第3講　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(5年3考)

[高考解讀]　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是每年高考的熱點(diǎn)，主要考查“輔助函數(shù)法”證明不等式，難度較大.
(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，－1)處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)＋e≥0.
切入點(diǎn)：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)．
關(guān)鍵點(diǎn)：正確構(gòu)造函數(shù)， 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決．
[解]　(1)f′(x)＝，f′(0)＝2.
因此曲線y＝f(x)在(0，－1)處的切線方程是2x－y－1＝0.
(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.
令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，則g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增．所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f(x)＋e≥0.
[教師備選題]
1．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－x＋1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)證明當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1＜＜x；
(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1＋(c－1)x＞cx.
[解]　(1)由題設(shè)知，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．
(2)由(1)知，f(x)在x＝1處取得最大值，
最大值為f(1)＝0.
所以當(dāng)x≠1時(shí)，ln x＜x－1.
故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，ln x＜x－1，ln＜－1，
即1＜＜x.
(3)證明：由題設(shè)c＞1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
則g′(x)＝c－1－cxln c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
當(dāng)x＜x0時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞x0時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞0.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1＋(c－1)x＞cx.
2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a0，
故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
若a0；
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)1時(shí)，f(x)＝mex－ln x－1>ex－ln x－1，
要證明f(x)>1，只需證明ex－ln x－2>0，
設(shè)g(x)＝ex－ln x－2，則g′(x)＝ex－(x>0)，
設(shè)h(x)＝ex－(x>0)，則h′(x)＝ex＋>0，
所以函數(shù)h(x)＝g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
因?yàn)間′＝e－20，
所以函數(shù)g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上有唯一零點(diǎn)x0，且x0∈，
因?yàn)間′(x0)＝0，所以ex0＝，即ln x0＝－x0，
當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)0，
所以當(dāng)x＝x0時(shí)，g(x)取得最小值g(x0)，
故g(x)≥g(x0)＝ex0－ln x0－2＝＋x0－2>0，
綜上可知，若m∈(1，＋∞)，則f(x)>1.
2．(求單調(diào)區(qū)間和極值、證明不等式)已知函數(shù)f(x)＝ex－3x＋3a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求證：當(dāng)a>ln ，且x>0時(shí)，>x＋－3a.
[解]　(1)由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，
令f′(x)＝0，得x＝ln 3，
于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，ln 3)
ln 3
(ln 3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

3(1－ln 3＋a)

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 3)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 3，＋∞)，
f(x)在x＝ln 3處取得極小值，極小值為f(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)．
(2)證明：待證不等式等價(jià)于ex>x2－3ax＋1，
設(shè)g(x)＝ex－x2＋3ax－1，
于是g′(x)＝ex－3x＋3a.
由(1)及a>ln ＝ln 3－1知，g′(x)的最小值為g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)>0.
于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當(dāng)a>ln ＝ln 3－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)．
而g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex>x2－3ax＋1，
故>x＋－3a.
　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)問(wèn)題(5年3考)

[高考解讀]　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題也是高考的熱點(diǎn)，主要考查分離參數(shù)法及最值法的應(yīng)用.考查考生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍.
切入點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求f′(x)．
關(guān)鍵點(diǎn)：將f(x)≥0恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于或等于0.
[解]　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，則f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．
②若a＞0，則由f′(x)＝0得x＝ln a.
當(dāng)x∈(－∞，ln a)時(shí)，f′(x)＜0；
當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，
在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
③若a0，則由(1)得，當(dāng)x＝ln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)＝－a2ln a，
從而當(dāng)且僅當(dāng)－a2ln a≥0，即0＜a≤1時(shí)，f(x)≥0.
③若a0，求a的取值范圍．
[解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
當(dāng)a＝4時(shí)，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.
故曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為2x＋y－2＝0.
(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞0等價(jià)于ln x－＞0.
設(shè)g(x)＝ln x－，
則g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①當(dāng)a≤2，x∈(1，＋∞)時(shí)，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此g(x)＞0；
②當(dāng)a＞2時(shí)，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故當(dāng)x∈(1，x2)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)單調(diào)遞減，因此g(x)＜0.
綜上，a的取值范圍是(－∞，2]．


解決不等式恒成立問(wèn)題的兩種方法
(1)分離參數(shù)法：若能夠?qū)?shù)分離，且分離后含x變量的函數(shù)關(guān)系式的最值易求，則用分離參數(shù)法., 即：①λ≥f(x)恒成立，則λ≥f(x)max.,②λ≤f(x)恒成立，則λ≤f(x)min.
(2)最值轉(zhuǎn)化法：若參數(shù)不易分離或分離后含x變量的函數(shù)關(guān)系式的最值不易求，則常用最值轉(zhuǎn)化法，可通過(guò)求最值建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解.如f(x)≥0，則只需f(x)min≥0.

1．(恒成立問(wèn)題)已知函數(shù)f(x)＝xln x(x>0)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．
[解]　(1)由題意知f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)>0，得x>，令f′(x)1，由g′(x)0；當(dāng)0h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒(méi)有實(shí)根．
綜上，g(x)＝0在R上有唯一實(shí)根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn)．
2．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)證明：當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)≥2a＋aln.
[解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)u(x)＝e2x，v(x)＝－，
因?yàn)閡(x)＝e2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，v(x)＝－在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
又f′(a)>0，當(dāng)b滿足0

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