“兩點的所有連線中，線段最短”“連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題. 現實生活中經常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數學知識探究數學史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.
如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？
作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.
問題1 現在假設點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？
根據“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.
連結AB,與直線l相交于一點C.
問題2 如果點A、B分別是直線l同側的兩個點，又應該如何解決？
想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側B′處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB′的長度相等？
利用軸對稱，作出點B關于直線l的對稱點B′.
作法：（1）作點B 關于直線l 的對稱點B′；（2）連結AB′，與直線l 相交于點C． 則點C 即為所求．
問題3　你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？
證明：如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），連結AC′、BC′、B′C′．由軸對稱的性質知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′．　即　AC +BC 最短．
練一練：如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（ ）
如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（　?。〢．7.5 B．5 C．4 D．不能確定
點撥：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉化為求CF+EF的最小值，故連結CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.
方法總結：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關鍵，而后將求線段長的和轉化為求某一線段的長，而再根據已知條件求解.
如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（　　）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
點撥：作B點關于y軸的對稱點B′，連結AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．
方法總結：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.
如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？
如圖,假定任選位置造橋MN，連結AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？
我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？
3.把橋平移到和A相連.
4.把橋平移到和B相連.
AM+MN+BN長度改變了.
如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連結A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.
理由:另任作橋M1N１，連結AM１、BN１、A１N１.
由平移性質可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因為A1N1+BN1＞A1B，
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
證明：由平移的性質，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若橋的位置建在CD處，連結AC、CD、DB、CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.
★解決最短路徑問題的方法
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.
1.如圖，直線m同側有A、B兩點，A、A′關于直線m對稱，A、B關于直線n對稱，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（　?。?br/>A．P是m上到A、B距離之和最短的點，Q是m 上到A、B距離相等的點 B．Q是m上到A、B距離之和最短的點，P是m 上到A、B距離相等的點 C．P、Q都是m上到A、B距離之和最 短的點 D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點
2.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（　?。?A．10 B．15 C．20 D．30
3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米.
4.如圖，邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）．點P在x軸上，當PA+PB的值最小時，在圖中畫出點P．
5.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉彎，河寬相同，從A處到B處，須經兩座橋：DD ′、EE ′（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD ′E ′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG ⊥CE，且BG=河寬，連結GF,與河岸相交于E ′、D′.作DD′、EE′即為橋.
理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′.同理，BE=GE′，由兩點之間線段最短可知，GF最小.
關鍵是將固定線段“橋”平移

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13.4 課題學習 最短路徑問題

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