一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故選：B.
2. 已知集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由，
由，
故，故中的元素個(gè)數(shù)是4.
故選：C.
3. 某校為了豐富學(xué)生的課余生活，組織了籃球比賽．已知該校高二（1）班籃球隊(duì)員甲每場比賽得分的莖葉圖如圖所示，則甲每場比賽得分的分位數(shù)是（ ）
A. 23B. 24C. 28D. 31
【答案】C
【解析】由莖葉圖可知：共有16個(gè)數(shù)據(jù)，則，
故得分的分位數(shù)為第12和第13個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.
故選：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由，得，
則．
取，，滿足，但不滿足．
則由可得，由得不到，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，但，故A錯(cuò)誤；
，但，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，所以，又，所以?br>所以，故C正確；
，但，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
6. 已知函數(shù)，且，則m取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，
函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增，
不等式，
則，即，解得或，
所以m的取值范圍是.
故選：A.
7. 某企業(yè)研發(fā)一款新產(chǎn)品，計(jì)劃第一年投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)10萬元，此后每年投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)比上一年增長．若第年的投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)首次超過20萬元，則（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A. 4B. 5C. 7D. 8
【答案】B
【解析】由題意可得，即，
兩邊同時(shí)取以10為底的對數(shù)，則有，
所以，
解得，因?yàn)?，所?
故選：B.
8. 已知點(diǎn)O在內(nèi)部，且有，則與的面積的比值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
取的中點(diǎn)，連接，則，于是，
因此，
所以與的面積的比值為.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 我們把既有大小又有方向的量叫作向量B. 單位向量是相等向量
C. 零向量與任意向量平行D. 向量的?？梢员容^大小
【答案】ACD
【解析】對于A，我們把既有大小又有方向的量叫作向量，A正確，
對于B，單位向量是長度為1的向量，方向不確定，故不一定是相等向量，B錯(cuò)誤，
對于C， 零向量與任意向量平行，C正確，
對于D，向量的模長是實(shí)數(shù)，故可以比較大小，D正確.
故選：ACD.
10. 依次擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，記事件A表示“第一個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“第二個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)不大于4”，事件C表示“兩個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，事件D表示“兩個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，則下列不是相互獨(dú)立事件的是（ ）
A. A與CB. A與DC. B與CD. B與D
【答案】ABC
【解析】擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的樣本空間：
，共36個(gè)樣本點(diǎn)，
，共18個(gè)樣本點(diǎn)，
，共24個(gè)樣本點(diǎn)，
，共10個(gè)樣本點(diǎn)，
，共9個(gè)樣本點(diǎn)，
，
對于A，，，A是；
對于B，，
，D是；
對于C，，，C是；
對于D，，
，D不是.
故選：ABC.
11. 已知，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】對于A，由，則，等號成立條件為，故A錯(cuò)誤；
對于B，由，得，又，得，故B正確；
對于C，由，則，
則，
等號成立條件為，故C正確；
對于D，由B項(xiàng)知，，則，
等號成立條件為，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某科研所有名研究人員，其中男研究員人數(shù)與女研究員人數(shù)之比為．現(xiàn)從該研究所所有研究人員中按性別采用分層抽樣的方法抽取120名研究人員進(jìn)行調(diào)查，則被抽取到的女研究員人數(shù)是_______．
【答案】45
【解析】由題：抽取的女研究員人數(shù)為（人）.
13. 如圖1，這是杭州第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”．如圖2，這是“潮涌”的平面圖，若，則圖形的面積與扇形的面積的比值是_______．
【答案】
【解析】設(shè)扇形的圓心角，，則，
由扇形面積公式可知，，
所以，
所以.
14. 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，_______．
【答案】
【解析】令，則可得，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以為函數(shù)的周期，
當(dāng)時(shí)，，
由題意可得.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
解：（1）因?yàn)?，可得?br>所以.
（2）.
（3）.
16. 其校為了解學(xué)生的綜合素養(yǎng)情況，從該校學(xué)生中隨機(jī)地抽取了40名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行綜合素養(yǎng)測評，將他們的得分（滿分：100分）分成，共六組．根據(jù)他們的得分繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）從得分低于60分的樣本中隨機(jī)地選取2個(gè)樣本，求這2個(gè)樣本的得分在同一組的概率；
（2）若在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為86分，方差為10，在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為92分，方差為6，求在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)和方差．
解：（1）由圖可知，，解得，
則在內(nèi)的樣本容量為，將這2個(gè)樣本分別記為，
在內(nèi)的樣本容量為，將這4個(gè)樣本分別記為．
從中隨機(jī)地選取2個(gè)，可知樣本空間
，
共有15個(gè)樣本點(diǎn)．
用事件表示“這2個(gè)樣本的得分在同一組”，
則，有7個(gè)樣本點(diǎn)，
則，即這2個(gè)樣本得分在同一組的概率為．
（2）由圖可知，在內(nèi)的樣本數(shù)與在內(nèi)的樣本數(shù)之比為，
所以在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)分，
方差.
17. 已知函數(shù)（，且），且．
（1）求的值；
（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；
（3）若不等式恒成立，求t的取值范圍．
解：（1）函數(shù)中，由，得，而，
所以.
（2）由（1）知，
函數(shù)的定義域?yàn)镽，
，
所以是R上的奇函數(shù).
（3）函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則是R上的增函數(shù)，
不等式，
因此，即，則，
解，得或；
解，即，得.
于是，所以t的取值范圍是.
18. 如圖，四邊形是等腰梯形，，是線段的中點(diǎn)，在線段上．
（1）若是線段的中點(diǎn)，且，求；
（2）若是線段的中點(diǎn)，且，求梯形的面積；
（3）若，且，求的值．
解：（1）若是線段的中點(diǎn)，由題意可知，
，
，
所以.
如下圖所示：過作于，過作于，
因?yàn)槭堑妊菪?，，可知?br>在直角中，因?yàn)椋?，?br>所以，
所以，
所以.
（2）若是線段的中點(diǎn)，由（1）可知，，
在直角中，因?yàn)?，即?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>即，
解得，.
在直角中，由勾股定理可得，
所以梯形的面積.
（3）由（1）可知，在直角中，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，
設(shè)，
所以，
又由（1）知，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>整理得，解得或（舍），
所以
19. 某商場為了吸引顧客，規(guī)定購買一定價(jià)值的商品可以獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會，獎(jiǎng)品價(jià)值分別為10元、20元、30元、40元．已知甲抽到價(jià)值為10元、20元、30元、40元的獎(jiǎng)品的概率分別為，且每次抽獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）已知甲參與抽獎(jiǎng)兩次，求甲兩次抽到的獎(jiǎng)品價(jià)值不同的概率；
（2）求甲參與抽獎(jiǎng)三次，抽到兩種不同價(jià)值的獎(jiǎng)品，且獲得的獎(jiǎng)品價(jià)值總和不低于80元的概率．
解：（1）記甲兩次抽到相同獎(jiǎng)品為事件，
記甲在一次抽獎(jiǎng)中抽到值為10元、20元、30元、40元分別為事件，
則，
，
所以甲兩次抽到的獎(jiǎng)品價(jià)值不同的概率為.
（2）甲參與抽獎(jiǎng)三次，抽到兩種不同價(jià)值的獎(jiǎng)品，所以其中一種獎(jiǎng)品抽到兩次，另一種抽到一次.
又獲得的獎(jiǎng)品價(jià)值總和不低于80元，
故可能兩次抽到40元，一次抽到30元或兩次抽到40元，一次抽到20元或兩次抽到40元，一次抽到10元或兩次抽到30元，一次抽到40元或兩次抽到30元，一次抽到20元或兩次抽到20元，一次抽到40元，
又兩次抽到40元，一次抽到30元的概率，
兩次抽到40元，一次抽到20元的概率，
兩次抽到40元，一次抽到10元的概率，
兩次抽到30元，一次抽到40元的概率，
兩次抽到30元，一次抽到20元的概率，
兩次抽到20元，一次抽到40元概率，
所以獲得的獎(jiǎng)品價(jià)值總和不低于80元的概率為：
.0
1
2
3
7 8
2 2 4 5 7 9
0 3 5 5
1 3 7 7

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