一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．與終邊相同的角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知一組數(shù)，，，的平均數(shù)是3，方差為4，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別是（ ）
A．7，8B．7，16C．6，8D．6，16
5．若是非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
6．函數(shù)的圖象為（ ）
A． B．
C． D．
7．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之間為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過(guò)的小時(shí)數(shù)約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．11C．10D．9
8．如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，其中，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列命題中錯(cuò)誤的有（ ）
A．，則B．若，則
C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．
10．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的面的點(diǎn)數(shù)，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”記為事件A，“點(diǎn)數(shù)小于5”記為事件B，“點(diǎn)數(shù)小于2”記為事件C．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．A與C互斥B．B與C對(duì)立C．A與B相互獨(dú)立D．
11．如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)從中點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度在正方形的邊上沿著的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒， ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．有個(gè)零點(diǎn)D．是偶函數(shù)
三、填空題（本大題共3小題）
12．若，則為 （填數(shù)字）.
13．已知是第四象限角，且 ，那么的值為
14．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，．
(1)求證：，，三點(diǎn)共線；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值．
16．（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
17．某企業(yè)以“慶祝春節(jié)，迎接新年”為主題的職工歌手大賽決賽如期舉行，滿分100分，共有100人參賽，將參賽歌手的成績(jī)分成如下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及參賽歌手的平均成績(jī)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求參賽歌手成績(jī)的分位數(shù)；
(3)從參賽成績(jī)?cè)诤偷母枋种校捎梅謱与S機(jī)抽樣方法抽取6名歌手，再?gòu)某槿〉倪@6名歌手中隨機(jī)抽取2名歌手，求這2名歌手比賽成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人的概率.
18．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若的值域?yàn)?，求a的取值范圍；
(3)是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減？若存在，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的值；若不存在，說(shuō)明理由.
19．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量.作：，，當(dāng)不共線時(shí)，記以為鄰邊的平行四邊形的面積為；當(dāng)共線時(shí)，規(guī)定.
(1)已知，求；
(2)若向量，求證：；
(3)記，且滿足，求的最大值.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】由集合，，
得，
故選C.
2．【答案】A
【詳解】由.
故選:A.
3．【答案】A
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得.
故選A.
4．【答案】B
【詳解】由題意，，.
所以，，，的平均數(shù)
，
方差.
故選B.
5．【答案】D
【詳解】如圖作，設(shè)，，
由向量加法的平行四邊形法則知：由可得是菱形，
因菱形的對(duì)角線不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；
又由可得是矩形，因矩形的一組鄰邊不一定相等，
故也不一定成立，即必要性不成立.
故“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選D.
6．【答案】C
【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，故排除A；
因?yàn)椋逝懦鼶；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，故排除B，
故選C.
7．【答案】B
【詳解】由題設(shè)，想要在不違法的情況下駕駛汽車，則酒精含量小于，
令小時(shí)后，，則小時(shí)，
所以想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過(guò)的小時(shí)數(shù)約為11小時(shí).
故選B.
8．【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
又，，
所以，
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，
由圖可知，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選D.
9．【答案】AB
【詳解】對(duì)于A，的充要條件是且方向相同，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，不一定共線，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則存在實(shí)數(shù)，使得，C正確；
對(duì)于D，根據(jù)向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則，可知，D正確，
故選AB.
10．【答案】AC
【詳解】樣本空間為，事件，事件，事件，
A.∵，∴與互斥，A正確.
B.∵，∴與不對(duì)立，B錯(cuò)誤.
C.∵，∴，
∵，
∴，與相互獨(dú)立，C正確.
D.∵，∴，
∵，∴，D錯(cuò)誤.
故選AC.
11．【答案】ACD
【詳解】
如圖建立直角坐標(biāo)系，可知，設(shè)，
可知
所以
即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
即，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以綜上可得,故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，由（舍去）或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；
綜上可得的零點(diǎn)有個(gè)，故C正確；
由于定義域?yàn)?，關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，由
所以，則此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱；
當(dāng)時(shí)，，則，
則此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱；
當(dāng)時(shí)，，則，
則此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱；故為是偶函數(shù)，故D正確；
故選ACD．
12．【答案】
【詳解】∵，，.
13．【答案】
【詳解】因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以?br>由，可得：，
所以，
所以.
14．【答案】7
【詳解】由題意，令，解得或，
作出的圖象，如圖，

由圖可知，直線與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
直線與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
所以原方程有7個(gè)解，
即函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn).
15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）由已知，得．
因?yàn)?，所?
又與有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線．
（2）由（1），知，若，
且，可設(shè)（），
所以，即．
又，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得．
16．【答案】（1）（2）
【詳解】（1），
（2）因?yàn)?，所以?br>，
所以
17．【答案】(1)，
(2)
(3)
【詳解】（1）第一至第五組對(duì)應(yīng)的頻率分別為；；
；；，
所以，解得，
所以參賽歌手的平均成績(jī)?yōu)榉?
（2）由，，
得參賽歌手成績(jī)的分位數(shù)為分.
（3）由，得這6人中參賽成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，分別記為，，，；
在的人數(shù)為人，分別記為，.
在這6個(gè)人中抽取2個(gè)人，共，，，，，，，，，，，，，，，15個(gè)基本事件，
這2名歌手比賽成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人，共，，，，，，，，8個(gè)基本事件，
故這2名歌手比賽成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人的概率為.
18．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間時(shí)；
(2)
(3)不存在，理由見(jiàn)解析；
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
由，可得：或，
易知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又單調(diào)遞增，
所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間時(shí)；
（2）當(dāng)時(shí)，，顯然滿足值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，要使得的值域?yàn)椋铦M足：，
解得：，
綜上可知：若的值域?yàn)?，a的取值范圍是；
（3）不存在，理由如下：
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
需滿足：在上單調(diào)遞減，且在恒成立，
若在上單調(diào)遞減，
滿足，
當(dāng)時(shí)，需滿足，即，
當(dāng)時(shí)，需滿足，恒成立，
綜上可得：在上單調(diào)遞減a的取值范圍是，
若在恒成立，
即，
令，易知在對(duì)稱軸處取到最大值，
所以，
顯然在上單調(diào)遞減與在恒成立，不能同時(shí)成立，
所以不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
19．【答案】(1)0；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3).
【詳解】（1）由，得；
（2）由向量，向量，得，
因此，同理，
所以；
（3）依題意，，，
則當(dāng)為銳角時(shí)，，當(dāng)為鈍角時(shí)，，
當(dāng)為銳角時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，取到最大值；
當(dāng)為鈍角時(shí)，
，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，
所以的最大值.

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