第4講　不等式

不等式的解法
[核心提煉]
1．一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．
2．簡單分式不等式的解法
(1)>0(0(0，則的最小值為________．
(2)(2019·金麗衢十二校高考二模)設(shè)A＝{(x，y)|x2－a(2x＋y)＋4a2＝0}，B＝{(x，y)||y|≥b|x|}，對任意的非空實數(shù)a，均有A?B成立，則實數(shù)b的最大值為________．
【解析】　(1)因為ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，
當且僅當時取等號，故的最小值是4.
(2)由x2－a(2x＋y)＋4a2＝0得y＝x2－2x＋4a，
則＝|＋－2|，
當ax＞0時，＋≥2＝4，
所以|＋－2|≥|4－2|＝2，即≥2，
當ax＜0時，＋≤－2＝－4，
所以|＋－2|≥|－4－2|＝6，即≥6，
因為對任意實數(shù)a，均有A?B成立，
即|y|≥b|x|恒成立，即≥b恒成立，
所以b≤2，
故答案為2.
【答案】　(1)4　(2)2

利用不等式求最值的解題技巧
(1)湊項：通過調(diào)整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值．
(2)湊系數(shù)：若無法直接運用基本不等式求解，可以通過湊系數(shù)后得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值．　
(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值．即化為y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值．
(4)“1”的代換：先把已知條件中的等式變形為“1”的表達式，再把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘求積，通過變形構(gòu)造和或積為定值的代數(shù)式求其最值．
[對點訓練]
1．(2019·溫州市瑞安市高考模擬)若x＞0，y＞0，則＋的最小值為________．
解析：設(shè)＝t＞0，則＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，
當且僅當t＝＝時取等號．
故答案為：－.
答案：－
2．(2018·高考江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．
解析：因為∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面積公式可得acsin 120°＝asin 60°＋csin 60°，化簡得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，則4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當c＝2a時取等號，故4a＋c的最小值為9.
答案：9

專題強化訓練
1．(2019·金華十校聯(lián)考)不等式(m－2)(m＋3)＜0的一個充分不必要條件是(　　)
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
解析：選A.由(m－2)(m＋3)＜0得－3＜m＜2，即不等式成立的等價條件是－3＜m＜2，
則不等式(m－2)(m＋3)＜0的一個充分不必要條件是(－3，2)的一個真子集，
則滿足條件是－3＜m＜0.
故選A.
2．已知關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋1)0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，則＋的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：選C.因為lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
所以x＋3y＝1，
所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，
當且僅當＝，
即x＝，y＝時，取等號．
4．若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，當兩條平行直線間的距離最小時，兩平行直線分別過點A與B，又兩平行直線的斜率為1，直線AB的斜率為－1，所以線段AB的長度就是過A、B兩點的平行直線間的距離，易得|AB|＝，即兩條平行直線間的距離的最小值是，故選B.

5．(2019·金麗衢十二校高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝(a0?aa>0，a＋b＝1，則下列不等式中正確的是(　　)
A．log3a>0 B．3a－b
log31，
所以a>1，又b>a>0，a＋b＝1，所以a0，則－t2＋t≤3，t2－t＋3≥0，解得t>0，所以t≥－2，即原不等式等價于或，解得x≤2.
答案：(－∞，2]
15．(2019·寧波市九校聯(lián)考)已知f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值為，則實數(shù)a＝________．
解析：f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a≥|(x＋－a)－(x－－a)|＋2x－2a
＝||＋2x－2a
＝＋2x－2a
≥2－2a
＝4－2a.
當且僅當＝2x，即x＝1時，上式等號成立．
由4－2a＝，解得a＝.
答案：
16．(2019·紹興市柯橋區(qū)高三模擬)若|x2＋|x－a|＋3a|≤2對x∈[－1，1]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：|x2＋|x－a|＋3a|≤2化為－2－x2≤|x－a|＋3a≤2－x2，畫出圖象，可知，其幾何意義為頂點為(a，3a)的V字型在x∈[－1，1]時，始終夾在y＝－2－x2，y＝2－x2之間，如圖1，圖2所示，

為兩種臨界狀態(tài)，首先就是圖1 的臨界狀態(tài)，此時V字形右邊邊界y＝x＋2a與y＝－2－x2相切，聯(lián)立直線方程和拋物線方程可得x2＋x＋2a＋2＝0，此時Δ＝0?1－4(2a＋2)＝0?a＝－，而圖2的臨界狀態(tài)顯然a＝0，
綜上得，實數(shù)a的取值范圍為.
答案：
17．(2019·溫州模擬)已知a，b，c∈R，若|acos2x＋bsin x＋c|≤1對x∈R成立，則|asin x＋b|的最大值為________．
解析：由題意，設(shè)t＝sin x，t∈[－1，1]，則|at2－bt－a－c|≤1恒成立，
不妨設(shè)t＝1，則|b＋c|≤1；t＝0，則|a＋c|≤1，t＝－1，則|b－c|≤1，
若a，b同號，則|asin x＋b|的最大值為
|a＋b|＝|a＋c＋b－c|≤|a＋c|＋|b－c|≤2；
若a，b異號，則|asin x＋b|的最大值為
|a－b|＝|a＋c－b－c|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2；
綜上所述，|asin x＋b|的最大值為2，
故答案為2.
答案：2
18．(2019·麗水市第二次教學質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝(a≠0)．
(1)求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)若當x∈[0，1]時，不等式f(x)≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)要使函數(shù)有意義，需4－|ax－2|≥0，即
|ax－2|≤4，|ax－2|≤4?－4≤ax－2≤4?－2≤ax≤6.
當a>0時，函數(shù)f(x)的定義域為{x|－≤x≤}；
當a1；
(2)對任意的b∈(0，1)，當x∈(1，2)時，f(x)>恒成立，求a的取值范圍．
解：(1)f(x)＝>1?x2＋1

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