結論1　奇函數的最值性質
已知函數f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.1
【典例1】　設函數f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.
2　[顯然函數f(x)的定義域為R，
f(x)＝＝1＋，
設g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)為奇函數，
由奇函數圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
【鏈接高考1】　(2018·全國卷Ⅲ)已知函數f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________.
－2　[由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.]
結論2　函數周期性問題
已知定義在R上的函數f(x)，若對任意的x∈R，總存在非零常數T，使得f(x＋T)＝f(x)，則稱f(x)是周期函數，T為其一個周期.,常見的與周期函數有關的結論如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝2a.
(4)如果f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝6a.
【典例2】　已知定義在R上的函數f(x)滿足f＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝(　　)
A．－2　　　B．－1　　　C．0　　　D．1
A　[因為f＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，則f(x)的周期T＝3.
則有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＋f(2 016)－f(2 016)＝672×[f(1)＋f(2)＋f(3)]－f(2 016)＝－f(0＋3×672)＝－f(0)＝－2，故選A.]
【鏈接高考2】　[一題多解](2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0 C．2 D．50
C　[法一：因為f(1－x)＝f(1＋x)，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．因為f(x)是奇函數，所以函數f(x)的圖象關于坐標原點(0,0)中心對稱．數形結合可知函數f(x)是以4為周期的周期函數．因為f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，所以f(0)＝0.因為f(1－x)＝f(1＋x)，所以當x＝1時，f(2)＝f(0)＝0；當x＝2時，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；當x＝3時，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.綜上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故選C.
法二：取一個符合題意的函數f(x)＝2sin ，則結合該函數的圖象易知數列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數列．
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故選C.]
結論3　函數圖象的對稱性
已知函數f(x)是定義在R上的函數.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線對稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
(2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點中心對稱.特別地，若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)中心對稱.)
【典例3】　已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函數，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對任意的x∈恒成立，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B．[－2,0]
C．[－5，－1] D．[－2,1]
B　[由f(x＋1)＝f(1－x)可知f(x)圖象關于x＝1對稱，當a＝0時，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化為f(2)≤f(x－1)，由函數f(x)的圖象特征可得|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3或x≤1，滿足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對任意x∈恒成立，由此排除A，C兩個選項．當a＝1時，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化為f(x＋2)≤f(x－1)，由函數f(x)的圖象特征可得|x＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤，不滿足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對任意x∈恒成立，由此排除D選項．綜上可知，選B.]
【鏈接高考3】　(2017·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　)
A．f(x)在(0,2)單調遞增
B．f(x)在(0,2)單調遞減
C．y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱
D．y＝f(x)的圖象關于點(1,0)對稱
C　[f(x)的定義域為(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
設u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，則u＝－x2＋2x在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減．
又y＝ln u在其定義域上單調遞增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減．
∴選項A，B錯誤．
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，∴選項C正確．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒為0，
∴f(x)的圖象不關于點(1,0)對稱，∴選項D錯誤．
故選C.]
結論4　對數、指數形式的經典不等式
1．對數形式：1－≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)，當且僅當x＝0時，等號成立．
2．指數形式：ex≥x＋1(x∈R)，當且僅當x＝0時，等號成立．
【典例4】　設函數f(x)＝1－e－x.證明：當x＞－1時，f(x)≥.
[證明]　f(x)≥(x＞－1)?1－e－x≥(x＞－1)?1－≥e－x(x＞－1)?≥(x＞－1)?x＋1≤ex(x＞－1)．由經典不等式ex≥x＋1(x∈R)恒成立可知x＞－1時，ex≥x＋1.即x＞－1時，f(x)≥.
【鏈接高考4】　(2016·全國卷Ⅲ)設函數f(x)＝ln x－x＋1.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)證明當x∈(1，＋∞)時，1＜＜x；
(3)設c>1，證明當x∈(0,1)時，1＋(c－1)x＞cx.
[解]　(1)由題設，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
當0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；
當x＞1時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減．
(2)證明：由(1)知，f(x)在x＝1處取得最大值，
最大值為f(1)＝0.
所以當x≠1時，ln x＜x－1.
故當x∈(1，＋∞)時，ln x＜x－1，ln＜－1，
即1＜＜x.
(3)證明：由題設c＞1，設g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
則g′(x)＝c－1－cxln c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
當x＜x0時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增；
當x＞x0時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故當0＜x＜1時，g(x)＞0.
所以當x∈(0,1)時，1＋(c－1)x＞cx.
結論5　等差數列的有關結論
1．若Sm，S2m.S3m分別為等差數列{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列．
2．若等差數列{an}的項數為2m，公差為d，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
3．若等差數列{an}的項數為2m－1，所有奇數項之和為S奇，所有偶數之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
【典例5】　(1)等差數列{an}的前n項和為Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝________.
(2)一個等差數列的前12項和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和的比為32∶27，則數列的公差d＝________.
(1)10　(2)5　[(1)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.
又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，
顯然可得am≠0，所以am＝2.
代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.
(2)設等差數列的前12項中奇數項和為S奇，偶數項和為S偶，等差數列的公差為d.
由已知條件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.]
【鏈接高考5】　(2015·全國卷Ⅱ)設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
A　[法一：利用等差數列的性質進行求解．
∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故選A.
法二：利用等差數列的通項公式和前n項和公式進行整體運算．
∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，
∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故選A.]
結論6　等比數列的有關結論
(1)公比q≠－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數列(n∈N*).
(2)若等比數列的項數為2n(n∈N*)，公比為q，奇數項之和為S奇，偶數項之和為S偶，則S偶＝qS奇.
(3)已知等比數列{an}，公比為q，前n項和為Sn，則Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*).
【典例6】　(1)設等比數列{an}的前n項和為Sn，若＝3，則＝(　　)
A．2 B. C. D．3
(2)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S3＝，S6＝.
①求數列{an}的通項公式；
②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值．
(1)B　[(1)由已知＝3，得S6＝3S3，因為S3，S6－S3，S9－S6也為等比數列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，則(2S3)2＝S3(S9－3S3)．
化簡得S9＝7S3，從而＝＝.
(2)①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，
∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝.
故通項公式an＝×2n－1＝2n－2.
②由(1)及題意可得log2an＝n－2，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.]
【鏈接高考6】　(2017·江蘇高考)等比數列{an}的各項均為實數，其前n項和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________.
32　[設{an}的首項為a1，公比為q，則
解得
所以a8＝×27＝25＝32.]
結論7　多面體的外接球和內切球
(1)長方體的對角線長d與共點的三條棱a，b，c之間的關系為d2＝a2＋b2＋c2；若長方體外接球的半徑為R，則有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
(2)棱長為a的正四面體內切球半徑，外接球半徑
【典例7】　(1)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為(　　)

A．24π B．29π
C．48π D．58π
(2)已知一個三棱錐的所有棱長均為，則該三棱錐的內切球的體積為________．

(1)B　(2)π　[(1)由三視圖知，該幾何體為三棱錐，如圖，在3×2×4的長方體中構造符合題意的幾何體(三棱錐A-BCD)，其外接球即為長方體的外接球．
表面積為4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.
(2)由題意可知，該三棱錐為正四面體，如圖所示．
AE＝AB·sin 60°＝，
AO＝AE＝，
DO＝＝，
三棱錐的體積VD-ABC＝S△ABC·DO＝，
設內切球的半徑為r，則
VD-ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，
V內切球＝πr3＝π.]
【鏈接高考7】　(2017·全國卷Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．
14π　[∵長方體的頂點都在球O的球面上，
∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑．
設球的半徑為R，
則2R＝＝.
∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×2＝14π.]
結論8　過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點的弦
過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點的弦AB有：
(1)xA·xB＝.
(2)yA·yB＝－p2.
(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直線AB的傾斜角).
【典例8】　過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于(　　)
A．4 B.
C．5 D．6
B　[由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖，設A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，
設|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，
由拋物線的定義知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.則sin2θ＝8cos2θ，
∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝＝.]
【鏈接高考8】　(2014·全國卷Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A. B．6 C．12 D．7
C　[∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點，
∴F，
∴AB的方程為y－0＝tan 30°，即y＝x－.
聯(lián)立，得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
所以|AB|＝＋＝12.]

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