一、建立函數(shù)模型解決實際問題的步驟


1.觀察實際問題，發(fā)現(xiàn)和提出問題；2.收集數(shù)據(jù)；3.分析數(shù)據(jù)；4.建立模型；5.檢驗模型；6.求解問題.


二、數(shù)學建?；顒拥囊?br/>

1.組建合作團隊；2.開展研究活動；3.撰寫研究報告；4.交流展示.


三、數(shù)學建模的兩個案例


[案例1] 航行問題


甲、乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少？


數(shù)學建模過程如下：


1.模型準備


(1)題目解讀：讀懂題意，初步了解問題要求，尤其注意題目中的“名詞”、“動詞”.


(2)背景資料：對問題所屬學科進行分類，查閱資料，了解背景知識(物理定律“距離＝速度*時間”).


2.模型假設


(1)條件假設：將題目所處環(huán)境進行簡化，提出簡化條件(作出簡化假設：船速、水速為常數(shù)).


(2)符號假設：建立模型需要的字母、字符進行假設(用符號表示有關量：x, y表示船速和水速)


說明：假設是在建模最后階段才能整理出來的.


3.模型建立：根據(jù)問題背景，選取適當?shù)臄?shù)學方法進行建模eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?x＋y?×30＝750，,?x－y?×50＝750.))


4.模型求解：純數(shù)學求解、計算機求解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝5.))


5.模型分析解釋：分析模型本身的穩(wěn)定性、收斂性等性質(zhì).


對于本問題，由于解是精確解，所以不存在誤差，不存在收斂性問題；由于模型是靜態(tài)的，所以不存在時間穩(wěn)定性問題；由于模型是連續(xù)的，所以解對系數(shù)及右端項都是適定的.[來源:]


答：船速每小時20千米


6.模型檢驗：與實際數(shù)據(jù)、客觀事實進行對比檢驗.


7.模型應用：進行模型應用方面的推廣(作出簡化假設：船速、水速為常數(shù))(用符號表示有關量：x, y表示船速和水速).


解 用 x表示船速，y表示水速，列出方程：


(用物理定律“距離＝速度×時間”列出數(shù)學式子)[來源:Z。xx。k.Cm]


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?x＋y?×30＝750，,?x－y?×50＝750.))(求解得到數(shù)學解答)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝5.))


(回答原問題)


答：船速每小時20千米


[案例2] 最佳存款問題


1.問題提出


中國人民銀行經(jīng)過幾次調(diào)整存款利率，目前銀行整存整取的年利率如下表：


現(xiàn)在一位剛升入初一的學生，家長欲為其存10萬元，以供6年后上大學使用. 請設計一種存款方案，使6年后所獲收益最大，并求出最大收益.[來源:Zxxk.Cm]


2.問題分析


問題：10萬元資金存儲n年后本息和最大的存款策略？(n＝1,2,3,4,5,6)


當n＝1時，存1年定期；當n＝2時，存2年定期；當n＝3時，存3年定期；當n＝4時，存3年定期1次，1年定期1次；當n＝5時，存5年定期；當n＝6時，存3年定期2次.


3.模型假設


假設：(1)存款期限內(nèi)利率不變；(2)利息按復利計算.


4.模型建立


設存款數(shù)x(元)，收益y(元)，則：


定期存款年限越長，利率越大.


10萬元資金存儲6年后本息最大的存款策略：存3年定期2次.


6年后的本息和：10×(1＋3×4.5%)2＝12.882(萬元)，


最大收益為：y＝12.882－10＝2.882(萬元).


[練習][來源:]


某飼養(yǎng)場每天投入6元資金用于飼養(yǎng)、設備、人力，估計可使一頭60 kg重的生豬每天增重2.5 kg. 目前生豬出售的市場價格為12 元/kg，但是預測每天會降低0.1 元，問該場應該在什么時候出售這樣的生豬？


解析 問題分析 投入資金可使生豬體重隨時間增長，但售價隨時間減少，應該存在一個最佳的出售時機，使獲得利潤最大. 根據(jù)給出的條件，可作出如下的簡化假設.


模型假設 每天投入6元資金使生豬的體重每天增加的常數(shù)為r＝2.5 kg；生豬出售的市場價格每天降低常數(shù)g＝0.1 元.


模型建立 給出以下記號：t～時間(天)；w～生豬體重(kg)；p～單價(元/kg)；R～出售的收入(元)；Q～純利潤(元)；C～t天投入的資金(元).


按照假設，w＝60＋rt，(r＝2.5)，p＝12－gt，(g＝0.1).又知道R＝pw，C＝6t，再考慮到純利潤應扣掉以當前價格(12元/kg)出售60 kg生豬的收入，有Q＝R－C－12×60，得到目標函數(shù)(純利潤)為


Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；①


其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大.


模型求解 這是求二次函數(shù)最大值問題，用代數(shù)的方法容易求得t＝eq \f(6r－30g－3,gr).②


當r＝2.5，g＝0.1時，t＝36，Q(36)＝324，即36天后出售，可得最大純利潤324元.


一年期
二年期
三年期
五年期
3.00%
3.90%
4.50%
5.00%
存期


收益y


存入款數(shù)
一年期
二年期
三年期
五年期
x
3%x
2×3.9%x


＝7.8%x
3×4.5%x


＝13.5%x
5×5%x


＝25%x

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