（山東專(zhuān)用）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)學(xué)案（含解析）

?第五講　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識(shí)梳理·雙基自測(cè)

知識(shí)點(diǎn)一　直線與平面垂直
(1)直線與平面垂直
①定義：若直線l與平面α內(nèi)的__任意__一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
②判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條__相交__直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直)．即：a?α，__b?α__，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?l⊥α．
③性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線__平行__.即：a⊥α，b⊥α?__a∥b__．
(2)直線與平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的__銳角__，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角．
若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為_(kāi)_0__，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為　?。?br /> ②線面角θ的范圍：θ∈[0，]．
知識(shí)點(diǎn)二　平面與平面垂直
(1)二面角的有關(guān)概念
①二面角：從一條直線出發(fā)的__兩個(gè)半平面__所組成的圖形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱__垂直__的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面與平面垂直
①定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是__直二面角__，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．
②判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．即：a?α，a⊥β?__α⊥β__．
③性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于__交線__的直線與另一個(gè)平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b?__a⊥β__.　

1．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．
2．若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．
3．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．

題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　ABC　)
A．直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α
B．垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行
C．若α⊥β，a⊥β，則a∥α
D．若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直
題組二　走進(jìn)教材
2．(多選題)(必修2P73T1)下列命題中正確的是(　ABC　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
[解析]　對(duì)于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的．
題組三　考題再現(xiàn)
3．(2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　C　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
[解析]　∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，
∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，
∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，
∴BC1⊥A1E.故選C．
4．(多選題)(2020·山東濰坊月結(jié)學(xué)情考試)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是(　AD　)

A．PB⊥AE B．平面ABC⊥平面PBC
C．直線BC∥平面PAE D．∠PDA＝45°
[解析]　對(duì)于A，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，從而可得EA⊥PB，故A正確．對(duì)于B，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC與平面PBC不可能垂直，故B不正確．對(duì)于C，由于在正六邊形中BC∥AD，所以BC與EA必有公共點(diǎn)，從而B(niǎo)C與平面PAE有公共點(diǎn)，所以直線BC與平面PAE不平行，故C不正確．對(duì)于D，由條件得△PAD為直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故D正確．綜上A、D正確．
5．(2019·中原名校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(　C　)
A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β
[解析]　對(duì)于選項(xiàng)A，α⊥β且m?α，可得m∥β或m與β相交或m?β，故A不成立；對(duì)于選項(xiàng)B，α⊥β且m∥α，可得m?β或m∥β或m與β相交，故B不成立；對(duì)于選項(xiàng)C，m∥n且n⊥β，則m⊥β，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或m?β，故D不成立．故選C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究
考點(diǎn)一　空間垂直關(guān)系的基本問(wèn)題——自主練透
例1　(1)(2019·山東濟(jì)寧期末)設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的是(　C　)
A．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
(2)(2019·陜西漢中質(zhì)檢一)已知l，m表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，l⊥α，m?β，則有下面四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m，②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β.其中所有正確的命題是(　A　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．①②③④
(3)(多選題)(2020·四川成都診斷改編)已知α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　ABD　)
A．若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n
B．若m∥α，n∥β，且α⊥β，則m∥n
C．若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥n
D．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，則m⊥n
[解析]　?α⊥β.故選C．

?l⊥m，①對(duì)；
?α⊥β，③對(duì)；
由圖可知②④錯(cuò)．故選A．
(3)由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m與n相交，或m與n異面，故A錯(cuò)誤；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故B錯(cuò)誤；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，則m⊥n，故C正確；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯(cuò)誤，故選A、B、D．
名師點(diǎn)撥 ?
解決空間中線面、面面垂直的問(wèn)題有以下三種方法：(1)依據(jù)相關(guān)定理得出結(jié)論．(2)結(jié)合符合題意的模型(如構(gòu)造正方體、長(zhǎng)方體)作出判斷，或借助筆、紙、桌面進(jìn)行演示，注意能平移或旋轉(zhuǎn)的線，讓其動(dòng)動(dòng)再判斷．(3)否定命題時(shí)只需舉一個(gè)反例即可．
〔變式訓(xùn)練1〕
(2019·東北三省三校模擬)已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直線，則m⊥α的一個(gè)充分條是(　C　)
A．m⊥n，n?α B．m∥β，α⊥β
C．n⊥α，n⊥β，m⊥β D．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n
[解析]　對(duì)于答案A：m⊥n，n?α，得出m與α是相交的或是垂直的，故A錯(cuò)；答案B：m∥β，α⊥β，得出m與α是相交的、平行的都可，故B錯(cuò)；答案C：n⊥α，n⊥β，得出α∥β，再m⊥β得出m⊥α，故C正確．
考點(diǎn)二　直線與平面垂直的判定與性質(zhì)——多維探究
角度1　線、面垂直的判定
例2　 (2018·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．

(1)證明：PO⊥平面ABC；
(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．
[解析]　(1)因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2．
連接OB，因?yàn)锳B＝BC＝AC，
所以△ABC為等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2．
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
(2)作CH⊥OM，垂足為H．
又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．
由題設(shè)可知OC＝AC＝2，
CM＝BC＝，∠ACB＝45°．
所以O(shè)M＝，CH＝＝．
所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．
角度2　線、面垂直的性質(zhì)
例3　(2019·湖北武漢調(diào)研測(cè)試)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠DAB＝，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝．

(1)證明：PB⊥BC；
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．
[解析]　(1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接PH，HB，BD．
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，
∴AD＝AB＝1，∵∠DAB＝，
∴△ABD是等邊三角形．
∴BH＝，BH⊥AD．
∵PA＝PD，H為AD的中點(diǎn)，∴PH⊥AD，又PH∩BH＝H，
∴AD⊥平面PHB，又PB?平面PHB，
∴AD⊥PB，又AD∥BC，∴PB⊥BC．

(2)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC．
∴AD∥平面PBC．
∴點(diǎn)A與點(diǎn)H到平面PBC的距離相等．
由(1)知AD⊥平面PHB．
∴BC⊥平面PHB，又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PHB．
過(guò)點(diǎn)H作HM⊥PB于M．
由平面PHB∩平面PBC＝PB，
知HM的長(zhǎng)即點(diǎn)H到平面PBC的距離．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PH?平面PAD，PH⊥AD，
∴PH⊥平面ABCD，
又BH?平面ABCD，∴PH⊥BH．
PH＝＝，BH＝，
∴PB＝＝，
∴HM＝＝＝．
名師點(diǎn)撥 ?
(1)解決直線、平面垂直問(wèn)題的常用方法：①利用線面垂直的定義；②利用線面垂直的判定定理；③利用線面垂直的性質(zhì)；④利用面面垂直的判定定理；⑤利用面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)．
〔變式訓(xùn)練2〕
(1)(角度1)(2019·全國(guó)Ⅱ)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．

①證明：BE⊥平面EB1C1；
②若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積．
(2)(角度2)(2020·新疆烏魯木齊診斷)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝，AB＝AA1＝2，E是棱CC1的中點(diǎn)．

①求證：A1B⊥AE；
②求點(diǎn)A1到平面ABE的距離．
[解析]　(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，
BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE．
又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1．
(2)由(1)知∠BEB1＝90°．
由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6．
作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3．
所以，四棱錐E－BB1C1C的體積V＝×3×6×3＝18．

(2)①證明：如圖，取A1B的中點(diǎn)F，連接AF，EF．

∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥A1C1，CC1⊥CB，
又∵E是CC1的中點(diǎn)，且A1C1＝BC，
∴A1E＝BE，∴A1B⊥EF．
又∵AB＝AA1，∴A1B⊥AF．
又AF∩EF＝F，∴A1B⊥平面AEF．
又AE?平面AEF，∴A1B⊥AE．
②V三棱錐A1－ABE＝V三棱錐B－A1AE＝××2××＝，
設(shè)A1到平面ABE的距離為h，
則S△ABE·h＝，
由已知得AE＝BE＝，
∴S△ABE＝×2×＝，∴h＝．
即A1到平面ABE的距離為．
考點(diǎn)三　空間兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)——師生共研
例4　(2019·河北省衡水中學(xué)模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1．

(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求四棱錐P－ABCD的體積．
[解析]　(1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝，
因?yàn)镻C＝2，BC＝1，PB＝，
所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；
因?yàn)椤螦BC＝90°，所以BC⊥AB，
又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC．

(2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖所示：
由(1)知BC⊥平面PAB，
因?yàn)锽C?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD，
又PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD，
因?yàn)樵赗t△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝；
因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形，所以四棱錐P－ABCD的體積為
VP－ABCD＝××(1＋2)×1×＝．
名師點(diǎn)撥 ?
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)在已知面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
(3)
〔變式訓(xùn)練3〕
(2019·湖北省武漢部分重點(diǎn)高中聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，M，N分別為線段PC，AD的中點(diǎn)．

(1)求證：AD⊥平面PNB；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P－NBM的體積．
[解析]　(1)∵PA＝PD，N為AD的中點(diǎn)，
∴PN⊥AD，
∵底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，
∴BN⊥AD，
∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB．
(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，
∴S△PNB＝××＝，
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，
∴BC⊥平面PNB，
∵PM＝PC，
∴VP－NBM＝VM－PNB＝VC－PNB＝×××2＝．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名師講壇·素養(yǎng)提升
立體幾何中的折疊問(wèn)題
例5　(2019·全國(guó)統(tǒng)一診斷卷)在五邊形ABCDF中，E是邊DF上的點(diǎn)，AF∥BE∥CD，BC∥DF，BC⊥CD，AB＝BC＝，AF＝EF＝1，BE＝CD＝2，如圖1，將四邊形AFEB沿BE折起，使平面AFEB⊥平面BCDE，將△BCD沿BD折起，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，重合的點(diǎn)記為M，如圖2．
(1)連接EM，證明：平面BDM⊥平面DEM；
(2)求點(diǎn)E到平面BDM的距離．

[解析]　(1)證明：因?yàn)镋M＝＝，MB＝，BE＝2，
所以EM2＋MB2＝BE2，所以MB⊥EM．
又因?yàn)锽C⊥CD，即MB⊥MD，EM∩MD＝M，
EM?平面DEM，MD?平面DEM，所以MB⊥平面DEM．
因?yàn)镸B?平面BDM，所以平面BDM⊥平面DEM．
(2)易知∠BED＝90°，所以S△BED＝BE·ED＝．
又MF∥BE，BE?平面BED，MF?平面BED，
所以MF∥平面BED．
因?yàn)槠矫鍮EFM⊥平面BED，平面BEFM∩平面BED＝BE，EF⊥BE，所以EF⊥平面BED，所以EF是三棱錐M－BED的高．
所以VM－BED＝S△BED·EF＝．
又易知△BMD是直角三角形，S△BMD＝BM·MD＝．
設(shè)點(diǎn)E到平面BDM的距離為h，
則VE－BDM＝×h，
因?yàn)閂M－BED＝VE－BDM，所以＝×h，得h＝1，
即點(diǎn)E到平面BDM的距離為1．
名師點(diǎn)撥 ?
證明折疊問(wèn)題中的平行與垂直，關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系折疊后會(huì)發(fā)生變化．對(duì)于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．
〔變式訓(xùn)練4〕
(2019·湖北八市聯(lián)考)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EF∥BC，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P－EF－B的大小為60°．
(1)求證：EF⊥PB；
(2)當(dāng)點(diǎn)E為線段AB靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，求四棱錐P－EBCF的側(cè)面積．

[解析]　(1)證明：由題意知BC⊥AB．
∵EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直關(guān)系沒(méi)變，仍有EF⊥PE，EF⊥BE.又PE∩BE＝E，
∴EF⊥平面PBE．
又PB?平面PBE，∴EF⊥PB．
(2)∵EF⊥AE，EF⊥BE，
∴∠PEB是二面角P－EF－B的平面角，
∴∠PEB＝60°．
在△PBE中，PE＝2，BE＝1，
由余弦定理得PB＝＝，
∴PB2＋EB2＝PE2，∴PB⊥EB，
∴PB，BC，EB兩兩垂直．
又EF⊥PE，EF⊥BE，
∴△PBE，△PBC，△PEF均為直角三角形．
由△AEF∽△ABC可得，EF＝BC＝2，S△PBC＝BC·PB＝，S△PBE＝PB·BE＝，S△PEF＝EF·PE＝2．
如圖，在四邊形BCFE中，過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線，垂足為H，
則FC2＝FH2＋HC2＝BE2＋(BC－EF)2＝2，
所以FC＝．
在△PFC中，F(xiàn)C＝，
PC＝＝2，
PF＝＝2．
由余弦定理可得，cos∠PFC＝＝－，
則sin∠PFC＝，
S△PFC＝PF·FC·sin∠PFC＝．
所以四棱錐P－EBCF的側(cè)面積為S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋2＋．