1．函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想
方程思想
函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開所研究對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決.
方程思想的實(shí)質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，以求得問題的解決.
函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的，函數(shù)思想重在對(duì)問題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究，方程思想則是在動(dòng)中求解，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.
應(yīng)用1　目標(biāo)函數(shù)法求最值
【典例1】　(1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－1,0)，B(2,0)，E，F(xiàn)是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且||＝2，則·的最小值為________．
(2)已知斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為________．
(1)－3　(2)　[(1)∵E，F(xiàn)是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且||＝2，不妨設(shè)E(0，t)，F(xiàn)(0，t＋2)，則＝(0，t)－(－1,0)＝(1，t)．
＝(0，t＋2)－(2,0)＝(－2，t＋2)，
·＝t2＋2t－2.
令f(t)＝·＝(t＋1)2－3≥－3，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時(shí)取等號(hào)．即·的最小值為－3.
(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.則x1＋x2＝－t，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝，
當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝.]


目標(biāo)函數(shù)法即是把所謂目標(biāo)寫成函數(shù)形式，然后再求其值域、最值的方法.
(1)有關(guān)長(zhǎng)度、面積、體積以及數(shù)量積等的計(jì)算經(jīng)常采用目標(biāo)函數(shù)法.
(2)求值域、最值的方法，一般涉及換元法、配方法和均值不等式法以及單調(diào)性法.


【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】　已知在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝120°，C是OB的中點(diǎn)，P為弧AB上任意一點(diǎn)，且＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為________．
　[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則O(0,0)，A(2,0)，C，則＝(2,0)，＝，設(shè)P(2cos θ，2sin θ)，則λ(2,0)＋μ＝(2cos θ，2sin θ)，即解得
則λ＋μ＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋φ)，其中tan φ＝，據(jù)此可知，當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時(shí)，λ＋μ取得最大值.]
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】　一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在底面棱長(zhǎng)為2的正三棱柱的側(cè)棱上，則該直角三角形斜邊的最小值為________．
2　[如圖，三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱．AB＝2，三角形ADE為直角三角形，∠ADE＝90°.

設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，
則AD2＝4＋x2，AE2＝4＋y2，
ED2＝4＋(y－x)2.
∵AE2＝AD2＋DE2，
∴4＋y2＝4＋x2＋4＋(y－x)2，
解得y＝x＋.
∵AE2＝4＋y2＝4＋2≥4＋(2)2＝12.
∴AE≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)．
即直角三角形斜邊的最小值為2.]
應(yīng)用2　分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
【典例2】　(1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(1)(－1,1]　(2)　[(1)由cos2x－sin x＋a＝0，得a＝sin2x＋sin x－1.
問題變成求函數(shù)a＝sin2x＋sin x－1在x∈上的值域問題．
∵a＝2－，而0f(x)恒成立，則g(a)>f(x)max.
g(a)f(x)min，
g(a)

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