高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第一冊(cè)1.4 充分條件與必要條件優(yōu)秀教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．4 充分條件與必要條件

1．4.1 充分條件與必要條件

1．理解充分、必要條件的概念．

2．會(huì)根據(jù)命題的條件和結(jié)論的關(guān)系判斷是否為充分條件、必要條件．

1．命題及相關(guān)概念

2．充分條件與必要條件

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．

數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．

溫馨提示：(1)充分、必要條件的判斷討論的是“若p，則q”形式的命題．若不是，則首先將命題改寫成“若p，則q”的形式．

(2)不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時(shí)，才有“p?q”．

1．“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”

(1)這個(gè)命題是真命題嗎？

(2)將命題改寫為“若p，則q”的形式．

(3)“平行四邊形的對(duì)角線相等”是“四邊形為矩形”的什么條件．

[答案] (1)是真命題 (2)若平行四邊形的對(duì)角線相等，則這個(gè)四邊形為矩形 (3)充分條件

2．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)“集合{a，b，c}有3個(gè)子集”是命題．( )

(2)若p是q的充分條件，則p是唯一的．( )

(3)若q是p的必要條件，則由p推出的結(jié)論q是不唯一的．( )

(4)數(shù)學(xué)中每一條定理都給出了相應(yīng)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

題型一充分、必要條件的概念及語言表述

【典例1】將下面的定理寫成“若p，則q”的形式，并用充分條件、必要條件的語言表述：

(1)兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等；

(2)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形．

[解] (1)若兩個(gè)三角形是全等三角形，則它們的對(duì)應(yīng)高相等，所以“兩個(gè)三角形是全等三角形”是“它們的對(duì)應(yīng)高相等”的充分條件；“對(duì)應(yīng)高相等”是“兩個(gè)三角形是全等三角形”的必要條件．

(2)若兩個(gè)三角形等底等高，則這兩個(gè)三角形是全等三角形，所以“兩個(gè)三角形等底等高”是“這兩個(gè)三角形是全等三角形”的不充分條件；“兩個(gè)三角形是全等三角形”是“這兩個(gè)三角形等底等高”的不必要條件．

(1)對(duì)充分、必要條件的理解

①對(duì)充分條件的理解：i)所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”．ii)充分條件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分條件．

②對(duì)必要條件的理解：i)所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，無之必不成立”．ii)必要條件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要條件．

(2)用充分、必要條件的語言表述定理的一般步驟

第一步：分析定理的條件和結(jié)論；

第二步：將定理寫成“若p，則q”的形式；

第三步：利用充分、必要條件的概念來表述定理．

[針對(duì)訓(xùn)練]

1．將下面的定理寫成“若p，則q”的形式，并用充分、必要條件的語言表述：

(1)對(duì)頂角相等；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．

[解] (1)若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則兩個(gè)角相等，所以“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是“這兩個(gè)角相等”的充分條件；“兩個(gè)角相等”是“兩個(gè)角是對(duì)頂角”的必要條件．

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則這兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，所以在平面直角坐標(biāo)系中，“兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱”是“這兩個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)相同”的充分條件；“兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同”是“這兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱”的必要條件.

題型二充分條件、必要條件的判定

【典例2】判斷下列各題中p是q的充分條件嗎？p是q的必要條件嗎？

(1)p：x>1，q：x2>1；

(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)．

[思路導(dǎo)引] 判斷“若p，則q”命題的真假及“若q，則p”命題的真假．

[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分條件；由x2>1，得x1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要條件．

(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分條件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要條件．

(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)Δ>0時(shí)，其圖象與x軸有交點(diǎn)，因此p是q的充分條件；反之若函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要條件．

充分、必要條件的判斷方法

(1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后判斷p?q和q?p是否成立，最后得出結(jié)論．

(2)命題判斷法：

①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；

②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件．

顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，即p?q，只是說法不同而已．

[針對(duì)訓(xùn)練]

2．判斷下列說法中，p是q的充分條件的是________．

(1)p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；

(2)設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”；

(3)已知a，b為正實(shí)數(shù)，p：a>b>1，q：a2>b2>0.

[解析] (1)當(dāng)x＝1時(shí)，x2－2x＋1＝0，故p?q，所以p是q的充分條件．

(2)由a＋b>0不一定能推出ab>0，故p不是q的充分條件．

(3)因?yàn)閍>b>1?a2>b2>0，所以p是q的充分條件．

[答案] (1)(3)

3．在下列各題中，q是p的必要條件的是________．

(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：兩個(gè)三角形相似；q：兩個(gè)三角形全等；

(3)p：m0?eq \f(x,y)>1，而由eq \f(x,y)>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，滿足eq \f(x,y)>1，但－5y>0是eq \f(x,y)>1的充分條件．

[答案] 充分

8．記A＝{x|－3

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