一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．若，，且，則（ ）
A．有最小值為B．有最大值為
C．有最小值為D．有最大值為
4．已知，是平面上兩個(gè)不共線的向量，以下可以作為平面向量一組基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．已知為第四象限角，且，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量滿足，，，則（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
7．在中，若，則的形狀一定是（ ）
A．等腰三角形B．等腰或直角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
8．已知中，若，，的面積為，為邊的中點(diǎn)，則的長度是（ ）
A．B．C．1D．2
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中為真命題的是（ ）
A．B．
C．的虛部為1D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
10．下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則B．若，則與的夾角為鈍角
C．若為非零向量，則與同向D．在等邊三角形中，與的夾角為
11．設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，已知，分別為中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．B．三點(diǎn)共線
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) .
13．為了測(cè)量某塔的高度，檢測(cè)員在地面A處測(cè)得塔頂T處的仰角為30°，從A處向正東方向走210米到地面B處，測(cè)得塔頂T處的仰角為60°，若，則鐵塔OT的高度為 米．
14．已知等邊的邊長為，外接圓圓心為O，P為的邊上的動(dòng)點(diǎn)，M、N為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，.
(1)設(shè)向量，的夾角為，求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；
(3)若，求k的值.
16．在中，，.
(1)若，求c的值；
(2)若，求角的大小和的面積.
17．已知在中，為中點(diǎn)，，，.

(1)若，求；
(2)設(shè)和的夾角為，若，求證：；
(3)若線段上一動(dòng)點(diǎn)滿足，試確定點(diǎn)的位置.
18．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，.
(1)求角的大小；
(2)若的外接圓面積為，求周長的取值范圍.
19．在直角梯形中，已知，，，，，動(dòng)點(diǎn),分別在線段和上，和交于點(diǎn)，且，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)求的取值范圍．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】因?yàn)榧希?br>所以.
故選C.
2．【答案】A
【詳解】結(jié)合題意可知可以推出,但是并不能保證,故為充分不必要條件,故選A.
3．【答案】D
【詳解】因?yàn)?，，且，由基本不等式可得，即?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故有最大值為.
故選D.
4．【答案】C
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以不可以作為平面向量一組基底，故A不符題意；
對(duì)于B，因?yàn)椋裕?br>所以不可以作為平面向量一組基底，故B不符題意；
對(duì)于C，假設(shè)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，
所以，無解，
所以向量不共線，所以可以作為平面向量一組基底，故C符合題意；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以?br>所以不可以作為平面向量一組基底，故D不符題意.
故選C.
5．【答案】A
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闉榈谒南笙藿牵?
故選A.
6．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，解得.
故選
7．【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理得，即，
因?yàn)?，所以?br>所以或，
所以或，
所以的形狀一定是等腰或直角三角形.
故選B.
8．【答案】B
【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，
所以有，
由余弦定理可知：，
因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選B
9．【答案】BC
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，的虛部為1，故C正確；
對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D錯(cuò)誤.
故選BC.
10．【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，由，得同向且模相等，
由，得同向且模相等，
所以同向且模相等，所以，故A正確；
對(duì)于B，若與的夾角為，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，表示與同向的單位向量，故C正確；
對(duì)于D，在等邊三角形中，，
則與的夾角為，故D正確.
故選ACD.
11．【答案】BD
【詳解】由，
得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，
所以，
則，
所以，所以，
又為公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；
對(duì)于C，由，得，
則，
，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由C得，故D正確.
故選BD.
12．【答案】
【詳解】.
13．【答案】
【詳解】設(shè)鐵塔OT的高為，則可得
在中，則，即
解得.
14．【答案】
【詳解】如下圖所示，設(shè)正的外接圓圓心為，
則圓的半徑為，
，，
所以為等腰直角三角形，所以，
，所以，
設(shè)，當(dāng)點(diǎn)為正的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，
當(dāng)與正的某條邊垂直時(shí)，取最小值，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且與同向時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由，，
得，
所以；
（2）向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為
；
（3），
因?yàn)椋?br>所以，解得.
16．【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）由余弦定理得，
即，解得（舍去）；
（2）在中，，，，
所以，
因?yàn)椋裕?br>，
又，所以，
所以.
17．【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)
【詳解】（1）因?yàn)?，則，可得，
因?yàn)?，，?br>由平面向量數(shù)量積的定義可得，
所以，
.
（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
所以，，
又因?yàn)?、均為非零向量，故，?
（3）因?yàn)辄c(diǎn)在線段上的一點(diǎn)，設(shè)，其中，
則，所以，，
又因?yàn)?，且、不共線，
所以，，解得，此時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
18．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以；
（2）設(shè)的外接圓的半徑為，
則，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以周長的取值范圍為.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)﹒
【詳解】（1）在直角梯形中，易得，
∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，
故；
（2）
，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，
則，
，
∵不共線，∴，解得，即；
（3）∵，，
∴，
＝，
由題意知，，
∴當(dāng)時(shí)，取到最小值＝，
當(dāng)時(shí)，取到最大值，
∴的取值范圍是．

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