2020江蘇高考理科數(shù)學二輪講義：專題七第2講　曲線與方程、拋物線

第2講　曲線與方程、拋物線 [2019考向?qū)Ш?/span>]考點掃描三年考情考向預測201920182017拋物線的綜合問題   　　2016年江蘇高考第22題考了拋物線，近八年只考查兩次，多以空間向量與離散型隨機變量的分布列交替考查，但復習時仍要關(guān)注，試題背景主要是對拋物線的切線、定點、定值、范圍等方面的探求．1．求曲線的方程是解析幾何的兩大基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標互化”將其轉(zhuǎn)變?yōu)閷で笞兞块g的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程時的作用，只要動點滿足已知曲線的定義時，就可以直接得出其方程；軌跡方程問題也是高考的一個重點．2．曲線的方程的應(yīng)用，如參數(shù)的選取，相關(guān)點的變化規(guī)律及限制條件等；求軌跡方程的基本步驟，注意純粹性及完備性．3．平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F為拋物線的焦點，定直線l為拋物線的準線．定點F不在定直線l上．4．求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線的標準方程．因為拋物線標準方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù)p，因此要做到“先定位，再定值”．5．拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)性質(zhì)焦點范圍對稱性頂點離心率準線通徑Fx≥0關(guān)于x軸對稱原點e＝1x＝－2p曲線與方程[典型例題] 設(shè)圓C：(x－1)2＋y2＝1，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程．【解】　如圖所示．法一：直接法．設(shè)OQ為過O點的一條弦，P(x，y)為其中點，則CP⊥OQ．因為OC的中點為M，故|MP|＝|OC|＝，得方程＋y2＝，由圓的范圍知0<x≤1．法二：定義法．因為∠OPC＝90°，所以動點P在以點M為圓心，OC為直徑的圓上，由圓的方程得＋y2＝(0<x≤1)．法三：代入法．設(shè)Q(x1，y1)，則?又因為(x1－1)2＋y＝1，所以(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)．即＋y2＝(0<x≤1)．法四：參數(shù)法．設(shè)動弦OQ的方程為y＝kx，代入圓的方程得(x－1)2＋k2x2＝1．即(1＋k2)x2－2x＝0，所以x＝＝，y＝kx＝，消去k即可得到(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)，即＋y2＝(0<x≤1)．按動點的特點求軌跡方程一般有下列幾種方法：(1)條件直譯法(直接法)基本思想：根據(jù)形成軌跡的幾何條件和圖形性質(zhì)，直接寫出所求動點坐標滿足的關(guān)系，即題設(shè)中有明顯的等量關(guān)系的，或可用平面幾何知識推出等量關(guān)系的，可用直譯法．(2)定義法定義法求軌跡有兩種類型，一是若能確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出軌跡方程；二是動點的軌跡與圓錐曲線有關(guān)，則可運用圓錐曲線的定義求出動點的軌跡方程．(3)相關(guān)點代入法(代入法)基本思想：如果所求軌跡中的動點，隨著另一動點的運動而運動，而另一動點又在某一條已知曲線：C：f(x，y)＝0上運動．此類問題常設(shè)法利用軌跡中的動點坐標(x，y)，表示已知曲線上的動點坐標(x1，y1)，再將它代入已知曲線C的方程f(x，y)＝0即可．(4)參數(shù)法基本思想：有時很難直接找出動點的坐標滿足的關(guān)系，可借助中間變量——參數(shù)，建立動點坐標x、y之間的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到曲線方程．使用參數(shù)法求軌跡方程的關(guān)鍵是選擇恰當?shù)膮?shù)和如何消去參數(shù)．解題的一般步驟為：引入?yún)?shù)——建立參數(shù)方程——消去參數(shù)，得到一個等價的普通方程．[對點訓練]1．(2019·鎮(zhèn)江期末檢測)已知A為曲線C：4x2－y＋1＝0上的動點，定點M(－2，0)，若＝2，求動點T的軌跡方程．[解] 設(shè)T(x，y)，A(x0，y0)，則4x－y0＋1＝0，①又M(－2，0)，由＝2得(x－x0，y－y0)＝2(－2－x，0－y)，所以x0＝3x＋4，y0＝3y，代入①式得4(3x＋4)2－3y＋1＝0，即為所求軌跡方程． 拋物線的綜合問題[典型例題] 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0)．(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q．①求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)；②求p的取值范圍．【解】　(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為，由點在直線l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4．所以拋物線C的方程為y2＝8x．(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點M(x0，y0)．因為點P和Q關(guān)于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1，則可設(shè)其方程為y＝－x＋b．①證明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0．(*)因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以y1≠y2，從而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化簡得p＋2b>0．方程(*)的兩根為y1，2＝－p ± ，從而y0＝＝－p．因為M(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p．因此，線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)．②因為M(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p．由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<．因此，p的取值范圍是．對于直線與拋物線相交、相切、中點弦、焦點弦問題，以及定值、存在性問題的處理，最好是作出草圖，由圖象結(jié)合幾何性質(zhì)做出解答．并注意“設(shè)而不求”“整體代入”的靈活應(yīng)用．在解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)．[對點訓練]2．(2019·蘇北四市模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，過點M(0，－2)作拋物線的切線MA，切點為A(異于點O)．直線l過點M與拋物線交于兩點B，C，與直線OA交于點N．(1)求拋物線的方程；(2)試問：＋的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．[解] (1)由題設(shè)知，－＝－，即p＝，所以拋物線的方程為y2＝x．(2)因為函數(shù)y＝－的導函數(shù)為y′＝－，設(shè)A(x0，y0)，則直線MA的方程為y－y0＝－(x－x0)，因為點M(0，－2)在直線MA上，所以－2－y0＝－×(－x0)，即y0＝－2－．聯(lián)立解得A(16，－4)．所以直線OA的方程為y＝－x．設(shè)直線BC方程為y＝kx－2，由得k2x2－(4k＋1)x＋4＝0，所以xB＋xC＝，xBxC＝．由得xN＝．所以＋＝＋＝xN·＝·＝·＝2，故＋為定值2．1．如圖，圓O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4．過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N為切點)，使得PM＝PN．試建立平面直角坐標系，并求動點P的軌跡方程．[解] 以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的坐標系，則O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知PM＝PN，所以PM2＝2PN2．又因為兩圓的半徑均為1，所以PO－1＝2(PO－1)．設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33．所以所求動點P的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．2．(2019·江蘇名校聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，如圖，過點(0，3)的直線與拋物線交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點D，若AF＋BF＝6，求點D的橫坐標．[解] 由題意知，拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線為x＝－1，設(shè)AB的中點為H，A，B，H在準線上的射影分別為A′，B′，H′，連結(jié)AA′，BB′，HH′，則HH′＝(AA′＋BB′)．由拋物線的定義可得，AF＝AA′，BF＝BB′，又AF＋BF＝6，所以AA′＋BB′＝6，HH′＝×6＝3，故點H的橫坐標為2．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋3(k≠0)，代入拋物線的方程，可得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，Δ＝(6k－4)2－36k2>0，解得k<且k≠0，又x1＋x2＝＝4，所以k＝－2或k＝(舍去)，則直線AB的方程為y＝－2x＋3，AB的中點為H(2，－1)，AB的垂直平分線的方程為y＋1＝(x－2)，令y＝0，得x＝4，故點D的橫坐標為4．3．(2019·南通市高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點P到準線的距離與到原點O的距離相等，拋物線的焦點為F．(1)求拋物線的方程；(2)若A為拋物線上一點(異于原點O)，點A處的切線交x軸于點B，過A作準線的垂線，垂足為點E，試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結(jié)論．[解] (1)由題意知點P到原點的距離為PO，由拋物線的定義知，點P到準線的距離等于PF，所以PO＝PF，即點P在線段OF的中垂線上，所以＝，p＝3，所以拋物線的方程為y2＝6x．(2)如圖，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)點A在x軸的上方，所以點A處切線的斜率為，所以點A處切線的方程為y－y0＝，令上式中y＝0，得x＝－y，所以點B的坐標為，又E，F，所以＝，＝，所以＝，所以FA∥BE，又AE∥FB，故四邊形AEBF為平行四邊形．再由拋物線的定義，得AF＝AE，所以平行四邊形AEBF為菱形．4．在直角坐標系xOy中，曲線C：y＝與直線l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N兩點．(1)當k＝0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM＝∠OPN？說明理由．[解] (1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．又y′＝，故y＝在x＝2處的導數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0．y＝在x＝－2處的導數(shù)值為－，C在點(－2，a)處的切線方程為y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0．故所求切線方程為x－y－a＝0和x＋y＋a＝0．(2)存在符合題意的點．證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2．將y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0．故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a．從而k1＋k2＝＋＝＝．當b＝－a時，有k1＋k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故∠OPM＝∠OPN，所以點P(0，－a)符合題意．