§2 指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)











有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)


(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q).


(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q).


(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).


有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．


思考：以下計算正確嗎？若計算錯誤，應(yīng)該如何計算


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2)) eq \s\up6(2× eq \f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2)) eq \s\up8(1)＝－2


提示：錯誤， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22)) eq \s\up6(\f(1,2))＝21＝2.





1．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示a3· eq \r(a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))的結(jié)果是( )


A．a(chǎn) eq \s\up6(\f(5,2)) B．a(chǎn) eq \s\up6(\f(7,2)) C.a4 D．a(chǎn) eq \s\up6(\f(3,2))


B [a3· eq \r(a)＝a3·a eq \s\up6(\f(1,2))＝a eq \s\up6(3＋ eq \f(1,2))＝a eq \s\up6(\f(7,2))．故選B.]


2．下列各式運(yùn)算錯誤的是( )


A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8


B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3


C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6


D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18


C [(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.]


3. eq \r(6\f(1,4))－ eq \r(3,3\f(3,8))＋ eq \r(3,0.125) 的值為________．


eq \f(3,2) [原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up8(2))－ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up8(3))＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(3))＝ eq \f(5,2)－ eq \f(3,2)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2).]


4．計算8 eq \s\up6(\f(1,4))× eq \r(4,2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)×\r(3))) eq \s\up8(6).


[解] 原式＝2 eq \s\up6(\f(3,4))×2 eq \s\up6(\f(1,4))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\s\up6(\f(1,3))×3\s\up6(\f(1,2))))6＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.








對指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的理解


【例1】 (1)下列函數(shù)中，滿足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝ eq \f(1,2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的是( )


A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝4x B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝4－x


C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2－x


(2)2 eq \s\up8(2\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))＝( )


A．20 eq \s\up8(\r(2)) B．20 eq \s\up8(2\r(2))


C．10 eq \s\up8(\r(2)) D．10 eq \s\up8(2\r(2))


(1)D (2)A [(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝2－(x＋1)＝ eq \f(1,2)×2－x＝ eq \f(1,2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)).故選D.


[(2)2 eq \s\up8(2\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))＝4 eq \s\up8(\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×5)) eq \s\up8(\r(2))＝20 eq \s\up8(\r(2)).]





1．根據(jù)需要，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可正用、逆用和變形使用．


2．運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡時，其底數(shù)必須大于零，對于底數(shù)小于零的，要先化為底數(shù)大于零的形式．如 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,4))先化為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22)) eq \s\up6(\f(1,4)).





eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．下列運(yùn)算結(jié)果中，正確的是( )


A．a(chǎn)2·a3＝a6 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a2)) eq \s\up8(3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a3)) eq \s\up8(2)


C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2)) eq \s\up8(3)＝a5 D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a2)) eq \s\up8(3)＝－a6


D [a2·a3＝a5，A錯；


(－a2)3＝(－1)3×a2×3＝－a6，(－a3)2＝(－1)2×a3×2＝a6，B錯；


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2)) eq \s\up8(3)＝a6，C錯，故選D.]





根式的化簡與求值


【例2】 計算下列各式：


(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5))) eq \s\up8(0)＋2－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) eq \s\up6(－ eq \f(1,2))－0.010.5；


(2)0.064 eq \s\up6(－ eq \f(1,3))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8))) eq \s\up8(0)＋[(－2)3] eq \s\up6(－ eq \f(4,3))＋16－0.75；


(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up6(－ eq \f(1,2))· eq \f(（\r(4ab－1)）3,0.1－2（a3b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0).


[解] (1)原式＝1＋ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) eq \s\up6(\f(1,2))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) eq \s\up6(\f(1,2))＝1＋ eq \f(1,6)－ eq \f(1,10)＝ eq \f(16,15).


(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝ eq \f(5,2)－1＋ eq \f(1,16)＋ eq \f(1,8)＝ eq \f(27,16).


(3)原式＝ eq \f(4\s\up6(\f(1,2))×4\s\up6(\f(3,2)),100)·a eq \s\up6(\f(3,2))·a eq \s\up6(－ eq \f(3,2))·b eq \s\up6(－ eq \f(3,2))·b eq \s\up6(\f(3,2))＝ eq \f(4,25)a0b0＝ eq \f(4,25).





在進(jìn)行冪和根式的化簡時，一般先將根式化成冪的形式，并化小數(shù)指數(shù)冪為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡．





eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])


2．計算：


(1)0.027 eq \s\up6(\f(1,3))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4))) eq \s\up6(\f(1,2))＋256 eq \s\up6(\f(3,4))＋(2 eq \r(2)) eq \s\up6(\f(2,3))－3－1＋π0；


(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；


(3)2 eq \r(3,a)÷4 eq \r(6,a·b)·3 eq \r(b3).


[解] (1)原式＝(0.33) eq \s\up6(\f(1,3))－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))＋(44) eq \s\up6(\f(3,4))＋(2 eq \s\up6(\f(3,2))) eq \s\up6(\f(2,3))－ eq \f(1,3)＋1＝0.3－ eq \f(5,2)＋43＋2－ eq \f(1,3)＋1＝64 eq \f(7,15).


(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－ eq \f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ eq \f(1,3)ac－1＝－ eq \f(a,3c).


(3)原式＝2a eq \s\up6(\f(1,3))÷(4a eq \s\up6(\f(1,6))b eq \s\up6(\f(1,6)))·(3b eq \s\up6(\f(3,2)))＝ eq \f(1,2)a eq \s\up6( eq \f(1,3)－ eq \f(1,6))b eq \s\up6(－ eq \f(1,6))·3b eq \s\up6(\f(3,2))＝ eq \f(3,2)a eq \s\up6(\f(1,6))b eq \s\up6(\f(4,3)).





根據(jù)條件求值


【例3】 已知a eq \s\up6(\f(1,2))＋a eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \r(5)，求下列各式的值：


(1)a＋a－1；


(2)a2＋a－2.


[思路點(diǎn)撥] 從待求式如何用已知式表示入手，可考慮用整體代換思想以及冪的運(yùn)算性質(zhì)的逆用的技巧求解．


[解] (1)將a eq \s\up6(\f(1,2))＋a eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \r(5)兩邊平方，得a＋a－1＋2＝5，所以a＋a－1＝3.


(2)將a＋a－1＝3兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝9，所以a2＋a－2＝7.





1．在本例條件不變的情況下，則a2－a－2＝______．


±3 eq \r(5) [令y＝a2－a－2，兩邊平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，


∴y＝±3 eq \r(5)，即a2－a－2＝±3 eq \r(5).]


2．若本例變?yōu)椋阂阎猘，b分別為x2－12x＋9＝0的兩根，且a＜b，求 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))值．


[解] eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))


＝ eq \f(（a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))）2,（a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2))）（a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))）)＝ eq \f(（a＋b）－2（ab）\s\up6(\f(1,2)),a－b).①


∵a＋b＝12，ab＝9，②


∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.


∵a＜b，∴a－b＝－6 eq \r(3).③


將②③代入①，得 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))＝ eq \f(12－2×9\s\up6(\f(1,2)),－6\r(3))＝－ eq \f(\r(3),3).


,














1．冪的運(yùn)算中，結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能同時含有分母和負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，若無特殊說明，結(jié)果一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．


2．對于條件求值問題，要弄清已知與未知的聯(lián)系，采用“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值．





1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)


(1)對任意實數(shù)a，am＋n＝aman.( )


(2)當(dāng)a>0時， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(am)) eq \s\up8(n)＝amn.( )


(3)當(dāng)a≠0時， eq \f(am,an)＝am－n.( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．2 eq \s\up6( eq \r(3))·5 eq \s\up6( eq \r(3))＝( )


A．103 B．10 eq \s\up6( eq \r(3)) C．310 D．7 eq \s\up6( eq \r(3))


B [由實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(ab)n＝anbn知，2 eq \s\up6( eq \r(3))·5 eq \s\up6( eq \r(3))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×5)) eq \s\up6( eq \r(3))＝10 eq \s\up6( eq \r(3)).]


3．已知x eq \s\up6(\f(1,2))＋x eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝5，則 eq \f(x2＋1,x)的值為( )


A．5 B．23 C．25 D．27


B [∵x eq \s\up6(\f(1,2))＋x eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝5，∴x＋2＋x－1＝25，


∴x＋x－1＝23.


∴ eq \f(x2＋1,x)＝x＋ eq \f(1,x)＝x＋x－1＝23.]


4．已知10x＝3，10y＝4，求10 eq \s\up6(\f(3x－y,2))的值．


[解] 10 eq \s\up6(\f(3x－y,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(103x,10y))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10x))\s\up8(3),10y))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,4))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \f(3\r(3),2).


學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．(重點(diǎn))


2.能用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對代數(shù)式進(jìn)行化簡與求值．(難點(diǎn))
通過指數(shù)冪的運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

2 指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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