2020數學（文）二輪教師用書：第3部分策略13.分類與整合思想

3.分類與整合思想 分類與整合思想是將一個較復雜的數學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略，對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對討論結果進行整合.應用1　由概念、法則、公式引起的分類討論【典例1】　等比數列{an}的前n項和為Sn，若對任意的正整數n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，則a1的值為(　　)A．－3　 B．1C．－3或1   D．1或3C　[設等比數列{an}的公比為q，當q＝1時，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若對任意的正整數n,3a1n＝2a1－3恒成立，則a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化簡得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若對任意的正整數n該等式恒成立，則有解得或故a1＝1或－3.]本題易忽略對q＝1的情況進行討論，而直接利用，很容易造成漏解或增解，若本題是解答題，這種解答是不完備的.本題根據等比數列前n項和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，進行討論. 【對點訓練1】　(2019·武漢模擬)已知集合A＝{x|x＜－3或x＞7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數m的取值范圍是________．(－∞，2)∪(6，＋∞)　[當B＝?時，有m＋1＞2m－1，則m＜2.當B≠?時，有或解得m＞6.綜上可知，實數m的取值范圍是(－∞，2)∪(6，＋∞)．]【對點訓練2】　一條直線過點(5,2)，且在x軸，y軸上截距相等，則這條直線的方程為(　　)A．x＋y－7＝0B．2x－5y＝0C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0C　[設該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當a＝0時，直線過原點，此時直線方程為y＝x，即2x－5y＝0；當a≠0時，設直線方程為＋＝1，則求得a＝7，直線方程為x＋y－7＝0.]應用2　由運算、性質引起的分類討論【典例2】　已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，則(　　)A．(a－1)(b－1)＜0   B．(a－1)(a－b)＞0C．(b－1)(b－a)＜0   D．(b－1)(b－a)＞0D　[∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴當a＞1，即a－1＞0時，不等式logab＞1可化為alogab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.當0＜a＜1時，即a－1＜0時，不等式logab＞1可化為alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.綜上可知，選D.]應用指數、對數函數時，往往對底數是否大于1進行討論，這是由它的性質決定的.在處理分段函數問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間段，再選取相應的對應法則，離開定義域討論問題是產生錯誤的重要原因之一. 【對點訓練3】　已知函數f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________.－　[當a＞1時，函數f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為增函數，由題意得無解．當0＜a＜1時，函數f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為減函數，由題意得解得所以a＋b＝－.]【對點訓練4】　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos 2C＝－.(1)求sin C的值；(2)當a＝2,2sin A＝sin C時，求b及c的長．[解]　(1)由cos 2C＝1－2sin2C，得sin C＝.(2)由2sin A＝sin C，得2a＝c，所以c＝4.由sin C＝，得cos C＝±.下面分兩種情況：①當cos C＝時，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得b2－b－12＝0，解得b＝2.②當cos C＝－時，同理可得b＝.綜上c＝4，b＝2或b＝.應用3　由圖形位置或形狀分類討論【典例3】　設F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點．已知P，F1，F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|＞|PF2|，求的值．[解]　①若∠PF2F1＝90°.則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.②若∠F1PF2＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.綜上知，＝或2.?1?本題中直角頂點的位置不定，影響邊長關系，需要按直角頂點不同的位置進行討論.?2?破解此類題的關鍵點：①確定特征，一般在確立初步特征時將能確定的所有位置先確定.②分類，根據初步特征對可能出現的位置關系進行分類.③得結論，將“所有關系”下的目標問題進行匯總處理. 【對點訓練5】　正三棱柱的側面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為(　　)A.   B．4C.   D．4或D　[當矩形長、寬分別為6和4時，體積V＝2×××4＝4；當長、寬分別為4和6時，體積V＝×××6＝.]【對點訓練6】　過雙曲線x2－＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線l有(　　)A．1條   B．2條C．3條   D．4條C　[因為雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，所以當直線l與雙曲線左、右兩支各有一個交點時，過雙曲線的右焦點一定有兩條直線滿足條件要求；當直線l與實軸垂直時，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，所以此時直線AB的長度是4，即只與雙曲線右支有兩個交點的所截弦長為4的直線僅有一條．綜上，可知有3條直線滿足|AB|＝4.]【對點訓練7】　已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數k＝(　　)A．－   B.C．0   D．0或－D　[不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當直線y＝kx＋1與直線x＝0或y＝2x垂直時才滿足．結合圖形可知斜率k的值為0或－.]應用4　由參數變化引起的分類討論【典例4】　設函數f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的單調區(qū)間．[解]　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分兩種情況討論：①當a≤0時，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．②當a＞0時，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－∞，－－－，，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.?1?本題研究函數性質對參數a進行分類討論，分為a≤0和a＞0兩種情況.?2?若遇到題目中含有參數的問題，常常結合參數的意義及對結果的影響進行分類討論，此種題目為含參型，應全面分析參數變化引起結論的變化情況，參數有幾何意義時還要考慮適當地運用數形結合思想，分類要做到分類標準明確、不重不漏. 【對點訓練8】　設函數f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)＜0和g(x0)＜0同時成立，則實數a的取值范圍為(　　)A．(7，＋∞)   B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C．(－∞，－2)   D．(－∞，－2)∪(7，＋∞)A　[由f(x)＝x2－ax＋a＋3，知f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)＜0，所以Δ＝a2－4(a＋3)＞0，解得a＜－2或a＞6.又g(x)＝ax－2a的圖象恒過(2,0)，故當a＞6時，作出函數f(x)和g(x)的圖象如圖1所示，當a＜－2時，作出函數f(x)和g(x)的圖象如圖2所示．圖1　           圖2由函數的圖象知，當a＞6時，若g(x0)＜0，則x0＜2，∴要使f(x0)＜0，則需解得a＞7.當a＜－2時，若g(x0)＜0，則x0＞2，此時函數f(x)＝x2－ax＋a＋3的圖象的對稱軸x＝＜0，故函數f(x)在區(qū)間上為增函數，又f(1)＝4，∴f(x0)＜0不成立．綜上，實數a的取值范圍為(7，＋∞)．]【對點訓練9】　設函數f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍．[解]　(1)因為f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由題設知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此時f(1)＝3e≠0.所以a的值為1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a＞，則當x∈時，f′(x)＜0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝2處取得極小值．若a≤，則當x∈(0,2)時，x－2＜0，ax－1≤x－1＜0，所以f′(x)＞0.所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是.