝3sin xdx＝(－3cos x) ＝6，所以(x－2y＋3z)m＝(x－2y＋3z)6＝[(x－2y)＋3z]6，其展開式的通項為C(x－2y)6－k(3z)k，當k＝1時，展開式中才能含有x4yz項，這時(x－2y)5的展開式的通項為C·x5－S(－2y)S，當S＝1時，含有x4y項，系數為－10，故(x－2y＋3z)6的展開式中含x4yz項的系數為C·(－10)×3＝－180.]12．(2019·濰坊三模)為迎接建國七十周年，某校舉辦了“祖國，你好”的詩歌朗誦比賽．該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內的7名學生中選派4名學生參加，要求甲、乙、丙這3名同學中至少有1人參加，且當這3名同學都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學生中不同的朗誦順序的種數為(　　)A．720 B．768C．810 D．816解析：B　[由題意知結果有三種情況．(1)甲、乙、丙三名同學全參加，有CA＝96(種)情況，其中甲、乙相鄰的有CAA＝48(種)情況，所有當甲、乙、丙三名同學全參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰的有96－48＝48(種)情況；(2)甲、乙、丙三名同學恰有一人參加，不同的朗誦順序有CCA＝288(種)情況；(3)甲、乙、丙三名同學恰有二人參加時，不同的朗誦順序有CCA＝432(種)情況．則選派的4名學生不同的朗誦順序有288＋432＋48＝768(種)情況，故選B.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．從1,3,5,8,9中任取3個數字，從0,2,7,6中任取2個數字，一共可以組成________個沒有重復數字的五位數．(用數字作答)解析：CCA＋CCCA＝3 600＋2 160＝5 760.答案：5 76014．(2019·天水二模)(1＋x)(1－x)6的展開式中，x3的系數是________．(用數字作答)解析：由題意可知，(1－x)6展開式的通項為Tr＋1＝C·16－r·(－x)r＝(－1)rC·xr，則(1＋x)(1－x)6的展開式中，含x3的項為(－1)3Cx3＋x·(－1)2Cx2＝－20x3＋15x3＝－5x3，所以x3的系數是－5.答案：－515．(2019·浙江卷)在二項式(＋x)9的展開式中，常數項是________，系數為有理數的項的個數是________．解析：此類問題解法比較明確，首要的是要準確記憶通項公式，特別是“冪指數”不能記混，其次，計算要細心，確保結果正確．(＋x)9的通項為Tr＋1＝C()9－rxr(r＝0,1,2…9)可得常數項為T1＝C()9＝16，因系數為有理數，r＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5個項．答案：16　516．(2020·甘肅模擬)根據黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業(yè)經濟部門決定派出五位相關專家對三個貧困地區(qū)進行調研，每個地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數為________(用數字作答)．解析：由題意可知，可分為兩類：一類：甲乙在一個地區(qū)時，剩余的三位分為兩組，再三組派遣到三個地區(qū)，共有CA＝18種不同的派遣方式；另一類：甲乙和剩余的三人中的一個人同在一個地區(qū)，另外兩人分別在兩個地區(qū)，共有CA＝18種不同的派遣方式；由分類加法計數原理可得，不用的派遣方式共有18＋18＝36種不同的派遣方式．答案：36