2020江蘇高考理科數(shù)學(xué)二輪講義：專題七第1講　空間向量與立體幾何

第1講　空間向量與立體幾何 [2019考向?qū)Ш?/span>]考點(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測(cè)2019201820171．證明平行或垂直   江蘇高考對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查是解答題，一般在試卷第22題位置，以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的證明、空間角的計(jì)算．2．求空間角 第22題第22題1．異面直線所成的角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝(其中φ為異面直線a，b所成的角)．2．直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝．3．二面角的求法(1)如圖1，AB、CD是二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖2、3，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．證明平行或垂直[典型例題] (2019·泉州模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：B1F⊥平面AEF．【證明】　以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A-xyz，令AB＝AA1＝4，則A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B1(4，0，4)，D(2，0，2)，A1(0，0，4)．(1)＝(－2，4，0)，平面ABC的法向量為＝(0，0，4)，因?yàn)?/span>·＝0，DE?平面ABC，所以DE∥平面ABC．(2)＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，所以⊥，所以B1F⊥EF，·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，所以⊥，所以B1F⊥AF．因?yàn)?/span>AF∩EF＝F，所以B1F⊥平面AEF．證明線線垂直，只要證明它們的方向向量數(shù)量積為0；證明線面平行只要證明直線的方向向量與平面內(nèi)一條直線的方向向量共線或者證明直線的方向向量與平面內(nèi)一條法向量垂直即可．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．(1)在AB上是否存在點(diǎn)D使得AC1⊥CD；(2)在AB上是否存在點(diǎn)D使得AC1∥平面CDB1．[解] 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，(1)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D，使得AC1⊥CD，則＝λ＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，則D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0)，由于＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD，所以－9＋9λ＝0得λ＝1，所以在AB上存在點(diǎn)D使得AC1⊥CD，且這時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合．(2)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D使得AC1∥平面CDB1，則＝λ＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，則D(3－3λ，4λ，0)，＝(3－3λ，4λ－4，－4)，又＝(0，－4，－4)．由于＝(－3，0，4)，AC1∥平面CDB1，所以存在實(shí)數(shù)m，n使＝m＋n成立，所以m(3－3λ)＝－3，m(4λ－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，所以λ＝，所以在AB上存在點(diǎn)D，使得AC1∥平面CDB1，且這時(shí)D為AB的中點(diǎn)． 求空間角[典型例題] (2018·高考江蘇卷)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．【解】　如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，連結(jié)OB，OO1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．因?yàn)?/span>AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．(1)因?yàn)?/span>P為A1B1的中點(diǎn)，所以P，從而＝，＝(0，2，2)，故|cos〈，〉|＝＝＝．因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．(2)因?yàn)?/span>Q為BC的中點(diǎn)，所以Q，因此＝，＝(0，2，2)，＝(0，0，2)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面AQC1的法向量，則即不妨取n＝(，－1，1)．設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．(1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．(2)求空間角注意：①兩條異面直線所成的角α不一定是直線的方向向量的夾角β，即cos α＝|cos β|．②兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]2．(2017·高考江蘇卷)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°．(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．[解] 在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E．因?yàn)?/span>AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD．如圖，以{，，}為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz．因?yàn)?/span>AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，則A(0，0，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1)．(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)．則cos〈，〉＝＝＝－．因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為．(2)平面A1DA的一個(gè)法向量為＝(，0，0)．設(shè)m＝(x，y，z)為平面BA1D的一個(gè)法向量，又＝(，－1，－)，＝(－，3，0)，則即不妨取x＝3，則y＝，z＝2，所以m＝(3，，2)為平面BA1D的一個(gè)法向量，從而cos〈，m〉＝＝＝．設(shè)二面角B－A1D－A的大小為θ，則|cos θ|＝．因?yàn)?/span>θ∈[0，π]，所以sin θ＝ ＝．因此二面角B－A1D－A的正弦值為．1．(2019·姜堰中學(xué)開(kāi)學(xué)檢測(cè))如圖，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：AE⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-D的余弦值．[解] (1)證明：分別以、、為x軸、y軸、z軸的正方向；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系；則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，E，所以＝，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)．因?yàn)?/span>·＝0，·＝0，所以⊥，⊥，即AE⊥BC，AE⊥BP，而BC、BP?平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC．(2)設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，而＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，則由??取y＝1，x＝2，z＝3，即n＝(2，1，3)．又由(1)AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量，而＝．所以cos〈，n〉＝＝＝，即與n的夾角的余弦值為．故由圖形可知，二面角B-PC-D的余弦值為－．2．(2019·鹽城中學(xué)期末檢測(cè))如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中點(diǎn)．(1)求證：A1B⊥AM；(2)求二面角B-AM-C的平面角的大?。?/span>[解] (1)證明：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB，CA，CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示，則B(1，0，0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M．所以＝(1，－，－)，＝．因?yàn)?/span>·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM．(2)因?yàn)?/span>ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC．因?yàn)?/span>∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC．所以是平面AMC的一個(gè)法向量，＝(1，0，0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面BAM的一個(gè)法向量，＝(－1，，0)，＝．由得令z＝2，得x＝，y＝，所以n＝(，，2)．因?yàn)?/span>||＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝．因此二面角B-AM-C的大小為45°．3．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，F為D1E上的一點(diǎn)，D1F＝2FE．(1)證明：平面DFC⊥平面D1EC；(2)求二面角A-DF-C的大小．[解] (1)證明：以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)．因?yàn)?/span>E為AB的中點(diǎn)，所以E(1，1，0)．因?yàn)?/span>D1F＝2FE，所以＝＝(1，1，－2)＝，＝＋＝(0，0，2)＋＝．設(shè)n＝(x，y，z)是平面DFC的法向量，則所以取x＝1，得平面DFC的一個(gè)法向量為n＝(1，0，－1)．設(shè)p＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，則所以取y1＝1，得平面D1EC的一個(gè)法向量為p＝(1，1，1)．因?yàn)?/span>n·p＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0，所以平面DFC⊥平面D1EC．(2)設(shè)q＝(x′，y′，z′)是平面ADF的法向量，則所以取y′＝1，得平面ADF的一個(gè)法向量為q＝(0，1，－1)，設(shè)二面角A-DF-C的平面角為θ，由題知θ∈(90°，180°)，則cos θ＝－＝－＝－，所以二面角A-DF-C的大小為120°．4．(2019·蘇州調(diào)研)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E為BC中點(diǎn)．(1)求證：C1D⊥D1E；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由；(3)若二面角B1－AE－D1的大小為90°，求AD的長(zhǎng)．[解] (1)證明：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)AD＝a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，1，0)，B1(a，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E，所以＝(0，－1，－1)，＝，所以·＝0，所以C1D⊥D1E．(2)設(shè)＝h，則M(a，0，h)，所以＝(0，－1，h)，＝，＝(－a，0，1)，設(shè)平面AD1E的法向量為n＝(x，y，z)，則，所以平面AD1E的一個(gè)法向量為n＝(2，a，2a)，因?yàn)?/span>BM∥平面AD1E，所以⊥n，即·n＝2ah－a＝0，所以h＝．即在AA1上存在點(diǎn)M，使得BM∥平面AD1E，此時(shí)＝．(3)連結(jié)AB1，B1E，設(shè)平面B1AE的法向量為m＝(x′，y′，z′)，＝，＝(0，1，1)，則，所以平面B1AE的一個(gè)法向量為m＝(2，a，－a)．因?yàn)槎娼?/span>B1－AE－D1的大小為90°，所以m⊥n，所以m·n＝4＋a2－2a2＝0，因?yàn)?/span>a>0，所以a＝2，即AD＝2．