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函數(shù)圖象的應(yīng)用


【例1】 已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x.求x∈[－3，5]時(shí)，f(x)＝ eq \f(1,2)的所有解的和．


[解] 當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，－x∈[0，1]，∴f(－x)＝－x.


又∵f(x)為奇函數(shù)，∴x∈[－1，0]時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝x.即x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x.


又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．


由此可得f(x)在[－3，5]上的圖象如下：





在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝ eq \f(1,2)的圖象，


由圖可知在[－3，5]上共有四個(gè)交點(diǎn)，


∴f(x)＝ eq \f(1,2)在[－3，5]上共有四個(gè)解，從左到右記為x1，x2，x3，x4，則x1與x4，x2與x3關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，


∴ eq \f(x1＋x4,2)＝1， eq \f(x2＋x3,2)＝1.


∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.





畫函數(shù)圖象是表示函數(shù)的一種方法，一旦有了函數(shù)圖象，可以使問題變得直觀，但仍要結(jié)合代數(shù)運(yùn)算才能獲得精確結(jié)果．





eq \a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．已知函數(shù)f(x)＝|x2－mx＋3|，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝0.


(1)求m的值；


(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；


(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個(gè)不相等的實(shí)根}．


[解] (1)由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝0，得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4－m))＝0，解得m＝4.


∴f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－2）2－1，x∈（－∞，1]∪[3，＋∞），,－（x－2）2＋1，x∈（1，3），))


作出圖象如圖所示．





(2)遞增區(qū)間為[1，2]和[3，＋∞)，遞減區(qū)間為(－∞，1)和(2，3).


(3)由圖象可知，y＝f(x)與y ＝m圖象，有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則0＜m＜1，


∴集合M＝{m|0＜m＜1}．





函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用


【例2】 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2.


[解] (1)證明：由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，可得


f(x＋y)－f(x)＝f(y).


在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，


則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2).


∵x1>x2，∴x1－x2>0.


又x>0時(shí)，f(x)f(－3－x)，得x

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

本章綜合與測(cè)試

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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